Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru - Uniform honeycombs in hyperbolic space
v hyperbolická geometrie, a jednotný plástev v hyperbolickém prostoru je jednotný mozaikování z jednotný mnohostěn buňky. V trojrozměrném hyperbolický prostor je jich devět Skupina coxeterů rodiny kompaktních konvexní jednotné voštiny, generováno jako Wythoffovy konstrukce a zastoupená obměny z prsteny z Coxeterovy diagramy pro každou rodinu.
Nevyřešený problém v matematice: Najděte kompletní sadu hyperbolických uniformních plástů (více nevyřešených úloh z matematiky) |
{5,3,4} | {5,3,5} |
{4,3,5} | {3,5,3} |
Poincarého míčový model projekce |
---|
Hyperbolické jednotné rodiny plástev
Voštiny jsou rozděleny mezi kompaktní a paracompaktní formy definované Skupiny coxeterů, první kategorie zahrnuje pouze konečné buňky a vrcholové postavy (konečné podskupiny) a druhá zahrnuje afinní podskupiny.
Kompaktní jednotné rodiny plástev
Devět kompaktních Skupiny coxeterů jsou zde uvedeny s jejich Coxeterovy diagramy,[1] v pořadí relativních objemů jejich základní simplexní domény.[2]
Těchto 9 rodin generuje celkem 76 jedinečných jednotných voštin. Úplný seznam hyperbolických uniformních voštin nebyl prokázán a existuje neznámý počet neythoffovských forem. Jeden známý příklad je uveden u rodiny {3,5,3} níže. Pouze dvě rodiny jsou spřízněné jako poloviční zrcadlové odstranění: [5,31,1] ↔ [5,3,4,1+].
Indexováno | Základní simplexní hlasitost[3] | Witt symbol | Coxeter notace | Komutátor podskupina | Coxeter diagram | Voštiny |
---|---|---|---|---|---|---|
H1 | 0.0358850633 | [5,3,4] | [(5,3)+,4,1+] = [5,31,1]+ | 15 formulářů, 2 pravidelné | ||
H2 | 0.0390502856 | [3,5,3] | [3,5,3]+ | 9 formulářů, 1 řádný | ||
H3 | 0.0717701267 | [5,31,1] | [5,31,1]+ | 11 formulářů (7 se překrývá s rodinou [5,3,4], 4 jsou jedinečné) | ||
H4 | 0.0857701820 | [(4,3,3,3)] | [(4,3,3,3)]+ | 9 formulářů | ||
H5 | 0.0933255395 | [5,3,5] | [5,3,5]+ | 9 formulářů, 1 řádný | ||
H6 | 0.2052887885 | [(5,3,3,3)] | [(5,3,3,3)]+ | 9 formulářů | ||
H7 | 0.2222287320 | [(4,3)[2]] | [(4,3+,4,3+)] | 6 formulářů | ||
H8 | 0.3586534401 | [(3,4,3,5)] | [(3,4,3,5)]+ | 9 formulářů | ||
H9 | 0.5021308905 | [(5,3)[2]] | [(5,3)[2]]+ | 6 formulářů |
Existují jen dvě radikální podskupiny s neimplektickými doménami, které lze generovat odstraněním sady dvou nebo více zrcadel oddělených všemi ostatními zrcadly větvemi sudého řádu. Jedním z nich je [(4,3,4,3*)], představovaný Coxeterovými diagramy podskupina indexu 6 s a trigonální lichoběžník základní doména ↔ , kterou lze rozšířit obnovením jednoho zrcadla jako . Druhý je [4, (3,5)*], index 120 s a dodekahedrál základní doména.
Parakompaktní hyperbolické uniformní voštiny
Existuje také 23 paracompact Coxeter skupiny 4. úrovně, které produkují paracompaktní uniformní voštiny s nekonečnými nebo neomezenými fazety nebo vrchol obrázek, počítaje v to ideální vrcholy v nekonečnu.
Typ | Skupiny coxeterů |
---|---|
Lineární grafy | | | | | | | |
Tridentální grafy | | | |
Cyklické grafy | | | | | | | | | |
Smyčkové grafy | | | | |
Jiné paracompact Coxeter skupiny existují jako Vinbergův mnohostěn základní domény, včetně těchto trojúhelníkový bipyramid základní domény (dvojitý čtyřstěn) jako grafy 5. úrovně včetně paralelních zrcadel. Jednotné voštiny existují jako všechny permutace prstenců v těchto grafech, s omezením, že alespoň jeden uzel musí být prstenován přes větve nekonečného řádu.
Dimenze | Hodnost | Grafy |
---|---|---|
H3 | 5 |
|
[3,5,3] rodina
Existuje 9 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: [3,5,3] nebo
Jeden související ne-wythoffian forma je konstruována z {3,5,3} vrcholné figury se 4 (čtyřstěnně uspořádanými) vrcholy odstraněnými, vytvářejícími pětiúhelníkové antiprizmy a dodekaedru vyplňující mezery, nazývané čtyřstěnně zmenšený dodekahedron.[4]
Bitrunované a runcinované formy (5 a 6) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {4,10 | 3} a {10,4 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram a Schläfli symboly | Počty buněk / vrchol a pozice v plástve | Vrcholová postava | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
1 | icosahedral t0{3,5,3} | (12) (3.3.3.3.3) | |||||
2 | usměrněný icosahedral t1{3,5,3} | (2) (5.5.5) | (3) (3.5.3.5) | ||||
3 | zkrácený icosahedral t0,1{3,5,3} | (1) (5.5.5) | (3) (5.6.6) | ||||
4 | cantellated icosahedral t0,2{3,5,3} | (1) (3.5.3.5) | (2) (4.4.3) | (2) (3.5.4.5) | |||
5 | runcinated icosahedral t0,3{3,5,3} | (1) (3.3.3.3.3) | (5) (4.4.3) | (5) (4.4.3) | (1) (3.3.3.3.3) | ||
6 | bitruncated icosahedral t1,2{3,5,3} | (2) (3.10.10) | (2) (3.10.10) | ||||
7 | cantitruncated icosahedral t0,1,2{3,5,3} | (1) (3.10.10) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.10) | |||
8 | runcitruncated icosahedral t0,1,3{3,5,3} | (1) (3.5.4.5) | (1) (4.4.3) | (2) (4.4.6) | (1) (5.6.6) | ||
9 | všesměrová ikosahedrální t0,1,2,3{3,5,3} | (1) (4.6.10) | (1) (4.4.6) | (1) (4.4.6) | (1) (4.6.10) |
# | Název plástve Coxeterův diagram a Schläfli symboly | Počty buněk / vrchol a pozice v plástve | Vrcholová postava | Obrázek | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
[77] | částečně zmenšený ikosahedrál pd {3,5,3}[5] | (12) (3.3.3.5) | (4) (5.5.5) | |||||
Nejednotný | omnisnub icosahedral ht0,1,2,3{3,5,3} | (1) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3 | (1) (3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
[5,3,4] rodina
Existuje 15 formulářů generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: [5,3,4] nebo .
Tato rodina souvisí se skupinou [5,31,1] o poloviční symetrii [5,3,4,1+] nebo ↔ , když je poslední zrcadlo po větvi řádu 4 neaktivní, nebo jako alternativa, pokud je třetí zrcadlo neaktivní ↔ .
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění a počtu na vrchol | Vrcholová postava | Obrázek | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||||
[34] | střídaný řád - 5 kubických ↔ | (20) (3.3.3) | (12) (3.3.3.3.3) | ||||||
[35] | cantic order-5 cubic ↔ | (1) (3.5.3.5) | - | (2) (5.6.6) | (2) (3.6.6) | ||||
[36] | runcická objednávka - 5 kubických ↔ | (1) (5.5.5) | - | (3) (3.4.5.4) | (1) (3.3.3) | ||||
[37] | runcicantická objednávka - 5 kubických ↔ | (1) (3.10.10) | - | (2) (4.6.10) | (1) (3.6.6) | ||||
Nejednotný | urážka opravená objednávka-4 dodekahedrální | (1) (3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3) | - | (2) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) | Irr. tridiminated icosahedron | ||
Nejednotný | runicic snub opravený řád-4 dodekahedrál | (3.4.4.4) | (4.4.4.4) | - | (3.3.3.3.5) | +(3.3.3) | |||
Nejednotný | omnisnub objednávka-5 kubických | (1) (3.3.3.3.4) | (1) (3.3.3.4) | (1) (3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
[5,3,5] rodina
Existuje 9 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: [5,3,5] nebo
Bitrunované a runcinované formy (29 a 30) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {4,6 | 5} a {6,4 | 5}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění a počtu na vrchol | Vrcholová postava | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
25 | (Pravidelný) Řád 5 dodekahedrál t0{5,3,5} | (20) (5.5.5) | |||||
26 | opravený řád-5 dodekahedrál t1{5,3,5} | (2) (3.3.3.3.3) | (5) (3.5.3.5) | ||||
27 | zkrácený řád 5 dodekahedrál t0,1{5,3,5} | (1) (3.3.3.3.3) | (5) (3.10.10) | ||||
28 | cantelated order-5 dodecahedral t0,2{5,3,5} | (1) (3.5.3.5) | (2) (4.4.5) | (2) (3.5.4.5) | |||
29 | Runcinated order-5 dodecahedral t0,3{5,3,5} | (1) (5.5.5) | (3) (4.4.5) | (3) (4.4.5) | (1) (5.5.5) | ||
30 | bitruncated order-5 dodecahedral t1,2{5,3,5} | (2) (5.6.6) | (2) (5.6.6) | ||||
31 | cantitruncated order-5 dodecahedral t0,1,2{5,3,5} | (1) (5.6.6) | (1) (4.4.5) | (2) (4.6.10) | |||
32 | runcitruncated order-5 dodecahedral t0,1,3{5,3,5} | (1) (3.5.4.5) | (1) (4.4.5) | (2) (4.4.10) | (1) (3.10.10) | ||
33 | omnitruncated order-5 dodecahedral t0,1,2,3{5,3,5} | (1) (4.6.10) | (1) (4.4.10) | (1) (4.4.10) | (1) (4.6.10) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění a počtu na vrchol | Vrcholová postava | Obrázek | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
Nejednotný | omnisnub order-5 dodecahedral ht0,1,2,3{5,3,5} | (1) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3.5) | (1) (3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
[5,31,1] rodina
Existuje 11 formulářů (a pouze 4, které nejsou sdíleny s rodinou [5,3,4]), generované prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: [5,31,1] nebo . Pokud se stavy větvícího kruhu shodují, může se rozšířená symetrie zdvojnásobit do rodiny [5,3,4], ↔ .
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0' | 3 | ||||
34 | střídaný řád - 5 kubických ↔ | - | - | (12) (3.3.3.3.3) | (20) (3.3.3) | ||
35 | cantic order-5 cubic ↔ | (1) (3.5.3.5) | - | (2) (5.6.6) | (2) (3.6.6) | ||
36 | runcická objednávka - 5 kubických ↔ | (1) (5.5.5) | - | (3) (3.4.5.4) | (1) (3.3.3) | ||
37 | runcicantická objednávka - 5 kubických ↔ | (1) (3.10.10) | - | (2) (4.6.10) | (1) (3.6.6) |
# | Název plástve Coxeterův diagram ↔ | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 3 | Alt | ||||
[10] | Order-4 dodecahedral ↔ | (4) (5.5.5) | - | - | |||
[11] | opravený řád-4 dodekahedrál ↔ | (2) (3.5.3.5) | - | (2) (3.3.3.3) | |||
[12] | opravená objednávka - 5 kubických ↔ | (1) (3.3.3.3.3) | - | (5) (3.4.3.4) | |||
[15] | bitruncated objednávka-5 kubických ↔ | (1) (5.6.6) | - | (2) (4.6.6) | |||
[14] | zkrácená objednávka-4 dodekahedrální ↔ | (2) (3.10.10) | - | (1) (3.3.3.3) | |||
[17] | cantelated order-4 dodecahedral ↔ | (1) (3.4.5.4) | (2) (4.4.4) | (1) (3.4.3.4) | |||
[20] | cantitruncated order-4 dodecahedral ↔ | (1) (4.6.10) | (1) (4.4.4) | (1) (4.6.6) | |||
Nejednotný | urážka opravená objednávka-4 dodekahedrální ↔ | (2) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3) | (2) (3.3.3.3.3) | (4) +(3.3.3) | Irr. tridiminated icosahedron |
Rodina [(4,3,3,3)]
Existuje 9 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů:
Bitrunované a runcinované formy (41 a 42) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {8,6 | 3} a {6,8 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
38 | čtyřboký-kubický {(3,3,3,4)} | (4) (3.3.3) | - | (4) (4.4.4) | (6) (3.4.3.4) | |||
39 | čtyřboká-oktaedrická {(3,3,4,3)} | (12) (3.3.3.3) | (8) (3.3.3) | - | (8) (3.3.3.3) | |||
40 | cyklotrunková čtyřboká-kubická ct {(3,3,3,4)} | (3) (3.6.6) | (1) (3.3.3) | (1) (4.4.4) | (3) (4.6.6) | |||
41 | cyklotrunkovaný krychle-čtyřstěn ct {(4,3,3,3)} | (1) (3.3.3) | (1) (3.3.3) | (3) (3.8.8) | (3) (3.8.8) | |||
42 | cyklotrunkovaný čtyřboká-oktaedrická ct {(3,3,4,3)} | (4) (3.6.6) | (4) (3.6.6) | (1) (3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3) | |||
43 | usměrněný čtyřboký kubický r {(3,3,3,4)} | (1) (3.3.3.3) | (2) (3.4.3.4) | (1) (3.4.3.4) | (2) (3.4.4.4) | |||
44 | zkrácený čtyřboký kubický t {(3,3,3,4)} | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.3.4) | (1) (3.8.8) | (2) (4.6.8) | |||
45 | zkrácený čtyřboká-oktaedrická t {(3,3,4,3)} | (2) (4.6.6) | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.4.4) | (1) (4.6.6) | |||
46 | všudypřítomný čtyřboký-kubický tr {(3,3,3,4)} | (1) (4.6.6) | (1) (4.6.6) | (1) (4.6.8) | (1) (4.6.8) | |||
Nejednotný | omnisnub čtyřboký-kubický sr {(3,3,3,4)} | (1) (3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.4) | (1) (3.3.3.3.4) | (4) +(3.3.3) |
Rodina [(5,3,3,3)]
Existuje 9 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů:
Bitrunované a runcinované formy (50 a 51) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {10,6 | 3} a {6,10 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
47 | čtyřboká-dodekahedrální | (4) (3.3.3) | - | (4) (5.5.5) | (6) (3.5.3.5) | ||
48 | čtyřboký-dvacetistěnný | (30) (3.3.3.3) | (20) (3.3.3) | - | (12) (3.3.3.3.3) | ||
49 | cyklotrunkovaný čtyřboká-dodekahedrální | (3) (3.6.6) | (1) (3.3.3) | (1) (5.5.5) | (3) (5.6.6) | ||
52 | usměrněný čtyřboká-dodekahedrální | (1) (3.3.3.3) | (2) (3.4.3.4) | (1) (3.5.3.5) | (2) (3.4.5.4) | ||
53 | zkrácený čtyřboká-dodekahedrální | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.3.4) | (1) (3.10.10) | (2) (4.6.10) | ||
54 | zkrácený čtyřboký icosahedral | (2) (4.6.6) | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.5.4) | (1) (5.6.6) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | ||
---|---|---|---|---|---|---|
0,1 | 2,3 | Alt | ||||
50 | cyklotruncated dodecahedral-tetrahedral | (2) (3.3.3) | (6) (3.10.10) | |||
51 | cyklotrunkovaný čtyřboký ikosaedrál | (10) (3.6.6) | (2) (3.3.3.3.3) | |||
55 | všesměrová čtyřboká-dodekahedrální | (2) (4.6.6) | (2) (4.6.10) | |||
Nejednotný | omnisnub čtyřboká-dodekahedrální | (2) (3.3.3.3.3) | (2) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
Rodina [(4,3,4,3)]
Existuje 6 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: . Na základě symetrie prstenů jsou možné 4 rozšířené symetrie: , , , a .
Tato rodina symetrie také souvisí s radikální podskupinou, index 6, ↔ , zkonstruovaný [(4,3,4,3*)], a představuje a trigonální lichoběžník základní doména.
Zkrácené tvary (57 a 58) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {6,6 | 4} a {8,8 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázky | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
56 | kubicko-oktaedrický | (6) (3.3.3.3) | - | (8) (4.4.4) | (12) (3.4.3.4) | ||
60 | zkrácený kubicko-oktaedrický | (1) (4.6.6) | (1) (3.4.4.4) | (1) (3.8.8) | (2) (4.6.8) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | ||
---|---|---|---|---|---|---|
0,3 | 1,2 | Alt | ||||
57 | cyklotruncated octahedral-cubic | (6) (4.6.6) | (2) (4.4.4) | |||
Nejednotný | cyklosnub oktaedricko-kubický | (4) (3.3.3.3.3) | (2) (3.3.3) | (4) +(3.3.3.3) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |
---|---|---|---|---|---|
0,1 | 2,3 | ||||
58 | cyklotrunková kubicko-oktaedrická | (2) (3.3.3.3) | (6) (3.8.8) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |
---|---|---|---|---|---|
0,2 | 1,3 | ||||
59 | usměrněný kubicko-oktaedrický | (2) (3.4.3.4) | (4) (3.4.4.4) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |
---|---|---|---|---|---|
0,1,2,3 | Alt | ||||
61 | všesměrový kubicko-oktaedrický | (4) (4.6.8) | |||
Nejednotný | omnisnub kubicko-oktaedrický | (4) (3.3.3.3.4) | (4) +(3.3.3) |
Rodina [(4,3,5,3)]
Existuje 9 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů:
Zkrácené tvary (65 a 66) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {10,6 | 3} a {6,10 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
62 | octahedral-dodecahedral | (6) (3.3.3.3) | - | (8) (5.5.5) | (1) (3.5.3.5) | ||
63 | kubicko-dvacetistěnný | (30) (3.4.3.4) | (20) (4.4.4) | - | (12) (3.3.3.3.3) | ||
64 | cyklotruncated octahedral-dodecahedral | (3) (4.6.6) | (1) (4.4.4) | (1) (5.5.5) | (3) (5.6.6) | ||
67 | usměrněný osmistěn-dodekahedrál | (1) (3.4.3.4) | (2) (3.4.4.4) | (1) (3.5.3.5) | (2) (3.4.5.4) | ||
68 | zkrácený oktaedrický dodekahedrál | (1) (4.6.6) | (1) (3.4.4.4) | (1) (3.10.10) | (2) (4.6.10) | ||
69 | zkrácený kubicko-dodekahedrál | (2) (4.6.8) | (1) (3.8.8) | (1) (3.4.5.4) | (1) (5.6.6) |
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | ||
---|---|---|---|---|---|---|
0,1 | 2,3 | Alt | ||||
65 | cyklotruncated dodecahedral-octahedral | (2) (3.3.3.3) | (8) (3.10.10) | |||
66 | cyklotrunková kubicko-ikosaedrální | (10) (3.8.8) | (2) (3.3.3.3.3) | |||
70 | všesměrová oktaedrická-dodekahedrální | (2) (4.6.8) | (2) (4.6.10) | |||
Nejednotný | omnisnub octahedral-dodecahedral | (2) (3.3.3.3.4) | (2) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
[[5,3,5,3]] rodina
Existuje 6 forem generovaných prstenovými permutacemi Skupina coxeterů: . Na základě symetrie prstenů jsou možné 4 rozšířené symetrie: , , , a .
Zkrácené tvary (72 a 73) obsahují tváře dvou pravidelné zkosené mnohostěny: {6,6 | 5} a {10,10 | 3}.
# | Název plástve Coxeterův diagram | Buňky podle umístění (a počítat kolem každého vrcholu) | vrchol obrázek | Obrázek | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
71 | dodekahedral-icosahedral | (12) (3.3.3.3.3) | - | (20) (5.5.5) | (30) (3.5.3.5) | |||
72 | cyklotruncated icosahedral-dodecahedral | (3) (5.6.6) | (1) (5.5.5) | (1) (5.5.5) | (3) (5.6.6) | |||
73 | cyklotruncated dodecahedral-icosahedral | (1) (3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3) | (3) (3.10.10) | (3) (3.10.10) | |||
74 | usměrněný dodekahedrálně-dvacetistěnný | (1) (3.5.3.5) | (2) (3.4.5.4) | (1) (3.5.3.5) | (2) (3.4.5.4) | |||
75 | zkrácený dodekahedrální ikosaedrální | (1) (5.6.6) | (1) (3.4.5.4) | (1) (3.10.10) | (2) (4.6.10) | |||
76 | všudypřítomná dodekahedrálně-ikosahedrální | (1) (4.6.10) | (1) (4.6.10) | (1) (4.6.10) | (1) (4.6.10) | |||
Nejednotný | omnisnub dodecahedral-icosahedral | (1) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3.5) | (1) (3.3.3.3.5) | (4) +(3.3.3) |
Souhrnný výčet kompaktních uniformních voštin
Toto je kompletní výčet 76 Wythoffianských jednotných voštin. The střídání jsou uvedeny pro úplnost, ale většina z nich není jednotná.
Index | Skupina coxeterů | Rozšířené symetrie | Voštiny | Chirál prodloužena symetrie | Střídavé voštiny | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
H1 | [4,3,5] | [4,3,5] | 15 | | | | | | | | | | | | | | [1+,4,(3,5)+] | (2) | (= ) |
[4,3,5]+ | (1) | ||||||
H2 | [3,5,3] | [3,5,3] | 6 | | | | | | | |||
[2+[3,5,3]] | 5 | | | | [2+[3,5,3]]+ | (1) | |||
H3 | [5,31,1] | [5,31,1] | 4 | | | | | |||
[1[5,31,1]]=[5,3,4] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[5,31,1]]+ =[5,3,4]+ | (1) | |||
H4 | [(4,3,3,3)] | [(4,3,3,3)] | 6 | | | | | | | |||
[2+[(4,3,3,3)]] | 3 | | | | [2+[(4,3,3,3)]]+ | (1) | |||
H5 | [5,3,5] | [5,3,5] | 6 | | | | | | | |||
[2+[5,3,5]] | 3 | | | | [2+[5,3,5]]+ | (1) | |||
H6 | [(5,3,3,3)] | [(5,3,3,3)] | 6 | | | | | | | |||
[2+[(5,3,3,3)]] | 3 | | | | [2+[(5,3,3,3)]]+ | (1) | |||
H7 | [(3,4)[2]] | [(3,4)[2]] | 2 | | | |||
[2+[(3,4)[2]]] | 1 | ||||||
[2+[(3,4)[2]]] | 1 | ||||||
[2+[(3,4)[2]]] | 1 | [2+[(3+,4)[2]]] | (1) | ||||
[(2,2)+[(3,4)[2]]] | 1 | [(2,2)+[(3,4)[2]]]+ | (1) | ||||
H8 | [(5,3,4,3)] | [(5,3,4,3)] | 6 | | | | | | | |||
[2+[(5,3,4,3)]] | 3 | | | | [2+[(5,3,4,3)]]+ | (1) | |||
H9 | [(3,5)[2]] | [(3,5)[2]] | 2 | | | |||
[2+[(3,5)[2]]] | 1 | ||||||
[2+[(3,5)[2]]] | 1 | ||||||
[2+[(3,5)[2]]] | 1 | ||||||
[(2,2)+[(3,5)[2]]] | 1 | [(2,2)+[(3,5)[2]]]+ | (1) |
Viz také
Poznámky
Reference
- James E. Humphreys, Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge studia pokročilé matematiky, 29 (1990)
- Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru )
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
- Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitoly 16–17: Geometrie na třech varietách I, II) [3]
- Coxeterovy rozklady hyperbolické čtyřstěny, arXiv /PDF, A. Felikson, prosinec 2002
- C. W. L. Garner, Pravidelná šikmá mnohostěna v hyperbolickém trojprostoru Umět. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [4]
- Norman Johnson, Geometrie a transformace (2018), kapitoly 11,12,13
- N. W. Johnson, R. Kellerhals J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Velikost hyperbolického Coxeterova simplexu„Transformation Groups 1999, svazek 4, číslo 4, str. 329–353 [5]
- N.W. Johnson, R. Kellerhals J.G. Ratcliffe, S.T. Tschantz, Třídy srovnatelnosti hyperbolických Coxeterových skupin H3: p130. [6]
- Klitzing, Richarde. „Hyperbolické voštiny H3 compact“.