Hamilton-Jacobiho rovnice - Hamilton–Jacobi equation

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Moment Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rolleova věta
Rozdíl Definice Derivát  (zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Koncepty Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související sazby Taylorova věta Pravidla a totožnost Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruno
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  (nevhodný ) Riemannův integrál Lebesgueova integrace Integrace kontury Integrace inverzních funkcí Integrace Díly Disky Válcové skořápky Střídání  (trigonometrický, Weierstrass, Euler ) Eulerův vzorec Dílčí zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Diferenciace pod integrálním znaménkem
Série Geometrický  (aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Summand limit (semestrální test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídavá řada Cauchyova kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacian Směrový derivát Totožnosti Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence zobecněný Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tenzor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Čára integrální Plošný integrál Objemový integrál Jacobian Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Glosář počtu Glosář počtu Seznam témat kalkulu

v fyzika, Hamilton-Jacobiho rovnice, pojmenoval podle William Rowan Hamilton a Carl Gustav Jacob Jacobi, je alternativní formulace klasická mechanika, ekvivalent k jiným formulacím, jako je Newtonovy zákony pohybu, Lagrangian mechanika a Hamiltoniánská mechanika. Při identifikaci je zvláště užitečná Hamiltonova-Jacobiho rovnice konzervovaná množství pro mechanické systémy, což je možné i v případě, že samotný mechanický problém nelze zcela vyřešit.

Hamiltonova-Jacobiho rovnice je také jedinou formulací mechaniky, ve které lze pohyb částice představovat jako vlnu. V tomto smyslu splnil dlouhodobý cíl teoretické fyziky (datování alespoň do Johann Bernoulli v osmnáctém století) hledání analogie mezi šířením světla a pohybem částice. Vlnová rovnice následovaná mechanickými systémy je podobná, ale ne identická s, Schrödingerova rovnice, jak je popsáno níže; z tohoto důvodu je rovnice Hamilton-Jacobi považována za „nejbližší přístup“ klasická mechanika na kvantová mechanika.^[1][2]

v matematika, Hamiltonova-Jacobiho rovnice je a nutná podmínka popisující extremální geometrie při zevšeobecňování problémů z variační počet. Lze jej chápat jako zvláštní případ Hamilton – Jacobi – Bellmanova rovnice z dynamické programování.^[3]

Zápis

Odvážné proměnné jako např ${ displaystyle mathbf {q}}$ představují seznam ${ displaystyle N}$ zobecněné souřadnice,

${ displaystyle mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {N-1}, q_ {N})}$

Tečka nad proměnnou nebo seznamem označuje časovou derivaci (viz Newtonova notace ). Například,

${ displaystyle { dot { mathbf {q}}} = { frac {d mathbf {q}} {dt}}.}$

The Tečkovaný produkt zápis mezi dvěma seznamy se stejným počtem souřadnic je zkratkou pro součet součinů odpovídajících komponent, jako např

${ displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {q} = součet _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} q_ {k}.}$

Hamiltonova hlavní funkce

Nechte čas okamžitě ${ displaystyle t_ {0}}$ a bod ${ displaystyle q_ {0} v M}$ v konfiguračním prostoru opravit. Pro libovolný vektor rychlosti ${ displaystyle v_ {0} v T_ {q_ {0}} M,}$ the Euler-Lagrangeovy rovnice mít lokálně jedinečné řešení ${ displaystyle gamma}$ pro který ${ displaystyle gamma | _ {t = t_ {0}} = q_ {0}}$ a ${ displaystyle { dot { gamma}} | _ {t = t_ {0}} = v_ {0}.}$ Předpokládejme, že existuje dostatečně malý časový interval ${ displaystyle [t_ {0}, t_ {1})}$ takové, že extrémy s různými počátečními rychlostmi ${ displaystyle v_ {0}}$ neprotínají se dovnitř ${ displaystyle M times [t_ {0}, t_ {1}).}$ Za tohoto předpokladu, pro všechny ${ displaystyle q v M,}$ nanejvýš jeden extremální ${ displaystyle gamma = gamma ( tau)}$ může projít ${ displaystyle q}$ při splnění výchozí podmínky ${ displaystyle gamma | _ { tau = t_ {0}} = q_ {0}.}$ Střídání ${ displaystyle gamma}$ do akce funkční, získejte Hamiltonovu hlavní funkci

Matematická formulace

Vzhledem k Hamiltonian ${ displaystyle H (q, p, t)}$ mechanického systému (kde ${ displaystyle q}$, ${ displaystyle p}$ jsou souřadnice a momenty systému a ${ displaystyle t}$ je čas) rovnice Hamilton – Jacobi je psána jako prvního řádu, nelineární parciální diferenciální rovnice pro Hamiltonovu hlavní funkci ${ displaystyle S (q, t)}$,^[4]

Výpočet variace ${ displaystyle S}$ s ohledem na změnu souřadnic koncového bodu,

${ displaystyle delta S = int left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné q}} delta q + { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} delta { dot {q}} pravé) dt = int levé ({ frac {d} {dt}} { frac { částečné { mathcal { L}}} { částečné { dot {q}}}} delta q + { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} { frac {d } {dt}} delta {q} vpravo) dt = int { frac {d} {dt}} doleva ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { tečka {q}}}} delta q right) dt = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} delta q = p delta q,}$

vede k

Pomocí tohoto výsledku a výpočtu variace ${ displaystyle S}$ s ohledem na variaci času koncového bodu vede přímo k Hamiltonově-Jacobiho rovnici,

${ displaystyle delta S = { mathcal {L}} delta t + { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} delta q = { mathcal {L}} delta t - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} { dot {q}} delta t = -H delta t ;,}$

nebo

kde ${ displaystyle delta q = - { tečka {q}} delta t}$ je změna trajektorie k dosažení stejného starého koncového bodu po prodloužení času od směny a kde ${ displaystyle H = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot {q}}}} { dot {q}} - { mathcal {L}}}$ je Hamiltonián systému.

Alternativně, jak je popsáno níže, lze odvodit Hamiltonovu a Jacobiho rovnici Hamiltoniánská mechanika ošetřením ${ displaystyle S}$ jako generující funkce pro kanonická transformace klasického hamiltoniánu

${ displaystyle H = H (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {N}; p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {N}; t).}$

Konjugovaná hybnost odpovídá prvním derivátům ${ displaystyle S}$ s ohledem na zobecněné souřadnice

${ displaystyle p_ {k} = { frac { částečné S} { částečné q_ {k}}}.}$

Jako řešení rovnice Hamilton – Jacobi obsahuje hlavní funkce ${ displaystyle N + 1}$ neurčené konstanty, první ${ displaystyle N}$ z nich označeno jako ${ displaystyle alpha _ {1}, , alpha _ {2}, ..., alpha _ {N}}$a poslední z integrace ${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné t}}}$.

Vztah mezi ${ displaystyle { textbf {p}}}$ a ${ displaystyle { textbf {q}}}$ pak popisuje oběžnou dráhu v fázový prostor z hlediska těchto konstanty pohybu. Kromě toho množství

${ displaystyle beta _ {k} = { frac { částečné S} { částečné alfa _ {k}}}, quad k = 1,2, ldots, N}$

jsou také konstanty pohybu a tyto rovnice lze invertovat a najít ${ displaystyle { textbf {q}}}$ jako funkce všech ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ konstanty a čas.^[5]

Srovnání s jinými formulacemi mechaniky

HJE je a singl, parciální diferenciální rovnice prvního řádu pro funkci ${ displaystyle N}$ zobecněné souřadnice ${ displaystyle q_ {1}, , q_ {2}, ..., q_ {N}}$ a čas ${ displaystyle t}$. Zobecněná hybnost se neobjevuje, kromě derivací ${ displaystyle S}$. Pozoruhodné je, že funkce ${ displaystyle S}$ se rovná klasická akce.

Pro srovnání v ekvivalentu Euler-Lagrangeovy pohybové rovnice z Lagrangian mechanika „konjugovaná hybnost se také neobjevuje; tyto rovnice jsou však a Systém z ${ displaystyle N}$, obecně rovnice druhého řádu pro časový vývoj zobecněných souřadnic. Podobně, Hamiltonovy pohybové rovnice jsou další Systém ze dne 2N rovnice prvního řádu pro časový vývoj zobecněných souřadnic a jejich konjugované hybnosti ${ displaystyle p_ {1}, , p_ {2}, ..., p_ {N}}$.

Protože HJE je ekvivalentním vyjádřením integrálního problému minimalizace, jako je Hamiltonův princip, HJE může být užitečné v dalších problémech variační počet a obecněji v jiných odvětvích matematika a fyzika, jako dynamické systémy, symplektická geometrie a kvantový chaos. Například k určení lze použít Hamilton-Jacobiho rovnice geodetika na Riemannovo potrubí, důležitý variační problém v Riemannova geometrie.

Odvození pomocí kanonické transformace

Žádný kanonická transformace zahrnující typ-2 generující funkce ${ displaystyle G_ {2} ({ textbf {q}}, { textbf {P}}, t)}$ vede k vztahům

${ displaystyle mathbf {p} = { částečné G_ {2} nad částečné mathbf {q}}, quad mathbf {Q} = { částečné G_ {2} nad částečné mathbf {P }}, quad K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) = H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) + { částečné G_ {2} nad částečné t}}$

a Hamiltonovy rovnice z hlediska nových proměnných ${ displaystyle mathbf {P}, , mathbf {Q}}$ a nový Hamiltonian ${ displaystyle K}$ mít stejný tvar:

${ displaystyle { dot { mathbf {P}}} = - { částečné K přes částečné mathbf {Q}}, quad { dot { mathbf {Q}}} = + { částečné K přes částečné mathbf {P}}.}$

K odvození HJE, generující funkce ${ displaystyle G_ {2} ({ textbf {q}}, { textbf {P}}, t)}$ je zvolen takovým způsobem, že z něj bude nový Hamiltonian ${ displaystyle K = 0}$. Proto jsou všechny jeho deriváty také nulové a transformované Hamiltonovy rovnice se stávají triviálními

${ displaystyle { dot { mathbf {P}}} = { dot { mathbf {Q}}} = 0}$

takže nové zobecněné souřadnice a momenty jsou konstanty pohybu. Jelikož jsou to konstanty, v této souvislosti nový zobecněný moment ${ displaystyle { textbf {P}}}$ jsou obvykle označeny ${ displaystyle alpha _ {1}, , alpha _ {2}, ..., alpha _ {N}}$, tj. ${ displaystyle P_ {m} = alpha _ {m}}$ a nový zobecněné souřadnice ${ displaystyle { textbf {Q}}}$ jsou obvykle označovány jako ${ displaystyle beta _ {1}, , beta _ {2}, ..., beta _ {N}}$, tak ${ displaystyle Q_ {m} = beta _ {m}}$.

Nastavení funkce generování se rovná Hamiltonově hlavní funkci plus libovolná konstanta ${ displaystyle A}$:

${ displaystyle G_ {2} ( mathbf {q}, { boldsymbol { alpha}}, t) = S ( mathbf {q}, t) + A,}$

automaticky vzniká HJE

${ displaystyle mathbf {p} = { frac { částečné G_ {2}} { částečné mathbf {q}}} = { frac { částečné S} { částečné mathbf {q}}} , rightarrow , H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) + { částečné G_ {2} nad částečné t} = 0 , rightarrow , H vlevo ( mathbf { q}, { frac { částečné S} { částečné mathbf {q}}}, t pravé) + { částečné S přes částečné t} = 0.}$

Po vyřešení pro ${ displaystyle S ( mathbf {q}, { boldsymbol { alpha}}, t)}$, také nám dávají užitečné rovnice

${ displaystyle mathbf {Q} = { boldsymbol { beta}} = { částečné S nad částečné { boldsymbol { alfa}}},}$

nebo pro lepší přehlednost napsané v součástech

${ displaystyle Q_ {m} = beta _ {m} = { frac { částečné S ( mathbf {q}, { boldsymbol { alpha}}, t)} { částečné alfa _ {m} }}.}$

V ideálním případě tyto N rovnice lze převrátit a najít originál zobecněné souřadnice ${ displaystyle { textbf {q}}}$ jako funkce konstant ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}, , { boldsymbol { beta}},}$ a ${ displaystyle t}$, čímž se vyřeší původní problém.

Akce a Hamiltonovy funkce

Hamiltonova hlavní funkce S a klasická funkce H jsou úzce spjaty s akce. The celkový rozdíl z ${ displaystyle S}$ je:

${ displaystyle dS = sum _ {i} { frac { částečné S} { částečné q_ {i}}} dq_ {i} + { frac { částečné S} { částečné t}} dt}$

takže časová derivace z S je

${ displaystyle { frac {dS} {dt}} = součet _ {i} { frac { částečné S} { částečné q_ {i}}} { tečka {q}} _ {i} + { frac { částečné S} { částečné t}} = součet _ {i} p_ {i} { tečka {q}} _ {i} -H = L.}$

Proto,

${ displaystyle S = int L , dt,}$

tak S je vlastně klasická akce plus neurčitá konstanta.

Když H výslovně nezávisí na čase,

${ displaystyle W = S + Et = S + Ht = int (L + H) , dt = int mathbf {p} cdot d mathbf {q},}$

v tomto případě Ž je stejné jako zkrácená akce.

Oddělení proměnných

HJE je nejužitečnější, když jej lze vyřešit pomocí aditivní separace proměnných, který přímo identifikuje konstanty pohybu. Například čas t lze oddělit, pokud Hamiltonián výslovně nezávisí na čase. V tom případě časová derivace ${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné t}}}$ v HJE musí být konstanta, obvykle označená (${ displaystyle -E}$), čímž se získá oddělený roztok

${ displaystyle S = W (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {N}) - Et}$

kde časově nezávislá funkce ${ displaystyle W ({ textbf {q}})}$ se někdy nazývá Hamiltonova charakteristická funkce. Redukovanou rovnici Hamilton – Jacobi lze poté napsat

${ displaystyle H left ( mathbf {q}, { frac { částečné S} { částečné mathbf {q}}} vpravo) = E.}$

Pro ilustraci oddělitelnosti pro jiné proměnné jisté zobecněná souřadnice ${ displaystyle q_ {k}}$ a jeho derivát ${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné q_ {k}}}}$ se předpokládá, že se objevují společně jako jedna funkce

${ displaystyle psi vlevo (q_ {k}, { frac { částečné S} { částečné q_ {k}}} pravé)}$

v hamiltoniánu

${ displaystyle H = H (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {k-1}, q_ {k + 1}, ldots, q_ {N}; p_ {1}, p_ {2 }, ldots, p_ {k-1}, p_ {k + 1}, ldots, p_ {N}; psi; t).}$

V takovém případě funkce S lze rozdělit na dvě funkce, přičemž jedna závisí pouze na q_k a další, která závisí pouze na zbývajících zobecněné souřadnice

${ displaystyle S = S_ {k} (q_ {k}) + S _ { text {rem}} (q_ {1}, ldots, q_ {k-1}, q_ {k + 1}, ldots, q_ {N}, t).}$

Substituce těchto vzorců do rovnice Hamilton – Jacobi ukazuje, že funkce ψ musí být konstanta (zde označená jako ${ displaystyle Gamma _ {k}}$), čímž se získá první objednávky obyčejná diferenciální rovnice pro ${ displaystyle S_ {k} (q_ {k}),}$

${ displaystyle psi left (q_ {k}, { frac {dS_ {k}} {dq_ {k}}} right) = Gamma _ {k}.}$

Ve šťastných případech funkce ${ displaystyle S}$ lze úplně rozdělit na ${ displaystyle N}$ funkce ${ displaystyle S_ {m} (q_ {m}),}$

${ displaystyle S = S_ {1} (q_ {1}) + S_ {2} (q_ {2}) + cdots + S_ {N} (q_ {N}) - atd.}$

V takovém případě se problém vyřeší ${ displaystyle N}$ obyčejné diferenciální rovnice.

Oddělitelnost S záleží jak na Hamiltonian, tak na výběru zobecněné souřadnice. Pro ortogonální souřadnice a Hamiltonians, kteří nemají časovou závislost a jsou kvadratický v generalizovaném momentu, ${ displaystyle S}$ bude zcela oddělitelná, pokud je potenciální energie aditivně oddělitelná v každé souřadnici, kde je potenciál potenciální energie pro každou souřadnici vynásoben faktorem závislým na souřadnici v odpovídajícím momentu hybnosti Hamiltonova ( Staeckel podmínky). Pro ilustraci několik příkladů v ortogonální souřadnice jsou zpracovány v následujících částech.

Příklady v různých souřadnicových systémech

Sférické souřadnice

v sférické souřadnice Hamiltonián volných částic pohybujících se v konzervativním potenciálu U lze psát

${ displaystyle H = { frac {1} {2m}} vlevo [p_ {r} ^ {2} + { frac {p _ { theta} ^ {2}} {r ^ {2}}} + { frac {p _ { phi} ^ {2}} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} right] + U (r, theta, phi).}$

Rovnice Hamilton – Jacobi je v těchto souřadnicích zcela oddělitelná za předpokladu, že existují funkce:${ displaystyle U_ {r} (r), U _ { theta} ( theta), U _ { phi} ( phi)}$ takhle ${ displaystyle U}$ lze psát obdobnou formou

${ displaystyle U (r, theta, phi) = U_ {r} (r) + { frac {U _ { theta} ( theta)} {r ^ {2}}} + { frac {U_ { phi} ( phi)} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}}.}$

Substituce zcela odděleného roztoku

${ displaystyle S = S_ {r} (r) + S _ { theta} ( theta) + S _ { phi} ( phi) -Et}$

do výnosů HJE

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {r}} {dr}} vpravo) ^ {2} + U_ {r} (r) + { frac {1 } {2mr ^ {2}}} left [ left ({ frac {dS _ { theta}} {d theta}} right) ^ {2} + 2mU _ { theta} ( theta) right ] + { frac {1} {2mr ^ {2} sin ^ {2} theta}} left [ left ({ frac {dS _ { phi}} {d phi}} right) ^ {2} + 2mU _ { phi} ( phi) right] = E.}$

Tuto rovnici lze vyřešit postupnou integrací obyčejné diferenciální rovnice, počínaje rovnicí pro ${ displaystyle phi}$

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { phi}} {d phi}} right) ^ {2} + 2mU _ { phi} ( phi) = Gamma _ { phi}}$

kde ${ displaystyle Gamma _ { phi}}$ je konstanta pohybu který vylučuje ${ displaystyle phi}$ závislost z rovnice Hamilton – Jacobi

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {r}} {dr}} vpravo) ^ {2} + U_ {r} (r) + { frac {1 } {2mr ^ {2}}} left [ left ({ frac {dS _ { theta}} {d theta}} right) ^ {2} + 2mU _ { theta} ( theta) + { frac { Gamma _ { phi}} { sin ^ {2} theta}} right] = E.}$

Další obyčejná diferenciální rovnice zahrnuje ${ displaystyle theta}$ zobecněná souřadnice

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { theta}} {d theta}} right) ^ {2} + 2mU _ { theta} ( theta) + { frac { Gamma _ { phi }} { sin ^ {2} theta}} = Gamma _ { theta}}$

kde ${ displaystyle Gamma _ { theta}}$ je opět a konstanta pohybu který vylučuje ${ displaystyle theta}$ závislost a redukuje HJE na finále obyčejná diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {r}} {dr}} vpravo) ^ {2} + U_ {r} (r) + { frac { Gamma _ { theta}} {2mr ^ {2}}} = E}$

jehož integrace doplňuje řešení pro ${ displaystyle S}$.

Eliptické válcové souřadnice

Hamiltonian v eliptické válcové souřadnice lze psát

${ displaystyle H = { frac {p _ { mu} ^ {2} + p _ { nu} ^ {2}} {2ma ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right)}} + { frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}} + U ( mu, nu, z)}$

Kde ohniska z elipsy jsou umístěny na ${ displaystyle pm a}$ na ${ displaystyle x}$-osa. Hamiltonova-Jacobiho rovnice je v těchto souřadnicích zcela oddělitelná za předpokladu, že ${ displaystyle U}$ má obdobnou formu

${ displaystyle U ( mu, nu, z) = { frac {U _ { mu} ( mu) + U _ { nu} ( nu)} { sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu}} + U_ {z} (z)}$

kde: ${ displaystyle U _ { mu} ( mu)}$, ${ displaystyle U _ { nu} ( nu)}$ a ${ displaystyle U_ {z} (z)}$ jsou libovolné funkce. Substituce zcela odděleného roztoku

${ displaystyle S = S _ { mu} ( mu) + S _ { nu} ( nu) + S_ {z} (z) -Et}$ do výnosů HJE

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {z}} {dz}} vpravo) ^ {2} + U_ {z} (z) + { frac {1 } {2ma ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right)}} left [ left ({ frac {dS _ { mu}} {d mu}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac {dS _ { nu}} {d nu}} vpravo) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ { mu} ( mu) + 2ma ^ {2} U _ { nu} ( nu) right] = E.}$

Oddělující první obyčejná diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {z}} {dz}} vpravo) ^ {2} + U_ {z} (z) = Gamma _ {z }}$

získá redukovanou rovnici Hamilton-Jacobi (po novém uspořádání a vynásobení obou stran jmenovatelem)

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { mu}} {d mu}} right) ^ {2} + left ({ frac {dS _ { nu}} {d nu}} vpravo) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ { mu} ( mu) + 2ma ^ {2} U _ { nu} ( nu) = 2ma ^ {2} vlevo ( sinh ^ {2 } mu + sin ^ {2} nu right) left (E- Gamma _ {z} right)}$

který sám o sobě lze rozdělit na dva nezávislé obyčejné diferenciální rovnice

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { mu}} {d mu}} right) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ { mu} ( mu) + 2ma ^ {2} left ( Gamma _ {z} -E right) sinh ^ {2} mu = Gamma _ { mu}}$

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { nu}} {d nu}} right) ^ {2} + 2ma ^ {2} U _ { nu} ( nu) + 2ma ^ {2} left ( Gamma _ {z} -E right) sin ^ {2} nu = Gamma _ { nu}}$

které po vyřešení poskytnou kompletní řešení pro ${ displaystyle S}$.

Parabolické válcové souřadnice

Hamiltonian v parabolické válcové souřadnice lze psát

${ displaystyle H = { frac {p _ { sigma} ^ {2} + p _ { tau} ^ {2}} {2m left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) }} + { frac {p_ {z} ^ {2}} {2m}} + U ( sigma, tau, z).}$

Hamiltonova-Jacobiho rovnice je v těchto souřadnicích zcela oddělitelná za předpokladu, že ${ displaystyle U}$ má obdobnou formu

${ displaystyle U ( sigma, tau, z) = { frac {U _ { sigma} ( sigma) + U _ { tau} ( tau)} { sigma ^ {2} + tau ^ { 2}}} + U_ {z} (z)}$

kde ${ displaystyle U _ { sigma} ( sigma)}$, ${ displaystyle U _ { tau} ( tau)}$, a ${ displaystyle U_ {z} (z)}$ jsou libovolné funkce. Substituce zcela odděleného roztoku

${ displaystyle S = S _ { sigma} ( sigma) + S _ { tau} ( tau) + S_ {z} (z) -Et + { text {stálá}}}$

do výnosů HJE

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {z}} {dz}} vpravo) ^ {2} + U_ {z} (z) + { frac {1 } {2m left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right)}} left [ left ({ frac {dS _ { sigma}} {d sigma}} right) ^ {2} + left ({ frac {dS _ { tau}} {d tau}} right) ^ {2} + 2mU _ { sigma} ( sigma) + 2mU _ { tau} ( tau) right] = E.}$

Oddělující první obyčejná diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ({ frac {dS_ {z}} {dz}} vpravo) ^ {2} + U_ {z} (z) = Gamma _ {z }}$

získá redukovanou rovnici Hamilton-Jacobi (po novém uspořádání a vynásobení obou stran jmenovatelem)

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { sigma}} {d sigma}} right) ^ {2} + left ({ frac {dS _ { tau}} {d tau}} vpravo) ^ {2} + 2mU _ { sigma} ( sigma) + 2mU _ { tau} ( tau) = 2m vlevo ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} vpravo) vlevo ( E- Gamma _ {z} vpravo)}$

který sám o sobě může být rozdělen na dva nezávislé obyčejné diferenciální rovnice

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { sigma}} {d sigma}} right) ^ {2} + 2mU _ { sigma} ( sigma) + 2m sigma ^ {2} left ( Gamma _ {z} -E right) = Gamma _ { sigma}}$

${ displaystyle left ({ frac {dS _ { tau}} {d tau}} right) ^ {2} + 2mU _ { tau} ( tau) + 2m tau ^ {2} left ( Gamma _ {z} -E right) = Gamma _ { tau}}$

které po vyřešení poskytnou kompletní řešení pro ${ displaystyle S}$.

Vlny a částice

Čela a trajektorie optických vln

HJE vytváří dualitu mezi trajektoriemi a vlnovými frontami.^[6] Například v geometrické optice lze světlo považovat za „paprsky“ nebo vlny. Vlnovou frontu lze definovat jako povrch ${ textstyle { cal {C}} _ ​​{t}}$ že světlo vyzařovalo v čase ${ textstyle t = 0}$ dosáhl v čase ${ textový styl}$. Světelné paprsky a čelní plochy vln jsou dvojí: je-li známo jedno, lze odvodit druhé.

Přesněji řečeno, geometrická optika je variačním problémem, kde „akcí“ je doba jízdy ${ textstyle T}$ po cestě,

kde ${ textstyle n}$ je médium index lomu a ${ textstyle ds}$ je nekonečně malá délka oblouku. Z výše uvedené formulace lze vypočítat dráhy paprsků pomocí Euler-Lagrangeovy formulace; alternativně lze vypočítat vlnové fronty řešením Hamilton-Jacobiho rovnice. Znalost jednoho vede k poznání druhého.

Výše uvedená dualita je velmi obecná a platí pro Všechno systémy, které jsou odvozeny z variačního principu: buď vypočítat trajektorie pomocí Euler-Lagrangeových rovnic nebo vlnových front pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice.

Vlnová fronta v čase ${ textový styl}$, pro systém původně v ${ textstyle { textbf {q}} _ {0}}$ v čase ${ textstyle t_ {0}}$, je definován jako sběr bodů ${ textstyle { textbf {q}}}$ takhle ${ textstyle S ({ textbf {q}}, t) = { text {const}}}$. Li ${ textstyle S ({ textbf {q}}, t)}$ je známo, hybnost je okamžitě odvozena.

Jednou ${ textstyle { textbf {p}}}$ je známo, tečny k trajektoriím ${ textstyle { dot { textbf {q}}}}$ jsou počítány řešením rovnice

pro ${ textstyle { dot { textbf {q}}}}$, kde ${ textstyle { cal {L}}}$ je Lagrangian. Trajektorie se poté získají ze znalosti ${ textstyle { dot { textbf {q}}}}$.

Vztah k Schrödingerově rovnici

The isosurfaces funkce ${ displaystyle S ({ textbf {q}}, t)}$ lze určit kdykoli t. Pohyb ${ displaystyle S}$-isosurface jako funkce času je definována pohyby částic začínajících v bodech ${ displaystyle { textbf {q}}}$ na isosurface. Pohyb takového isosurface lze považovat za mávat pohybující se skrz ${ displaystyle { textbf {q}}}$-prostor, i když to neposlouchá vlnová rovnice přesně. Chcete-li to ukázat, dovolte S představují fáze vlny

${ displaystyle psi = psi _ {0} e ^ {iS / hbar}}$

kde ${ displaystyle hbar}$ je konstanta (Planckova konstanta ) zavedeno, aby byl exponenciální argument bezrozměrný; změny v amplituda z mávat může být reprezentován tím, že ${ displaystyle S}$ být komplexní číslo. Rovnice Hamilton – Jacobi se poté přepíše na

${ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi -U psi = { frac { hbar} {i}} { frac { částečný psi } { částečné t}}}$

který je Schrödingerova rovnice.

Naopak, počínaje Schrödingerovou rovnicí a naší ansatz pro ${ displaystyle psi}$, lze z toho odvodit^[7]

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ( nabla S vpravo) ^ {2} + U + { frac { částečné S} { částečné t}} = { frac {i hbar } {2m}} nabla ^ {2} S.}$

Klasický limit (${ displaystyle hbar rightarrow 0}$) Schrödingerovy rovnice výše se stává identickou s následující variantou Hamilton-Jacobiho rovnice,

${ displaystyle { frac {1} {2m}} vlevo ( nabla S vpravo) ^ {2} + U + { frac { částečné S} { částečné t}} = 0.}$

Aplikace

HJE v gravitačním poli

Za použití vztah energie a hybnosti ve formě^[8]

${ displaystyle g ^ { alpha beta} P _ { alpha} P _ { beta} - (mc) ^ {2} = 0}$

pro částice odpočinková hmota ${ displaystyle m}$ cestování v zakřiveném prostoru, kde ${ displaystyle g ^ { alpha beta}}$jsou protikladný souřadnice metrický tenzor (tj inverzní metrika ) vyřešen z Einsteinovy ​​rovnice pole, a ${ displaystyle c}$ je rychlost světla. Nastavení čtyři momenty ${ displaystyle P _ { alpha}}$ rovná se čtyřstupňový akce ${ displaystyle S}$,

${ displaystyle P _ { alpha} = - { frac { částečné S} { částečné x ^ { alfa}}}}$

dává Hamiltonovu a Jacobiho rovnici v geometrii určené metrikou ${ displaystyle g}$:

${ displaystyle g ^ { alpha beta} { frac { částečné S} { částečné x ^ { alpha}}} { frac { částečné S} { částečné x ^ { beta}}} - (mc) ^ {2} = 0,}$

jinými slovy, v a gravitační pole.

HJE v elektromagnetických polích

Pro částice odpočinková hmota ${ displaystyle m}$ a elektrický náboj ${ displaystyle e}$ pohybující se v elektromagnetickém poli s čtyři potenciály ${ displaystyle A_ {i} = ( phi, mathrm {A})}$ ve vakuu, Hamiltonova-Jacobiho rovnice v geometrii určená metrickým tenzorem ${ displaystyle g ^ {ik} = g_ {ik}}$ má formu

${ displaystyle g ^ {ik} left ({ frac { částečné S} { částečné x ^ {i}}} + { frac {e} {c}} A_ {i} right) left ( { frac { částečné S} { částečné x ^ {k}}} + { frac {e} {c}} A_ {k} vpravo) = m ^ {2} c ^ {2}}$

a lze jej vyřešit pro Hamiltonovu hlavní akční funkci ${ displaystyle S}$ získat další řešení pro trajektorii a hybnost částic:^[9]

${ displaystyle x = - { frac {e} {c gamma}} int A_ {z} , d xi,}$

${ displaystyle y = - { frac {e} {c gamma}} int A_ {y} , d xi,}$

${ displaystyle z = - { frac {e ^ {2}} {2c ^ {2} gamma ^ {2}}} int ( mathrm {A} ^ {2} - { overline { mathrm { A} ^ {2}}}) , d xi,}$

${ displaystyle xi = ct - { frac {e ^ {2}} {2 gamma ^ {2} c ^ {2}}} int ( mathrm {A} ^ {2} - { overline { mathrm {A} ^ {2}}}) , d xi,}$

${ displaystyle p_ {x} = - { frac {e} {c}} A_ {x}}$, ${ displaystyle p_ {y} = - { frac {e} {c}} A_ {y},}$

${ displaystyle p_ {z} = { frac {e ^ {2}} {2 gamma c}} ( mathrm {A} ^ {2} - { overline { mathrm {A} ^ {2}} }),}$

${ displaystyle { mathcal {E}} = c gamma + { frac {e ^ {2}} {2 gamma c}} ( mathrm {A} ^ {2} - { overline { mathrm { A} ^ {2}}}),}$

kde ${ displaystyle xi = ct-z}$ a ${ displaystyle gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + { frac {e ^ {2}} {c ^ {2}}} { overline {A}} ^ {2} }$ s ${ displaystyle { overline { mathbf {A}}}}$ průměr cyklu vektorového potenciálu.

Kruhově polarizovaná vlna

V případě kruhová polarizace,

${ displaystyle E_ {x} = E_ {0} sin omega xi _ {1}}$, ${ displaystyle E_ {y} = E_ {0} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle A_ {x} = { frac {cE_ {0}} { omega}} cos omega xi _ {1}}$, ${ displaystyle A_ {y} = - { frac {cE_ {0}} { omega}} sin omega xi _ {1}.}$

Proto

${ displaystyle x = - { frac {ecE_ {0}} { omega}} sin omega xi _ {1},}$

${ displaystyle y = - { frac {ecE_ {0}} { omega}} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle p_ {x} = - { frac {eE_ {0}} { omega}} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle p_ {y} = { frac {eE_ {0}} { omega}} sin omega xi _ {1},}$

kde ${ displaystyle xi _ {1} = xi / c}$, což znamená, že částice se pohybuje po kruhové dráze se stálým poloměrem ${ displaystyle ecE_ {0} / gamma omega ^ {2}}$ a neměnná hodnota hybnosti ${ displaystyle eE_ {0} / omega ^ {2}}$ směrovaný podél vektoru magnetického pole.

Monochromatická lineárně polarizovaná rovinná vlna

Pro plochou, monochromatickou, lineárně polarizovanou vlnu s polem ${ displaystyle E}$ směřující podél osy ${ displaystyle y}$

${ displaystyle E_ {y} = E_ {0} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle A_ {y} = - { frac {cE_ {0}} { omega}} sin omega xi _ {1},}$

proto

${ displaystyle x = { text {const}},}$

${ displaystyle y_ {0} = - { frac {ecE_ {0}} { gamma omega ^ {2}}},}$

${ displaystyle y = y_ {0} cos omega xi _ {1}}$, ${ displaystyle z = C_ {z} y_ {0} sin 2 omega xi _ {1},}$

${ displaystyle C_ {z} = { frac {eE_ {0}} {8 gamma omega}}}$, ${ displaystyle gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + { frac {e ^ {2} E_ {0} ^ {2}} {2 omega ^ {2}}}, }$

${ displaystyle p_ {x} = 0,}$

${ displaystyle p_ {y, 0} = { frac {eE_ {0}} { omega}},}$

${ displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} sin omega xi _ {1},}$

${ displaystyle p_ {z} = - 2C_ {z} p_ {y, 0} cos 2 omega xi _ {1}}$

z čehož vyplývá trajektorie částice-8 s dlouhou osou orientovanou podél elektrického pole ${ displaystyle E}$ vektor.

Elektromagnetická vlna se solenoidním magnetickým polem

Pro elektromagnetickou vlnu s axiálním (solenoidním) magnetickým polem:^[10]

${ displaystyle E = E _ { phi} = { frac { omega rho _ {0}} {c}} B_ {0} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle A _ { phi} = - rho _ {0} B_ {0} sin omega xi _ {1} = - { frac {L_ {s}} { pi rho _ {0} N_ {s}}} I_ {0} sin omega xi _ {1},}$

proto

${ displaystyle x = { text {constant}},}$

${ displaystyle y_ {0} = - { frac {e rho _ {0} B_ {0}} { gamma omega}},}$

${ displaystyle y = y_ {0} cos omega xi _ {1},}$

${ displaystyle z = C_ {z} y_ {0} sin 2 omega xi _ {1},}$

${ displaystyle C_ {z} = { frac {e rho _ {0} B_ {0}} {8c gamma}},}$

${ displaystyle gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + { frac {e ^ {2} rho _ {0} ^ {2} B_ {0} ^ {2}} { 2c ^ {2}}},}$

${ displaystyle p_ {x} = 0,}$

${ displaystyle p_ {y, 0} = { frac {e rho _ {0} B_ {0}} {c}},}$

${ displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} sin omega xi _ {1},}$

${ displaystyle p_ {z} = - 2C_ {z} p_ {y, 0} cos 2 omega xi _ {1},}$

kde ${ displaystyle B_ {0}}$ je velikost magnetického pole v solenoidu s účinným poloměrem ${ displaystyle rho _ {0}}$, indukčnost ${ displaystyle L_ {s}}$, počet vinutí ${ displaystyle N_ {s}}$a velikost elektrického proudu ${ displaystyle I_ {0}}$ skrz vinutí solenoidu. Pohyb částic nastává podél trajektorie obrázku 8 v ${ displaystyle yz}$ rovina nastavená kolmo na osu solenoidu s libovolným úhlem azimutu ${ displaystyle varphi}$ v důsledku axiální symetrie solenoidního magnetického pole.

Viz také

Reference

Další čtení

• Hamilton, W. (1833). „O obecné metodě vyjádření cest světla a planet pomocí koeficientů charakteristické funkce“ (PDF). Dublin University Review: 795–826.
• Hamilton, W. (1834). „K aplikaci na dynamiku obecné matematické metody dříve používané pro optiku“ (PDF). Zpráva Britské asociace: 513–518.
• Fetter, A. & Walecka, J. (2003). Teoretická mechanika částic a kontinua. Dover Books. ISBN  978-0-486-43261-8.
• Landau, L. D .; Lifshitz, E. M. (1975). Mechanika. Amsterdam: Elsevier.
• Sakurai, J. J. (1985). Moderní kvantová mechanika. Benjamin / Cummings Publishing. ISBN  978-0-8053-7501-5.
• Jacobi, C. G. J. (1884), Vorlesungen über Dynamik, Gesammelte Werke (v němčině) C. G. J. Jacobiho, Berlín: G. Reimer, OL  14009561M
• Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). „Časná historie dynamiky Hamilton-Jacobiho“. Kentaur. 44 (3–4): 161–227. doi:10.1111 / j.1600-0498.2002.tb00613.x. PMID  17357243.