Einsteinův tenzor - Einstein tensor

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočívej rám Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Stupnice relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

v diferenciální geometrie, Einsteinův tenzor (pojmenoval podle Albert Einstein; také známý jako obráceně Ricciho tenzor) se používá k vyjádření zakřivení a pseudo-Riemannovo potrubí. v obecná relativita, vyskytuje se v Einsteinovy ​​rovnice pole pro gravitace které popisují vesmírný čas zakřivení způsobem, který je v souladu se zachováním energie a hybnosti.

Definice

Einsteinův tenzor ${ displaystyle mathbf {G}}$ je tenzor řádu 2 definováno nad pseudoriemanianské rozdělovače. v bezindexová notace je definován jako

${ displaystyle mathbf {G} = mathbf {R} - { frac {1} {2}} mathbf {g} R,}$

kde ${ displaystyle mathbf {R}}$ je Ricciho tenzor, ${ displaystyle mathbf {g}}$ je metrický tenzor a ${ displaystyle R}$ je skalární zakřivení. Ve složkové formě se předchozí rovnice čte jako

${ displaystyle G _ { mu nu} = R _ { mu nu} - {1 nad 2} g _ { mu nu} R.}$

Einsteinův tenzor je symetrický

${ displaystyle G _ { mu nu} = G _ { nu mu}}$

a jako na skořápce tenzor napětí a energie, divergenceless

${ displaystyle nabla _ { mu} G ^ { mu nu} = 0 ,.}$

Explicitní forma

Ricciho tenzor závisí pouze na metrickém tenzoru, takže Einsteinův tenzor lze definovat přímo pouze s metrickým tenzorem. Tento výraz je však složitý a v učebnicích je citován jen zřídka. Složitost tohoto výrazu lze ukázat pomocí vzorce pro Ricciho tenzor ve smyslu Christoffel symboly:

${ displaystyle { begin {aligned} G _ { alpha beta} & = R _ { alpha beta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} R & = R_ { alpha beta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta} R _ { gamma zeta} & = ( delta _ { alpha} ^ { gamma} delta _ { beta} ^ { zeta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) R _ { gamma zeta } & = ( delta _ { alpha} ^ { gamma} delta _ { beta} ^ { zeta} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) ( Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma zeta, epsilon} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma epsilon, zeta} + Gamma ^ { epsilon} {} _ { epsilon sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { gamma zeta} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { zeta sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { epsilon gamma}), G ^ { alpha beta} & = (g ^ { alpha gamma} g ^ { beta zeta} - { frac {1 } {2}} g ^ { alpha beta} g ^ { gamma zeta}) ( Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma zeta, epsilon} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { gamma epsilon, zeta} + Gamma ^ { epsilon} {} _ { epsilon sigma} Gamma ^ { sigma} {} _ { gamma zeta} - Gamma ^ { epsilon} {} _ { zeta sigma} Gamma ^ { sigma } {} _ { epsilon gamma}), end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle delta _ { beta} ^ { alpha}}$ je Kroneckerův tenzor a symbol Christoffel ${ displaystyle Gamma ^ { alpha} {} _ { beta gamma}}$ je definován jako

${ displaystyle Gamma ^ { alpha} {} _ { beta gamma} = { frac {1} {2}} g ^ { alpha epsilon} (g _ { beta epsilon, gamma} + g _ { gamma epsilon, beta} -g _ { beta gamma, epsilon}).}$

Před zrušením má tento vzorec za následek ${ Displaystyle 2 krát (6 + 6 + 9 + 9) = 60}$ jednotlivé termíny. Zrušení toto číslo poněkud snižují.

Ve zvláštním případě lokálně setrvačný referenční rámec blízko bodu zmizí první derivace metrického tenzoru a složková forma Einsteinova tenzoru:

${ displaystyle { begin {aligned} G _ { alpha beta} & = g ^ { gamma mu} { bigl [} g _ { gamma [ beta, mu] alpha} + g _ { alpha [ mu, beta] gamma} - { frac {1} {2}} g _ { alpha beta} g ^ { epsilon sigma} (g _ { epsilon [ mu, sigma] gamma } + g _ { gamma [ sigma, mu] epsilon}) { bigr]} & = g ^ { gamma mu} ( delta _ { alpha} ^ { epsilon} delta _ { beta} ^ { sigma} - { frac {1} {2}} g ^ { epsilon sigma} g _ { alpha beta}) (g _ { epsilon [ mu, sigma] gamma } + g _ { gamma [ sigma, mu] epsilon}), end {zarovnáno}}}$

kde hranaté závorky konvenčně označují antisymetrizace nad hranatými indexy, tj.

${ displaystyle g _ { alpha [ beta, gamma] epsilon} , = { frac {1} {2}} (g _ { alpha beta, gamma epsilon} -g _ { alpha gamma , beta epsilon}).}$

Stopa

The stopa Einsteinova tenzoru lze vypočítat pomocí uzavírání smluv rovnice v definice s metrický tenzor ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$. v ${ displaystyle n}$ rozměry (libovolného podpisu):

${ displaystyle { begin {aligned} g ^ { mu nu} G _ { mu nu} & = g ^ { mu nu} R _ { mu nu} - {1 nad 2} g ^ { mu nu} g _ { mu nu} R G & = R- {1 over 2} (nR) G & = {{2-n} over 2} R end {zarovnáno}} }$

Proto ve zvláštním případě n = 4 rozměry, ${ displaystyle G = -R}$. To znamená, že stopa Einsteinova tenzoru je negativní z Ricciho tenzor stopa. Jiným názvem Einsteinova tenzoru je tedy Ricciho tenzor s reverzní stopou. Tento ${ displaystyle n = 4}$ případ je obzvláště relevantní v teorie obecné relativity.

Použití v obecné relativitě

Einsteinův tenzor umožňuje Einsteinovy ​​rovnice pole psát stručně:

${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = kappa T _ { mu nu},}$

kde ${ displaystyle Lambda}$ je kosmologická konstanta a ${ displaystyle kappa}$ je Einsteinova gravitační konstanta.

Z explicitní forma Einsteinova tenzoru, Einsteinův tenzor je a nelineární funkce metrického tenzoru, ale ve druhé je lineární částečné derivace metriky. Jako symetrický tenzor řádu 2 má Einsteinův tenzor 10 nezávislých komponent ve 4-dimenzionálním prostoru. Z toho vyplývá, že Einsteinovy ​​rovnice pole jsou množinou 10 kvazilineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu pro metrický tenzor.

The smluvní Bianchi identity lze také snadno vyjádřit pomocí Einsteinova tenzoru:

${ displaystyle nabla _ { mu} G ^ { mu nu} = 0.}$

(Smluvní) identita Bianchi automaticky zajišťuje kovarianční zachování tenzor napětí a energie v zakřiveném časoprostoru:

${ displaystyle nabla _ { mu} T ^ { mu nu} = 0.}$

Tato identita zdůrazňuje fyzický význam Einsteinova tenzoru. Pokud jde o zhuštěný tenzor napětí, který se smrštil na a Zabíjení vektor ${ displaystyle xi ^ { mu}}$, běžný zákon o ochraně přírody platí:

${ displaystyle částečné _ { mu} ({ sqrt {-g}} T ^ { mu} {} _ { nu} xi ^ { nu}) = 0}$.

Jedinečnost

David Lovelock ukázal, že ve čtyřrozměrném diferencovatelné potrubí, Einsteinův tenzor je jediný tenzorový a divergence - bezplatná funkce ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ a maximálně jejich první a druhý parciální derivát.^{[1][2][3][4][5]}

Nicméně Einsteinova rovnice pole není jediná rovnice, která splňuje tři podmínky:^[6]

1. Podobat se, ale zobecňovat Newton – Poissonova gravitační rovnice
2. Použít na všechny souřadnicové systémy a
3. Zaručte lokální kovarianční zachování energie - hybnosti pro jakýkoli metrický tenzor.

Bylo navrženo mnoho alternativních teorií, například Einstein-Cartanova teorie, které rovněž splňují výše uvedené podmínky.

Viz také

• Smluvní identita Bianchi
• Vermeilova věta
• Matematika obecné relativity
• Obecné zdroje relativity

Poznámky

Reference

• Ohanian, Hans C .; Remo Ruffini (1994). Gravitace a časoprostor (Druhé vydání.). W. W. Norton & Company. ISBN  978-0-393-96501-8.
• Martin, John Legat (1995). Obecná relativita: První kurz pro fyziky. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (přepracované vydání). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-291196-2.