Aproximace WKB - WKB approximation

v matematická fyzika, Aproximace WKB nebo Metoda WKB je metoda pro nalezení přibližného řešení lineárních diferenciálních rovnic s prostorově proměnnými koeficienty. Obvykle se používá pro semiklasický výpočet v kvantová mechanika ve kterém je vlnová funkce přepracována jako exponenciální funkce, poloklasicky rozšířena a poté se pomalu mění buď amplituda, nebo fáze.

Název je inicializací pro Wentzel – Kramers – Brillouin. To je také známé jako LG nebo Metoda Liouville – Green. Mezi další často používané kombinace písmen patří JWKB a WKBJ, kde „J“ znamená Jeffreys.

Stručná historie

Tato metoda je pojmenována po fyzikech Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers, a Léon Brillouin, kteří jej vyvinuli v roce 1926. V roce 1923 matematik Harold Jeffreys vyvinul obecnou metodu aproximace řešení lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu, třídu, která zahrnuje Schrödingerova rovnice. Samotná Schrödingerova rovnice byla vyvinuta až o dva roky později a Wentzel, Kramers a Brillouin zjevně nevěděli o této dřívější práci, takže Jeffreys je často opomíjen. Rané texty v kvantové mechanice obsahují libovolný počet kombinací jejich iniciál, včetně WBK, BWK, WKBJ, JWKB a BWKJ. Autoritativní diskusi a kritický průzkum poskytl Robert B. Dingle.^[1]

Dřívější objevení v zásadě ekvivalentních metod jsou: Francesco Carlini v roce 1817, Joseph Liouville v roce 1837, George Green v roce 1837, Lord Rayleigh v roce 1912 a Richard Gans v roce 1915. Liouville a Green lze říci, že tuto metodu založili v roce 1837, a běžně se také označuje jako metoda Liouville – Green nebo LG.^[2][3]

Důležitým přínosem Jeffreys, Wentzel, Kramers a Brillouin k metodě bylo zahrnutí léčby body obratu, spojující evanescentní a oscilační řešení na obou stranách bodu obratu. K tomu může například dojít v Schrödingerově rovnici kvůli a potenciální energie kopec.

Metoda WKB

Obecně je teorie WKB metodou pro aproximaci řešení diferenciální rovnice, jejíž nejvyšší derivace se vynásobí malým parametrem ε. Metoda aproximace je následující.

Pro diferenciální rovnici

${ displaystyle varepsilon { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + a (x) { frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1} }} + cdots + k (x) { frac {dy} {dx}} + m (x) y = 0,}$

předpokládat řešení v podobě asymptotická série expanze

${ displaystyle y (x) sim exp left [{ frac {1} { delta}} sum _ {n = 0} ^ { infty} delta ^ {n} S_ {n} (x )že jo]}$

v limitu δ → 0. Asymptotické škálování δ ve smyslu ε bude určeno rovnicí - viz příklad níže.

Nahrazení výše uvedeného ansatz do diferenciální rovnice a zrušení exponenciálních členů umožňuje vyřešit libovolný počet členů S_n(X) v expanzi.

Teorie WKB je zvláštním případem vícenásobná analýza.^[4][5][6]

Příklad

Tento příklad pochází z textu Carl M. Bender a Steven Orszag.^[6] Uvažujme homogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu

${ displaystyle epsilon ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

kde ${ displaystyle Q (x) neq 0}$. Střídání

${ displaystyle y (x) = exp left [{ frac {1} { delta}} sum _ {n = 0} ^ { infty} delta ^ {n} S_ {n} (x) že jo]}$

výsledky v rovnici

${ displaystyle epsilon ^ {2} left [{ frac {1} { delta ^ {2}}} left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} delta ^ {n} S_ {n} ' right) ^ {2} + { frac {1} { delta}} sum _ {n = 0} ^ { infty} delta ^ {n} S_ {n}' ' right ] = Q (x).}$

Na vedoucí pořadí (za předpokladu, že v tuto chvíli bude série asymptoticky konzistentní), výše lze aproximovat jako

${ displaystyle { frac { epsilon ^ {2}} { delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} + { frac {2 epsilon ^ {2}} { delta}} S_ {0} 'S_ {1}' + { frac { epsilon ^ {2}} { delta}} S_ {0} '' = Q (x).}$

V limitu δ → 0, dominantní rovnováha darováno

${ displaystyle { frac { epsilon ^ {2}} { delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} sim Q (x).}$

Tak δ je úměrný ε. Jejich vyrovnání a srovnání výnosů sil

${ displaystyle epsilon ^ {0}: quad S_ {0} '^ {2} = Q (x),}$

které lze rozpoznat jako Eikonální rovnice, s řešením

${ displaystyle S_ {0} (x) = pm int _ {x_ {0}} ^ {x} { sqrt {Q (t)}} , dt.}$

S ohledem na pravomoci prvního řádu ε opravy

${ displaystyle epsilon ^ {1}: quad 2S_ {0} 'S_ {1}' + S_ {0} '' = 0.}$

Toto je jednorozměrné transportní rovnice, který má řešení

${ displaystyle S_ {1} (x) = - { frac {1} {4}} ln Q (x) + k_ {1},}$

kde k₁ je libovolná konstanta.

Nyní máme pár aproximací systému (pár, protože S₀ může mít dvě znamení); aproximace WKB prvního řádu bude lineární kombinací obou:

${ displaystyle y (x) cca c_ {1} Q ^ {- { frac {1} {4}}} (x) exp left [{ frac {1} { epsilon}} int _ {x_ {0}} ^ {x} { sqrt {Q (t)}} , dt right] + c_ {2} Q ^ {- { frac {1} {4}}} (x) exp left [- { frac {1} { epsilon}} int _ {x_ {0}} ^ {x} { sqrt {Q (t)}} , dt right].}$

Výrazy vyššího řádu lze získat při pohledu na rovnice pro vyšší mocniny δ. Výslovně,

${ displaystyle 2S_ {0} 'S_ {n}' + S '' _ {n-1} + součet _ {j = 1} ^ {n-1} S '_ {j} S' _ {nj} = 0}$

pro n ≥ 2.

Přesnost asymptotické řady

Asymptotická série pro y (x) je obvykle a divergentní série, jehož obecný termín δⁿ S_n(X) se po určité hodnotě začne zvyšovat n=n_max. Proto je nejmenší chyba dosažená metodou WKB v nejlepším případě v pořadí posledního zahrnutého termínu.

Pro rovnici

${ displaystyle epsilon ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

s Q (x) <0 analytická funkce, hodnota ${ displaystyle n _ { max}}$ a velikost posledního členu lze odhadnout takto:^[7]

${ displaystyle n _ { max} přibližně 2 epsilon ^ {- 1} vlevo | int _ {x_ {0}} ^ {x _ { ast}} { sqrt {-Q (z)}} , dz vpravo |,}$

${ displaystyle delta ^ {n _ { max}} S_ {n _ { max}} (x_ {0}) přibližně { sqrt { frac {2 pi} {n _ { max}}}} exp [-n _ { max}],}$

kde ${ displaystyle x_ {0}}$ je bod, ve kterém ${ displaystyle y (x_ {0})}$ je třeba vyhodnotit a ${ displaystyle x _ { ast}}$ je (složitý) bod obratu, kde ${ displaystyle Q (x _ { ast}) = 0}$, nejblíže k ${ displaystyle x = x_ {0}}$.

Číslo n_max lze interpretovat jako počet oscilací mezi ${ displaystyle x_ {0}}$ a nejbližší bod obratu.

Li ${ displaystyle epsilon ^ {- 1} Q (x)}$ je pomalu se měnící funkce,

${ displaystyle epsilon vlevo | { frac {dQ} {dx}} vpravo | ll Q ^ {2},}$

číslo n_max bude velká a minimální chyba asymptotické řady bude exponenciálně malá.

Aplikace na Schrödingerovu rovnici

Aproximace WKB na uvedený potenciál. Svislé čáry ukazují body obratu

Hustota pravděpodobnosti pro funkci přibližné vlny. Svislé čáry ukazují body obratu

Výše uvedený příklad lze použít konkrétně na jednorozměrný, nezávislý na čase Schrödingerova rovnice,

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} Psi (x) + V (x) Psi ( x) = E Psi (x),}$

které lze přepsat jako

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} Psi (x) = { frac {2m} { hbar ^ {2}}} vlevo (V (x) - E vpravo) Psi (x).}$

Přibližná vzdálenost od bodů obratu

Vlnovou funkci lze přepsat jako exponenciál jiné funkce Φ (který úzce souvisí s akce ), což může být složité,

${ displaystyle Psi (x) = e ^ { Phi (x)},}$

aby

${ displaystyle Phi '' (x) + doleva [ Phi '(x) doprava] ^ {2} = { frac {2m} { hbar ^ {2}}} doleva (V (x) -E vpravo),}$

kde Φ 'označuje derivaci Φ s ohledem na X. Tento derivát Φ „lze rozdělit na skutečnou a imaginární část zavedením skutečných funkcí A a B,

${ displaystyle Phi '(x) = A (x) + iB (x).}$

Amplituda vlnové funkce je tedy

${ displaystyle exp left [ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x ') , dx' right],}$

zatímco fáze je

${ displaystyle int _ {x_ {0}} ^ {x} B (x ') , dx'.}$

Skutečná a imaginární část Schrödingerovy rovnice se pak stává

${ displaystyle A '(x) + A (x) ^ {2} -B (x) ^ {2} = { frac {2m} { hbar ^ {2}}} vlevo (V (x) - E vpravo),}$

${ displaystyle B '(x) + 2A (x) B (x) = 0.}$

Dále se používá semiklasická aproximace. To znamená, že každá funkce je rozšířena jako výkonová řada v ħ. Z výše uvedených rovnic je patrné, že výkonová řada musí začínat minimálně řádově 1 /ħ uspokojit skutečnou část rovnice. Abychom dosáhli dobrého klasického limitu, je nutné začít s tak velkou silou Planckovy konstanty ħ jak je to možné:

${ displaystyle A (x) = { frac {1} { hbar}} sum _ {n = 0} ^ { infty} hbar ^ {n} A_ {n} (x),}$

${ displaystyle B (x) = { frac {1} { hbar}} sum _ {n = 0} ^ { infty} hbar ^ {n} B_ {n} (x).}$

V nulovém pořadí v této expanzi jsou podmínky zapnuty A a B lze napsat,

${ displaystyle A_ {0} (x) ^ {2} -B_ {0} (x) ^ {2} = 2 m vlevo (V (x) -E vpravo),}$

${ displaystyle A_ {0} (x) B_ {0} (x) = 0 ;.}$

První deriváty Sekera) a B '(x) byly vyřazeny, protože obsahují faktory řádu 1 /ħ, vyšší než dominantní ħ⁻².

Pak, pokud se amplituda mění dostatečně pomalu ve srovnání s fází (${ displaystyle A_ {0} (x) = 0}$), z toho vyplývá, že

${ displaystyle B_ {0} (x) = pm { sqrt {2m levý (E-V (x) pravý)}},}$

což je platné pouze v případě, že je celková energie větší než potenciální energie, jako je tomu vždy v případě klasický pohyb.

Po stejném postupu v dalším pořadí expanze z toho vyplývá

Na druhou stranu, pokud se jedná o fázi, která se mění pomalu (ve srovnání s amplitudou), (${ displaystyle B_ {0} (x) = 0}$) pak

${ displaystyle A_ {0} (x) = pm { sqrt {2m levý (V (x) -E pravý)}},}$

který je platný, pouze když je potenciální energie větší než celková energie (režim, ve kterém kvantové tunelování dojde).

Nalezení dalšího pořadí výtěžků expanze, jako v příkladu předchozí části,^[8]

V klasicky povoleném regionu, konkrétně v regionu, kde ${ displaystyle V (x)$ integrand v exponentu je imaginární a funkce přibližné vlny je oscilační. V klasicky zakázané oblasti ${ displaystyle V (x)> E}$, řešení rostou nebo chátrají. Ve jmenovateli je zřejmé, že obě tato přibližná řešení se v blízkosti klasického stávají singulárními body obratu, kde E = V (x)a nemůže být platný. (Body obratu jsou body, kde klasická částice mění směr.)

Chování v blízkosti bodů obratu

Nyní uvažujeme chování vlnové funkce v blízkosti bodů obratu. K tomu potřebujeme jinou metodu. Blízko prvních bodů obratu X₁, termín ${ displaystyle { frac {2m} { hbar ^ {2}}} vlevo (V (x) -E vpravo)}$ lze rozšířit do výkonové řady,

${ displaystyle { frac {2m} { hbar ^ {2}}} vlevo (V (x) -E vpravo) = U_ {1} cdot (x-x_ {1}) + U_ {2} cdot (x-x_ {1}) ^ {2} + cdots ;.}$

K první objednávce jeden najde

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} Psi (x) = U_ {1} cdot (x-x_ {1}) cdot Psi (x).}$

Tato diferenciální rovnice je známá jako Vzdušná rovnice a řešení může být napsáno ve smyslu Vzdušné funkce,^[9]

${ displaystyle Psi (x) = C_ {A} { textrm {Ai}} vlevo ({ sqrt [{3}] {U_ {1}}} cdot (x-x_ {1}) vpravo ) + C_ {B} { textrm {Bi}} vlevo ({ sqrt [{3}] {U_ {1}}} cdot (x-x_ {1}) vpravo).}$

I když pro jakoukoli pevnou hodnotu ${ displaystyle hbar}$, vlnová funkce je ohraničena v blízkosti bodů obratu, bude tam vlnová funkce vyvrcholena, jak je vidět na obrázcích výše. Tak jako ${ displaystyle hbar}$ se zmenšuje, výška vlnové funkce v bodech obratu roste.

Podmínky shody

Nyní zbývá zkonstruovat globální (přibližné) řešení Schrödingerovy rovnice. Aby byla vlnová funkce integrovatelná do čtverců, musíme vzít pouze exponenciálně se rozpadající řešení ve dvou klasicky zakázaných oblastech. Ty se pak musí správně „spojit“ body obratu s klasicky povolenou oblastí. Pro většinu hodnot E, tento postup shody nebude fungovat: Funkce získaná připojením řešení poblíž ${ displaystyle + infty}$ do klasicky povolené oblasti nebude souhlasit s funkcí získanou připojením řešení poblíž ${ displaystyle - infty}$ do klasicky povoleného regionu. Požadavek, aby se obě funkce shodly, ukládá podmínku energii E, což poskytne aproximaci přesných úrovní kvantové energie.

Vzhledem k dvěma koeficientům na jedné straně klasického bodu obratu lze 2 koeficienty na druhé straně klasického bodu obratu určit pomocí funkce Airy k jejich propojení. Tedy vztah mezi ${ displaystyle C_ {0}, theta}$ a ${ displaystyle C _ {+}, C _ {-}}$ Může být nalezeno. Tento vztah se získá pomocí známé asymptotické funkce Airy. Vztah lze nalézt následovně (často označovaný jako „vzorce připojení“):^[10]

${ displaystyle C _ {+} = + { frac {1} {2}} C_ {0} cos { left ( theta - { frac { pi} {4}} right)},}$

${ displaystyle C _ {-} = - { frac {1} {2}} C_ {0} sin { left ( theta - { frac { pi} {4}} right)}}$

Nyní lze sestavit globální (přibližné) řešení. Totéž lze provést v ostatních bodech obratu; předpokládejme, že existuje jen další, X₂. Výraz se tam však bude lišit od výrazu určeného výše v X₁ rozdílem v argumentu těchto trigonometrických funkcí.

Podmínka shody, potřebná k získání jednohodnotového, čtvercově integrovatelného přibližného řešení, má následující podobu:

${ displaystyle int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} { sqrt {2m levý (EV (x) pravý)}} , dx = (n + 1/2) pi hbar,}$

kde ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ jsou body obratu diskutovaného potenciálu, kde integrand zmizí. Tady n je nezáporné celé číslo. Tuto podmínku lze také přepsat tak, že to říká

Plocha ohraničená klasickou energetickou křivkou je ${ displaystyle 2 pi hbar (n + 1/2)}$.

Ať tak či onak, podmínka na energii je verzí Bohr – Sommerfeldova kvantizace podmínka s „Maslovova korekce "rovná se 1/2.^[11]

Je možné ukázat, že po sestavení aproximací v různých oblastech získáme dobrou aproximaci skutečné vlastní funkce. Maslovy opravené Bohr – Sommerfeldovy energie jsou zejména dobrou aproximací skutečných vlastních čísel Schrödingerova operátoru.^[12] Konkrétně je chyba v energiích malá ve srovnání s typickým rozestupem úrovní kvantové energie. Ačkoli tedy „starou kvantovou teorii“ Bohra a Sommerfelda nakonec nahradila Schrödingerova rovnice, určité pozůstatky této teorie zůstávají jako aproximace vlastních čísel příslušného Schrödingerova operátoru.

Hustota pravděpodobnosti

Pak lze vypočítat hustotu pravděpodobnosti spojenou s funkcí přibližné vlny. Pravděpodobnost, že kvantová částice bude nalezena v klasicky zakázané oblasti, je malá. V klasicky povolené oblasti je zatím pravděpodobnost, že kvantová částice v daném intervalu bude, přibližně zlomek času, který v tomto intervalu tráví klasická částice během jedné periody pohybu.^[13] Vzhledem k tomu, že rychlost klasické částice jde v bodech obratu na nulu, tráví více času v blízkosti bodů obratu než v jiných klasicky povolených oblastech. Toto pozorování odpovídá vrcholu ve vlnové funkci (a jeho hustotě pravděpodobnosti) poblíž bodů obratu.

Aplikace metody WKB na Schrödingerovy rovnice s velkým množstvím potenciálů a srovnání s poruchovými metodami a cestovými integrály jsou zpracovány v Müller-Kirsten.^[14]

Viz také

Reference

Moderní reference

• Bender, Carle; Orszag, Steven (1978). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry. McGraw-Hill. ISBN  0-07-004452-X.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Dítě, M. S. (1991). Semiklasická mechanika s molekulárními aplikacemi. Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN  978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Úvodní kvantová mechanika (4. vydání). Addison-Wesley. ISBN  0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asymptotika a speciální funkce. Akademický tisk. ISBN  0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Kvantová teorie tunelování. World Scientific. ISBN  981-238-019-1.
• Sakurai, J. J. (1993). Moderní kvantová mechanika. Addison-Wesley. ISBN  0-201-53929-2.

Historické odkazy

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla Convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero. Milano.
• Liouville, Joseph (1837). „Sur le développement des fonctions et séries.“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1: 16–35.
• Zelená, Georgi (1837). "O pohybu vln ve variabilním kanálu malé hloubky a šířky". Transakce Cambridge Philosophical Society. 6: 457–462.
• Rayleigh, lord (John William Strutt) (1912). „O šíření vln prostřednictvím stratifikovaného média, se zvláštním zřetelem na otázku odrazu“. Sborník královské společnosti A. 86 (586): 207–226. Bibcode:1912RSPSA..86..207R. doi:10.1098 / rspa.1912.0014.
• Gans, Richarde (1915). „Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium“. Annalen der Physik. 47 (14): 709–736. Bibcode:1915AnP ... 352..709G. doi:10,1002 / a 19153521402.
• Jeffreys, Harold (1924). "Na určitých přibližných řešeních lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu". Proceedings of the London Mathematical Society. 23: 428–436. doi:10,1112 / plms / s2-23.1.428.
• Brillouin, Léon (1926). „La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de Resolution par Aproximations successives“. Komptuje Rendus de l'Académie des Sciences. 183: 24–26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). „Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung“. Zeitschrift für Physik. 39 (10–11): 828–840. Bibcode:1926ZPhy ... 39..828K. doi:10.1007 / BF01451751. S2CID  122955156.
• Wentzel, Gregore (1926). „Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik“. Zeitschrift für Physik. 38 (6–7): 518–529. Bibcode:1926ZPhy ... 38..518W. doi:10.1007 / BF01397171. S2CID  120096571.

externí odkazy

• Fitzpatrick, Richard (2002). „Aproximace W.K.B.“. (Aplikace aproximace WKB na rozptyl rádiových vln z ionosféry.)