Vztah energie a hybnosti - Energy–momentum relation - Wikipedia

v fyzika, vztah energie a hybnostinebo relativistický disperzní vztah, je relativistické rovnice související celkem energie (který se také nazývá relativistická energie) až invariantní hmota (který se také nazývá klidová hmotnost) a hybnost. Jedná se o rozšíření ekvivalence hmotnost-energie pro tělesa nebo systémy s nenulovou hybností. Lze jej napsat jako následující rovnici:

${ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + vlevo (m_ {0} c ^ {2} vpravo) ^ {2} ,}$

(1)

Tato rovnice platí pro a tělo nebo Systém, například jeden nebo více částice, s celkovou energií E, invariantní hmota m₀a hybnost velikost str; konstanta C je rychlost světla. Předpokládá speciální relativita případ plochý časoprostor.^[1][2][3] Celková energie je součet klidová energie a Kinetická energie, zatímco invariantní hmotnost je hmotnost měřená v a rám středu hybnosti.

U těles nebo systémů s nulovou hybností se zjednodušuje na rovnici hmotnost-energie ${ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2}}$, kde se celková energie v tomto případě rovná klidové energii (psáno také jako E₀).

The Diracké moře model, který byl použit k předpovědi existence antihmota, úzce souvisí se vztahem energie a hybnosti.

Připojení k E = mc²

Vztah energie a hybnosti je v souladu se známým vztah hmotnost-energie v obou jejích interpretacích: E = mc² se týká celkové energie E do (celkem) relativistická hmotnost m (alternativně označeno m_rel nebo m_tot ), zatímco E₀ = m₀C² se týká klidová energie E₀ na (invariantní) klidovou hmotu m₀.

Na rozdíl od kterékoli z těchto rovnic je rovnice energie-hybnost (1) souvisí s celkový energie do zbytek Hmotnost m₀. Všechny tři rovnice platí současně.

Speciální případy

1. Pokud je tělo a bezhmotná částice (m₀ = 0), pak (1) snižuje na E = ks. Pro fotony, toto je vztah, objevený v 19. století klasický elektromagnetismus, mezi sálavou hybností (způsobující radiační tlak ) a zářivá energie.
2. Pokud je rychlost těla proti je mnohem méně než C, pak (1) snižuje na E = 1/2m₀proti² + m₀C²; to znamená, že celková energie těla je prostě jeho klasická Kinetická energie (1/2m₀proti²) plus jeho klidová energie.
3. Pokud je tělo v klidu (proti = 0), tj. v jeho rám středu hybnosti (str = 0), my máme E = E₀ a m = m₀; tedy vztah energie a hybnosti a obě formy vztahu hmoty a energie (uvedené výše) se stávají stejnými.

A více obecná forma vztahu (1) platí pro obecná relativita.

The invariantní hmota (nebo klidová hmota) je neměnný pro všechny referenční rámce (odtud název), nejen v setrvačné rámy v plochém časoprostoru, ale také zrychlené snímky cestování skrz zakřivený časoprostor (viz níže). Celková energie částice E a jeho relativistická hybnost str jsou závislé na snímku; relativní pohyb mezi dvěma snímky způsobí, že pozorovatelé v těchto rámcích změří různé hodnoty energie a hybnosti částice; jeden rám měří E a str, zatímco druhý rám měří E′ a str′, kde E′ ≠ E a str′ ≠ str, pokud nedochází k relativnímu pohybu mezi pozorovateli, v takovém případě každý pozorovatel měří stejnou energii a hybnost. I když stále máme, v plochém časoprostoru:

${ displaystyle {E '} ^ {2} - left (p'c right) ^ {2} = left (m_ {0} c ^ {2} right) ^ {2} ,.}$

Množství E, str, E′, str′ všechny souvisí s a Lorentzova transformace. Relace umožňuje jednomu obejít Lorentzovy transformace, když určuje pouze veličiny energie a hybnosti vyrovnáním vztahů v různých rámcích. Znovu v plochém časoprostoru to znamená;

${ displaystyle {E} ^ {2} - left (pc right) ^ {2} = {E '} ^ {2} - left (p'c right) ^ {2} = left (m_ {0} c ^ {2} right) ^ {2} ,.}$

Od té doby m₀ se nemění z snímku na snímek, použije se vztah energie a hybnosti relativistická mechanika a částicová fyzika výpočty, protože energie a hybnost jsou uvedeny v klidovém rámci částice (tj. E′ a str′ jako pozorovatel pohybující se částice by dospěl k závěru, že je) a měřeno v laboratorní rám (tj. E a str jak určují fyzici částic v laboratoři a nepohybují se s částicemi).

v relativistická kvantová mechanika, je základem pro konstrukci relativistické vlnové rovnice, protože pokud je relativistická vlnová rovnice popisující částice v souladu s touto rovnicí - je v souladu s relativistickou mechanikou a je Lorentzův invariant. v relativistická kvantová teorie pole, je použitelný na všechny částice a pole.^[4]

Počátky a odvození rovnice

Vztah energie a hybnosti byl poprvé vytvořen Paul Dirac v roce 1928 pod formulářem ${ displaystyle E = { sqrt {c ^ {2} p ^ {2} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}} + V}$, kde V je množství potenciální energie. ^[5]

Rovnici lze odvodit mnoha způsoby, dva z nejjednodušších zahrnují:

1. Z relativistické dynamiky masivní částice,
2. Vyhodnocením normy čtyři momenty systému. Tato metoda se vztahuje na masivní i nehmotné částice a lze ji s relativně malým úsilím rozšířit na vícečásticové systémy (viz § Systémy mnoha částic níže).

Heuristický přístup k masivním částicím

Pro masivní objekt pohybující se třemi rychlostmi u = (u_X, u_y, u_z) s velikostí |u| = u v laboratorní rám:^[1]

${ displaystyle E = gamma _ {( mathbf {u})} m_ {0} c ^ {2}}$

je celková energie pohybujícího se objektu v laboratorním rámu,

${ displaystyle mathbf {p} = gamma _ {( mathbf {u})} m_ {0} mathbf {u}}$

je trojrozměrný relativistická hybnost objektu v laboratorním rámu s velikostí |str| = str. Relativistická energie E a hybnost str patří Lorentzův faktor definován:

${ displaystyle gamma _ {( mathbf {u})} = { frac {1} { sqrt {1 - { frac { mathbf {u} cdot mathbf {u}} {c ^ {2 }}}}}} = = { frac {1} { sqrt {1- left ({ frac {u} {c}} right) ^ {2}}}}}$

Někteří autoři používají relativistická hmotnost definován:

${ displaystyle m = gamma _ {( mathbf {u})} m_ {0}}$

i když odpočinková hmota m₀ má zásadnější význam a bude používán primárně nad relativistickou masou m v tomto článku.

Srovnání 3-hybnosti dává:

${ displaystyle p ^ {2} = mathbf {p} cdot mathbf {p} = { frac {m_ {0} ^ {2} mathbf {u} cdot mathbf {u}} {1- { frac { mathbf {u} cdot mathbf {u}} {c ^ {2}}}}}} = { frac {m_ {0} ^ {2} u ^ {2}} {1- vlevo ({ frac {u} {c}} vpravo) ^ {2}}}}$

pak řešit pro u² a dosazením do Lorentzova faktoru získáme alternativní formu, pokud jde o 3-hybnost a hmotnost, spíše než 3-rychlost:

${ displaystyle gamma = { sqrt {1+ left ({ frac {p} {m_ {0} c}} right) ^ {2}}}}$

Vložení této formy Lorentzova faktoru do energetické rovnice:

${ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} { sqrt {1+ left ({ frac {p} {m_ {0} c}} right) ^ {2}}}}$

následované dalšími výnosy přeskupení (1). Eliminace Lorentzova faktoru také eliminuje implicitní rychlostní závislost částice v (1), stejně jako jakékoli závěry o „relativistické hmotnosti“ masivní částice. Tento přístup není obecný, protože nehmotné částice nejsou brány v úvahu. Naivně nastavení m₀ = 0 by to znamenalo E = 0 a str = 0 a nemohl být odvozen žádný vztah energie a hybnosti, což není správné.

Norma čtyř hybnosti

Energie a hybnost objektu měřená na dvě části setrvačné rámy v prostoru energie - hybnosti - měří žlutý rámeček E a str zatímco modrý rámeček měří E' a p ′. Zelená šipka je hybnost čtyř P objektu s délkou úměrnou jeho klidové hmotnosti m₀. Zelený rámeček je rám středu hybnosti pro objekt s energií rovnou zbytkové energii. Hyperboly ukazují Lorentzova transformace z jednoho snímku do druhého je a hyperbolická rotace, a ϕ a ϕ + η jsou rychlosti modrého a zeleného rámečku.

Speciální relativita

v Minkowského prostor, energie (děleno C) a hybnost jsou dvě složky Minkowského čtyři-vektor, jmenovitě čtyři momenty;^[6]

${ displaystyle mathbf {P} = vlevo ({ frac {E} {c}}, mathbf {p} vpravo) ,,}$

(tohle jsou protikladný komponenty).

The Minkowski vnitřní produkt ⟨ , ⟩ tohoto vektoru sám o sobě dává druhou mocninu norma tohoto vektoru je úměrný na druhou mocninu zbytkové hmoty m z těla:

${ displaystyle left langle mathbf {P}, mathbf {P} right rangle = | mathbf {P} | ^ {2} = left (m_ {0} c right) ^ {2} ,,}$

A Lorentz neměnný množství, a proto nezávisle na referenční rámec. Za použití Minkowského metrika η s metrický podpis (− + + +), vnitřní produkt je

${ displaystyle left langle mathbf {P}, mathbf {P} right rangle = | mathbf {P} | ^ {2} = - left (m_ {0} c right) ^ {2 } ,,}$

a

${ displaystyle left langle mathbf {P}, mathbf {P} right rangle = P ^ { alpha} eta _ { alpha beta} P ^ { beta} = { begin {pmatrix } { frac {E} {c}} & p_ {x} & p_ {y} & p_ {z} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {E} {c}} p_ {x} p_ {y} p_ {z} end {pmatrix}} = - left ({ frac {E} {c}} vpravo) ^ {2} + p ^ {2} ,,}$

tak

${ displaystyle - left (m_ {0} c right) ^ {2} = - left ({ frac {E} {c}} right) ^ {2} + p ^ {2}.}$

Obecná relativita

v obecná relativita, 4-hybnost je čtyři vektor definovaný v lokálním souřadnicovém rámci, i když podle definice je vnitřní produkt podobný jako u speciální relativity,

${ displaystyle left langle mathbf {P}, mathbf {P} right rangle = | mathbf {P} | ^ {2} = left (m_ {0} c right) ^ {2} ,,}$

ve kterém Minkowski metrika η se nahrazuje metrický tenzorové pole G:

${ displaystyle left langle mathbf {P}, mathbf {P} right rangle = | mathbf {P} | ^ {2} = P ^ { alpha} g _ { alpha beta} P ^ { beta} ,,}$

vyřešen z Einsteinovy ​​rovnice pole. Pak:^[7]

${ displaystyle P ^ { alpha} g _ { alpha beta} P ^ { beta} = left (m_ {0} c right) ^ {2} ,.}$

Provedení součtů nad indexy, po nichž následuje sběr termínů podobných časovým, časoprostorovým a prostorových, dává:

${ displaystyle underbrace {g_ {00} { left (P ^ {0} right)} ^ {2}} _ { text {time-like}} + 2 underbrace {g_ {0i} P ^ { 0} P ^ {i}} _ { text {spacetime-like}} + underbrace {g_ {ij} P ^ {i} P ^ {j}} _ { text {space-like}} = left (m_ {0} c vpravo) ^ {2} ,.}$

kde faktor 2 vzniká, protože metrika je a symetrický tenzor a konvence latinských indexů i, j používá se prostorové hodnoty 1, 2, 3. Protože každá složka metriky má obecně závislost na prostoru a čase; to je podstatně složitější než vzorec citovaný na začátku, viz metrický tenzor (obecná relativita) Pro více informací.

Jednotky energie, hmotnosti a hybnosti

v přirozené jednotky kde C = 1, rovnice energie-hybnost klesá na

${ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} + m_ {0} ^ {2} ,.}$

v částicová fyzika, energie se obvykle udává v jednotkách elektronové volty (eV), hybnost v jednotkách eV ·C⁻¹a hmotnost v jednotkách eV ·C⁻². v elektromagnetismus, a vzhledem k relativistické invariance je užitečné mít elektrické pole E a magnetické pole B ve stejné jednotce (Gauss ), za použití cgs (Gaussova) soustava jednotek, kde se energie udává v jednotkách erg, hromadně gramů (g) a hybnost v g · cm · s⁻¹.

Energie může být také teoreticky vyjádřena v jednotkách gramů, i když v praxi vyžaduje velké množství energie, aby byla ekvivalentní hmotám v tomto rozsahu. Například první atomová bomba osvobodil asi 1 gram teplo a největší termonukleární bomby vygenerovali kilogram nebo více tepla. Energie termonukleárních bomb jsou obvykle uvedeny v desítkách kiloton a megatony odkazující na energii osvobozenou výbuchem tohoto množství trinitrotoluen (TNT).

Speciální případy

Rám středu hybnosti (jedna částice)

Pro těleso v jeho klidovém rámci je hybnost nula, takže rovnice se zjednodušuje na

${ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2} ,,}$

kde m₀ je zbytková hmotnost těla.

Bezhmotné částice

Pokud je objekt nehmotný, jako je tomu v případě a foton, pak se rovnice redukuje na

${ displaystyle E = pc ,.}$

Toto je užitečné zjednodušení. Lze jej přepsat jinými způsoby pomocí de Broglieho vztahy:

${ displaystyle E = { frac {hc} { lambda}} = hbar ck ,.}$

pokud vlnová délka λ nebo vlnové číslo k jsou uvedeny.

Zásada korespondence

Přepis relace pro masivní částice jako:

${ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} { sqrt {1+ left ({ frac {p} {m_ {0} c}} right) ^ {2}}} ,,}$

a expandovat do výkonová řada podle binomická věta (nebo a Taylor série ):

${ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} vlevo [1 + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {p} {m_ {0} c}} vpravo) ^ {2} - { frac {1} {8}} vlevo ({ frac {p} {m_ {0} c}} vpravo) ^ {4} + cdots vpravo] ,,}$

v limitu, který u ≪ C, my máme y(u) ≈ 1 hybnost má tedy klasickou formu str ≈ m₀u, pak k první objednávce (str/m₀C)²
(tj. zachovat termín (str/m₀C)²ⁿ
pro n = 1 a zanedbávat všechny výrazy pro n ≥ 2) my máme

${ displaystyle E cca m_ {0} c ^ {2} vlevo [1 + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {m_ {0} u} {m_ {0} c} } right) ^ {2} right] ,,}$

nebo

${ displaystyle E cca m_ {0} c ^ {2} + { frac {1} {2}} m_ {0} u ^ {2} ,,}$

kde druhý termín je klasický Kinetická energie a první je odpočinková hmota částice. Tato aproximace není platná pro nehmotné částice, protože expanze vyžadovala dělení hybnosti hmotou. Mimochodem, v klasické mechanice nejsou žádné nehmotné částice.

Systémy mnoha částic

Přidání čtyř momentů

V případě mnoha částic s relativistickým momentem str_n a energie E_n, kde n = 1, 2, ... (až do celkového počtu částic) jednoduše označí částice, měřeno v konkrétním rámci, lze v tomto rámci přidat čtyři momenty;

${ displaystyle sum _ {n} mathbf {P} _ {n} = sum _ {n} left ({ frac {E_ {n}} {c}}, mathbf {p} _ {n } right) = left ( sum _ {n} { frac {E_ {n}} {c}}, sum _ {n} mathbf {p} _ {n} right) ,,}$

a pak vezměte normu; získat vztah pro mnoho částicový systém:

${ displaystyle left | left ( sum _ {n} mathbf {P} _ {n} right) right | ^ {2} = left ( sum _ {n} { frac {E_ { n}} {c}} right) ^ {2} - left ( sum _ {n} mathbf {p} _ {n} right) ^ {2} = left (M_ {0} c vpravo) ^ {2} ,,}$

kde M₀ je neměnná hmotnost celého systému a nerovná se součtu zbytkových hmotností částic, pokud nejsou všechny částice v klidu (viz hmota ve speciální relativitě pro více podrobností). Nahrazení a přeskupení dává zevšeobecnění (1);

${ displaystyle left ( sum _ {n} E_ {n} right) ^ {2} = left ( sum _ {n} mathbf {p} _ {n} c right) ^ {2} + left (M_ {0} c ^ {2} right) ^ {2}}$

(2)

Energie a hybnost v rovnici jsou všechny závislé na snímku, zatímco M₀ je nezávislý na rámu.

Rámeček středu hybnosti

V rám středu hybnosti (Rámec COM), podle definice máme:

${ displaystyle sum _ {n} mathbf {p} _ {n} = { boldsymbol {0}} ,,}$

s implikací z (2), že invariantní hmota je také středem energie hybnosti (COM), kromě C² faktor:

${ displaystyle left ( sum _ {n} E_ {n} right) ^ {2} = left (M_ {0} c ^ {2} right) ^ {2} Rightarrow sum _ {n } E _ { mathrm {COM} , n} = E _ { mathrm {COM}} = M_ {0} c ^ {2} ,,}$

a to platí pro Všechno rámy od M₀ je nezávislý na rámu. Energie E_{KOM n} jsou ti v rámci COM, ne laboratorní rám.

Odpočinkové hmoty a neměnná hmota

Energie nebo hybnost částic měřená v nějakém rámci lze eliminovat pomocí vztahu energetické hybnosti pro každou částici:

${ displaystyle E_ {n} ^ {2} - left ( mathbf {p} _ {n} c right) ^ {2} = left (m_ {n} c ^ {2} right) ^ { 2} ,,}$

umožňující M₀ být vyjádřen pomocí energií a klidových hmot nebo momentů a klidových hmot. V konkrétním rámci mohou být čtverce součtů přepsány jako součet čtverců (a produktů):

${ displaystyle left ( sum _ {n} E_ {n} right) ^ {2} = left ( sum _ {n} E_ {n} right) left ( sum _ {k} E_ {k} right) = sum _ {n, k} E_ {n} E_ {k} = 2 sum _ {n$

${ displaystyle left ( sum _ {n} mathbf {p} _ {n} right) ^ {2} = left ( sum _ {n} mathbf {p} _ {n} right) cdot left ( sum _ {k} mathbf {p} _ {k} right) = sum _ {n, k} mathbf {p} _ {n} cdot mathbf {p} _ { k} = 2 sum _ {n$

dosadíme-li součty, můžeme uvést jejich klidové hmotnosti m_n v (2):

${ displaystyle sum _ {n} left (m_ {n} c ^ {2} right) ^ {2} +2 sum _ {n$

Energie lze eliminovat:

${ displaystyle E_ {n} = { sqrt { left ( mathbf {p} _ {n} c right) ^ {2} + left (m_ {n} c ^ {2} right) ^ { 2}}} ,, quad E_ {k} = { sqrt { left ( mathbf {p} _ {k} c right) ^ {2} + left (m_ {k} c ^ {2 } vpravo) ^ {2}}} ,,}$

podobně lze hybnost eliminovat:

${ displaystyle mathbf {p} _ {n} cdot mathbf {p} _ {k} = left | mathbf {p} _ {n} right | left | mathbf {p} _ {k } right | cos theta _ {nk} ,, quad | mathbf {p} _ {n} | = { frac {1} {c}} { sqrt {E_ {n} ^ {2 } - left (m_ {n} c ^ {2} right) ^ {2}}} ,, quad | mathbf {p} _ {k} | = { frac {1} {c}} { sqrt {E_ {k} ^ {2} - vlevo (m_ {k} c ^ {2} vpravo) ^ {2}}} ,,}$

kde θ_nk je úhel mezi vektory hybnosti str_n a str_k.

Přeskupení:

${ displaystyle left (M_ {0} c ^ {2} right) ^ {2} - sum _ {n} left (m_ {n} c ^ {2} right) ^ {2} = 2 sum _ {n$

Vzhledem k tomu, že invariantní hmota systému a ostatní hmoty každé částice jsou nezávislé na rámu, je pravá strana také invariantní (přestože energie a hybnost jsou měřeny v konkrétním rámci).

Hmotové vlny

Za použití de Broglieho vztahy pro energii a hybnost pro hmotné vlny,

${ displaystyle E = hbar omega ,, quad mathbf {p} = hbar mathbf {k} ,,}$

kde ω je úhlová frekvence a k je vlnovodič s velikostí |k| = k, rovnající se číslo vlny, vztah energie a hybnosti lze vyjádřit pomocí vlnových veličin:

${ displaystyle left ( hbar omega right) ^ {2} = left (c hbar k right) ^ {2} + left (m_ {0} c ^ {2} right) ^ { 2} ,,}$

a uklizení dělením (.c)² po celou dobu:

${ displaystyle left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} = k ^ {2} + left ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} vpravo) ^ {2} ,.}$

(3)

To lze také odvodit z velikosti čtyřvlnný

${ displaystyle mathbf {K} = vlevo ({ frac { omega} {c}}, mathbf {k} vpravo) ,,}$

podobným způsobem jako výše uvedená čtyři hybnost.

Protože snížená Planckova konstanta ħ a rychlost světla C oba se objevují a nepořádek této rovnice, to je místo, kde přirozené jednotky jsou obzvláště užitečné. Normalizovat je tak ħ = C = 1, my máme:

${ displaystyle omega ^ {2} = k ^ {2} + m_ {0} ^ {2} ,.}$

Tachyon a exotická hmota

Rychlost a bradyon s relativistickým vztahem energie a hybnosti

${ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} ,.}$

nikdy nemůže překročit C. Naopak, vždy je větší než C pro tachyon jehož rovnice energie-hybnost je^[8]

${ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} -m_ {0} ^ {2} c ^ {4} ,.}$

Naopak hypotetický exotická hmota má záporná hmotnost^[9] a rovnice energie-hybnost je

${ displaystyle E ^ {2} = - p ^ {2} c ^ {2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} ,.}$

Viz také

• Ekvivalence hmoty a energie
• Čtyři momenty
• Hmotnost ve speciální relativitě

Reference

• A. Halpern (1988). 3000 vyřešených problémů ve fyzice, Schaumova řada. McGraw-Hill. 704–705. ISBN  978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. str.65. ISBN  978-0-521-57507-2.
• C. B. Parker (1994). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2. vyd.). McGraw-Hill. str.1192, 1193. ISBN  0-07-051400-3.
• R.G. Lerner; GL Trigg (1991). Encyklopedie fyziky (2. vyd.). Vydavatelé VHC. str.1052. ISBN  0-89573-752-3.