Eliptické válcové souřadnice - Elliptic cylindrical coordinates - Wikipedia

Souřadné plochy eliptických válcových souřadnic. Žlutý list je hranol poloviční hyperboly odpovídající ν = -45 °, zatímco červená trubice je eliptický hranol odpovídající μ = 1. Modrý list odpovídá z= 1. Tři povrchy se v bodě protínají P (zobrazeno jako černá koule) s Kartézské souřadnice zhruba (2,182; -1,661; 1,0). Ohniska elipsy a hyperboly leží na X = ±2.0.

Eliptické válcové souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém který je výsledkem promítnutí dvourozměrného prostoru eliptický souřadnicový systém v kolmici ${ displaystyle z}$-směr. Proto je souřadné plochy jsou hranoly konfokální elipsy a hyperboly. Dva ohniska ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ jsou obecně považovány za fixní na ${ displaystyle -a}$ a${ displaystyle + a}$, respektive na ${ displaystyle x}$- osa Kartézský souřadnicový systém.

Základní definice

Nejběžnější definice eliptických válcových souřadnic ${ displaystyle ( mu, nu, z)}$ je

${ displaystyle x = a cosh mu cos nu}$

${ displaystyle y = a sinh mu sin nu}$

${ displaystyle z = z}$

kde ${ displaystyle mu}$ je nezáporné reálné číslo a ${ displaystyle nu in [0,2 pi]}$.

Tyto definice odpovídají elipsám a hyperbolám. Trigonometrická identita

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sinh ^ { 2} mu}} = cos ^ {2} nu + sin ^ {2} nu = 1}$

ukazuje, že křivky konstanty ${ displaystyle mu}$ formulář elipsy zatímco hyperbolická trigonometrická identita

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} nu}} - { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sin ^ { 2} nu}} = cosh ^ {2} mu - sinh ^ {2} mu = 1}$

ukazuje, že křivky konstanty ${ displaystyle nu}$ formulář hyperboly.

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro eliptické válcové souřadnice ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ jsou rovny

${ displaystyle h _ { mu} = h _ { nu} = a { sqrt { sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu}}}$

zatímco zbývající faktor měřítka ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. V důsledku toho se nekonečně malý objemový prvek rovná

${ displaystyle dV = a ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right) d mu d nu dz}$

a Laplacian se rovná

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right)}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné mu ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné nu ^ {2}} } vpravo) + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z ^ {2}}}}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( mu, nu, z)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Alternativní definice

Alternativní a geometricky intuitivní sada eliptických souřadnic ${ displaystyle ( sigma, tau, z)}$ jsou někdy používány, kde ${ displaystyle sigma = cosh mu}$ a ${ displaystyle tau = cos nu}$. Proto jsou křivky konstanty ${ displaystyle sigma}$ jsou elipsy, zatímco křivky konstanty ${ displaystyle tau}$ jsou hyperboly. Souřadnice ${ displaystyle tau}$ musí patřit do intervalu [-1, 1], zatímco ${ displaystyle sigma}$ souřadnice musí být větší nebo rovna jedné.

Souřadnice ${ displaystyle ( sigma, tau, z)}$ mít jednoduchý vztah ke vzdálenostem k ohniskům ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$. Pro libovolný bod v rovině (x, y) platí součet ${ displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ jeho vzdáleností k ohniskům se rovná ${ displaystyle 2a sigma}$, zatímco jejich rozdíl ${ displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ rovná se ${ displaystyle 2a tau}$Vzdálenost tedy ${ displaystyle F_ {1}}$ je ${ displaystyle a ( sigma + tau)}$, zatímco vzdálenost do ${ displaystyle F_ {2}}$ je ${ displaystyle a ( sigma - tau)}$. (Odvolej to ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ jsou umístěny na ${ displaystyle x = -a}$ a ${ displaystyle x = + a}$)

Nevýhodou těchto souřadnic je, že nemají transformaci 1 na 1 na Kartézské souřadnice

${ displaystyle x = a sigma tau}$

${ displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} left ( sigma ^ {2} -1 right) left (1- tau ^ {2} right)}$

Alternativní měřítkové faktory

Faktory měřítka pro alternativní eliptické souřadnice ${ displaystyle ( sigma, tau, z)}$ jsou

${ displaystyle h _ { sigma} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} { sigma ^ {2} -1}}}}$

${ displaystyle h _ { tau} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} {1- tau ^ {2}}}}}$

a samozřejmě, ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Infinitezimální objemový prvek se tedy stává

${ displaystyle dV = a ^ {2} { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} { sqrt { left ( sigma ^ {2} -1 right) left (1 - tau ^ {2} vpravo)}}} d sigma d tau dz}$

a Laplacian se rovná

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2} left ( sigma ^ {2} - tau ^ {2} right)}} left [{ sqrt { sigma ^ {2} -1}} { frac { částečné} { částečné sigma}} vlevo ({ sqrt { sigma ^ {2} -1}} { frac { částečné Phi} { částečné sigma}} pravé) + { sqrt {1- tau ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné tau}} levé ({ sqrt {1- tau ^ {2}}} { frac { částečné Phi} { částečné tau}} pravé) pravé] + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z ^ { 2}}}}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( sigma, tau)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Aplikace

V řešení jsou klasické aplikace eliptických válcových souřadnic parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice nebo Helmholtzova rovnice, pro které eliptické válcové souřadnice umožňují a oddělení proměnných. Typickým příkladem by byl elektrické pole obklopující plochou vodivou desku o šířce ${ displaystyle 2a}$.

Trojrozměrný vlnová rovnice, vyjádřeno v eliptických válcových souřadnicích, lze vyřešit oddělením proměnných, což vede k Mathieuovy diferenciální rovnice.

Užitečné mohou být také geometrické vlastnosti eliptických souřadnic. Typický příklad může zahrnovat integraci přes všechny páry vektorů ${ displaystyle mathbf {p}}$ a ${ displaystyle mathbf {q}}$ tu částku na pevný vektor ${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {p} + mathbf {q}}$, kde integrand byl funkcí délek vektorů ${ displaystyle left | mathbf {p} right |}$ a ${ displaystyle left | mathbf {q} right |}$. (V takovém případě by se dalo umístit ${ displaystyle mathbf {r}}$ mezi dvěma ohnisky a zarovnaný s ${ displaystyle x}$-os, tj., ${ displaystyle mathbf {r} = 2a mathbf { hat {x}}}$.) Pro konkrétnost, ${ displaystyle mathbf {r}}$, ${ displaystyle mathbf {p}}$ a ${ displaystyle mathbf {q}}$ může představovat momenta částice a jejích produktů rozkladu a integrand může zahrnovat kinetické energie produktů (které jsou úměrné čtvercům délek hybnosti).

Bibliografie

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. str. 657. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.182 –183. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. str. 97. LCCN  67025285.
• Zwillinger D (1992). Příručka integrace. Boston, MA: Jones a Bartlett. str. 114. ISBN  0-86720-293-9. Stejné jako Morse & Feshbach (1953), střídání u_k pro ξ_k.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Souřadnice eliptického válce (η, ψ, z)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vydání, 3. vydání vydání). New York: Springer-Verlag. str. 17–20 (tabulka 1.03). ISBN  978-0-387-18430-2.

externí odkazy

• MathWorld popis eliptických válcových souřadnic