Hamilton – Jacobi – Einsteinova rovnice - Hamilton–Jacobi–Einstein equation

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​polní rovnice Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

v obecná relativita, Hamilton – Jacobi – Einsteinova rovnice (HJEE) nebo Einstein – Hamilton – Jacobiho rovnice (EHJE) je rovnice v Hamiltonova formulace z geometrodynamika v nadprostor, obsazení v "éře geometrodynamiky" kolem 60. let, autor Asher Peres v roce 1962 a další.^[1] Jedná se o pokus přeformulovat obecnou relativitu takovým způsobem, že se podobá kvantové teorii uvnitř a poloklasické aproximace, podobně jako korespondence mezi kvantová mechanika a klasická mechanika.

Je pojmenován pro Albert Einstein, Carl Gustav Jacob Jacobi, a William Rowan Hamilton. EHJE obsahuje tolik informací jako všech deset Einsteinovy ​​polní rovnice (EFE).^[2] Jedná se o modifikaci Hamiltonova-Jacobiho rovnice (HJE) z klasická mechanika a lze jej odvodit z Akce Einstein – Hilbert za použití zásada nejmenší akce v Formalismus ADM.

Pozadí a motivace

Korespondence mezi klasickou a kvantovou fyzikou

V klasickém analytická mechanika, je dynamika systému shrnuta pomocí akce S. V kvantové teorii, konkrétně nerelativistické kvantová mechanika (QM), relativistická kvantová mechanika (RQM), stejně jako kvantová teorie pole (QFT), s různými interpretacemi a matematickými formalizmy v těchto teoriích, je chování systému zcela obsaženo v komplex -hodnota amplituda pravděpodobnosti Ψ (více formálně jako kvantový stav ket | Ψ⟩ - prvek a Hilbertův prostor ). Použití polárního tvaru vlnové funkce, takže provedení Madelungovy transformace:

${ displaystyle Psi = { sqrt { rho}} e ^ {iS / hbar}}$

the fáze z Ψ se interpretuje jako akce a modul √ρ = √Ψ * Ψ = | Ψ | je vykládán podle Kodaňská interpretace jako funkce hustoty pravděpodobnosti. The snížená Planckova konstanta ħ je kvantum momentu hybnosti. Substituce tohoto do kvantového generála Schrödingerova rovnice (SE):

${ displaystyle i hbar { frac { částečné Psi} { částečné t}} = { hat {H}} Psi ,,}$

a brát limit ħ → 0 poskytuje klasické HJE:

${ displaystyle - { frac { částečné S} { částečné t}} = H ,,}$

což je jeden aspekt zásada korespondence.

Nedostatky čtyřrozměrného časoprostoru

Na druhou stranu přechod mezi kvantovou teorií a Všeobecné relativitu (GR) je obtížné provést; jedním z důvodů je zacházení s prostorem a časem v těchto teoriích. V nerelativistickém QM nejsou prostor a čas na stejné úrovni; čas je parametr while pozice je operátor. V RQM a QFT se pozice vrátí na obvyklou hodnotu prostorové souřadnice vedle časové souřadnice, i když tyto teorie jsou konzistentní pouze se SR ve čtyřrozměrném byt Minkowského prostor a ne zakřivený prostor ani GR. Je možné formulovat kvantová teorie pole v zakřiveném časoprostoru, přesto ani toto stále nemůže začlenit GR, protože gravitace není obnovitelné v QFT.^[3] Navíc se v GR částice pohybují zakřiveným časoprostorem s deterministicky známou polohou a hybností v každém okamžiku, zatímco v kvantové teorii není možné přesně znát polohu a hybnost částice současně; prostor X a hybnost pa energie E a čas t, párově podléhají principy nejistoty

${ displaystyle Delta x Delta p geq { frac { hbar} {2}}, quad Delta E Delta t geq { frac { hbar} {2}} ,,}$

což znamená, že malé intervaly v prostoru a čase znamenají velké výkyvy energie a hybnosti. Protože v GR hmota – energie a hybnost - energie je zdrojem zakřivení časoprostoru, velké fluktuace energie a hybnosti znamenají, že by se časoprostorová „struktura“ mohla potenciálně tak zkreslit, že by se rozpadla v dostatečně malých měřítcích.^[4] Z QFT existují teoretické a experimentální důkazy, že vakuum má energii, protože pohyb elektronů v atomech je kolísaný, což souvisí s Jehněčí posun.^[5] Z těchto i jiných důvodů se prostor a čas považují za stále dynamičtější až do Planckova délka a Planckův čas váhy.^[4]

V každém případě čtyřrozměrný zakřivený časoprostor kontinuum je dobře definovaný a ústřední rys obecné relativity, ale ne v kvantové mechanice.

Rovnice

Jedním z pokusů o nalezení rovnice řídící dynamiku systému, co nejblíže k QM a GR, je přeformulovat HJE v trojrozměrný zakřivený prostor chápána jako „dynamická“ (měnící se s časem) a ne čtyřrozměrný časoprostorová dynamika ve všech čtyřech dimenzích, jakými jsou EFE. Prostor má metrický (vidět metrický prostor pro detaily).

The metrický tenzor v obecné relativitě je základním objektem, protože správný čas, délka oblouku, geodetický pohyb v zakřivený časoprostor a další věci, vše závisí na metrice. Výše uvedené HJE je upraveno tak, aby zahrnovalo metriku, i když je to pouze funkce 3D prostorových souřadnic r, (například r = (X, y, z) v Kartézské souřadnice ) bez souřadnicový čas t:

${ displaystyle g_ {ij} = g_ {ij} ( mathbf {r}) ,.}$

V tomto kontextu G_ij se označuje jako „metrické pole“ nebo jednoduše „pole“.

Obecná rovnice (volný zakřivený prostor)

Pro volnou částici v oblouku "prázdné místo "nebo" volný prostor ", tj. v nepřítomnosti hmota kromě samotné částice lze rovnici napsat:^[6][7][8]

kde G je určující metrického tenzoru a R the Ricciho skalární zakřivení 3D geometrie (bez času) a „δ" namísto "d"označuje variační derivát spíše než obyčejný derivát. Tyto deriváty odpovídají momentu pole „konjugované s metrickým polem“:

${ displaystyle pi ^ {ij} ( mathbf {r}) = pi ^ {ij} = { frac { delta S} { delta g_ {ij}}}} ,,}$

rychlost změny akce vzhledem k souřadnicím pole G_ij(r). The G a π zde jsou analogické k q a p = ∂S/∂q, respektive v klasice Hamiltoniánská mechanika. Vidět kanonické souřadnice pro více pozadí.

Rovnice popisuje, jak vlnová fronta konstantní akce se šíří v superprostoru - jako dynamika hmotné vlny volné částice se odvíjí v zakřiveném prostoru. K zohlednění přítomnosti zvláštních vlivů na částice, které zahrnují přítomnost dalších částic nebo distribuce hmoty (které přispívají k zakřivení prostoru), a zdrojů elektromagnetických polí ovlivňujících částice jsou zapotřebí další termíny zdroje. elektrický náboj nebo roztočit. Stejně jako Einsteinovy ​​polní rovnice to je nelineární v metrice kvůli produktům metrických komponent a podobně jako HJE je v akci nelineární kvůli produktu variačních derivátů v akci.

Kvantově mechanický koncept, že akce je fází vlnové funkce, lze interpretovat z této rovnice následovně. Fáze musí splňovat zásadu nejmenší akce; to musí být stacionární pro malou změnu v konfiguraci systému, jinými slovy pro malou změnu polohy částice, která odpovídá mírné změně v metrických složkách;

${ displaystyle g_ {ij} pravá šipka g_ {ij} + delta g_ {ij} ,,}$

mírná změna fáze je nulová:

${ displaystyle delta S = int { frac { delta S} { delta g_ {ij} ( mathbf {r})}} delta g_ {ij} ( mathbf {r}) mathrm {d } ^ {3} mathbf {r} = 0 ,,}$

(kde d³r je objemový prvek z objemový integrál ). Konstruktivní interference vln hmoty je tedy maximální. To lze vyjádřit pomocí princip superpozice; aplikován na mnoho nelokalizovaných vlnových funkcí šířících se po zakřiveném prostoru za vzniku lokalizované vlnové funkce:

${ displaystyle Psi = součet _ {n} c_ {n} psi _ {n} ,,}$

pro některé koeficienty C_n, a navíc akce (fáze) S_n pro každého ψ_n musí uspokojit:

${ displaystyle delta S = S_ {n + 1} -S_ {n} = 0 ,,}$

pro všechny nnebo ekvivalentně

${ displaystyle S_ {1} = S_ {2} = cdots = S_ {n} = cdots ,.}$

Regiony kde Ψ je maximální nebo minimální výskyt v bodech, kde je pravděpodobnost nalezení částice tam a kde je změna akce (fáze) nulová. Ve výše uvedeném EHJE je tedy každá vlnová oblast konstantní akce tam, kde je částice mohl být nalezen.

Tato rovnice stále „nesjednocuje“ kvantovou mechaniku a obecnou relativitu, protože byla použita semiklasická eikonální aproximace v kontextu kvantové teorie a obecné relativity, která poskytuje přechod mezi těmito teoriemi.

Aplikace

Rovnice má různé komplikované formy v:

• Kvantová gravitace
• Kvantová kosmologie

Viz také

• Foliace
• Kvantová geometrie
• Kvantový časoprostor
• Variační počet
• Rovnice také souvisí s Wheeler – DeWittova rovnice.
• Peresova metrika

Reference

Poznámky

Další čtení

Knihy

• J.L. Lopes (1977). Kvantová mechanika, o půl století později: Papíry kolokvia o padesáti letech kvantové mechaniky. Štrasburk, Francie: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-90-277-0784-0.
• C. Rovelli (2004). Kvantová gravitace. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Kvantová gravitace (3. vyd.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-958520-5.
• J.K. Glikman (1999). Směrem ke kvantové gravitaci: sborník z mezinárodní zimní školy XXXV o teoretické fyzice. Polanica, Polsko: Springer. p. 224. ISBN  978-3-540-66910-4.
• L.Z. Tesák; R. Ruffini (1987). Kvantová kosmologie. Advanced Series in Astrophysics and Cosmology. 3. World Scientific. ISBN  978-9971-5-0312-3.

Vybrané příspěvky

• T. Banks (1984). „TCP, kvantová gravitace, kosmologická konstanta a všechno ...“ (PDF). Stanford, USA. (Rovnice A.3 v příloze).
• B. K. Darian (1997). „Řešení Hamiltonovy-Jacobiho rovnice pro gravitačně interagující elektromagnetická a skalární pole“. Kanada, USA. arXiv:gr-qc / 9707046v2. Bibcode:1998CQGra..15..143D. doi:10.1088/0264-9381/15/1/010.
• J. R. Bond; D. S. Salopek (1990). „Nelineární vývoj metrických fluktuací dlouhých vlnových délek v inflačních modelech“. Phys. Rev. D. Kanada (USA), Illinois (USA).
• Sang Pyo Kim (1996). „Klasický časoprostor z kvantové gravitace“. Phys. Rev. D. Kunsan, Korea: IoP. arXiv:gr-qc / 9601049. Bibcode:1996CQGra..13,1377 tis. doi:10.1088/0264-9381/13/6/011.
• S.R. Berbena; A.V. Berrocal; J. Socorro; HLE. Pimentel (2006). „Einstein-Hamilton-Jacobiho rovnice: Hledání klasického řešení pro barotropní FRW“. Guanajuato a Autónoma Metropolitana (Mexiko). arXiv:gr-qc / 0607123. Bibcode:2007RMxFS..53b.115B.