Konstanta pohybu - Constant of motion
v mechanika, a konstanta pohybu je množství, které je zachováno v celém pohybu, což v podstatě znamená omezení pohybu. Je to však a matematický omezení, přirozený důsledek pohybové rovnice, spíše než a fyzický omezení (což by vyžadovalo navíc omezující síly ). Mezi běžné příklady patří specifická energie, specifická lineární hybnost, specifický moment hybnosti a Vektor Laplace – Runge – Lenz (pro zákony inverzní mocniny ).
Aplikace
Konstanty pohybu jsou užitečné, protože umožňují odvodit vlastnosti pohybu bez řešení pohybové rovnice. V šťastných případech dokonce i trajektorie pohybu lze odvodit jako průsečík z isosurfaces odpovídající konstantám pohybu. Například, Poinsotova konstrukce ukazuje, že bez krouticího momentu otáčení a tuhé tělo je průsečík koule (zachování celkového momentu hybnosti) a elipsoidu (zachování energie), trajektorie, kterou by jinak bylo těžké odvodit a vizualizovat. Proto je identifikace pohybových konstant důležitým cílem v mechanika.
Metody identifikace pohybových konstant
Existuje několik metod pro identifikaci konstant pohybu.
- Nejjednodušším, ale nejméně systematickým přístupem je intuitivní („psychická“) derivace, při které se předpokládá, že kvantita bude konstantní (snad kvůli experimentální data ) a později je matematicky ukázáno, že je zachována v celém pohybu.
- The Hamilton – Jacobiho rovnice poskytují běžně používanou a přímou metodu pro identifikaci pohybových konstant, zvláště když Hamiltonian přijímá rozpoznatelné funkční formy v ortogonální souřadnice.
- Dalším přístupem je uznat, že a konzervované množství odpovídá a symetrie z Lagrangian. Noetherova věta poskytuje systematický způsob odvozování těchto veličin ze symetrie. Například, uchování energie vyplývá z neměnnosti Lagrangian pod směnami původu čas, zachování lineární hybnosti vyplývá z neměnnosti Lagrangian pod směnami původu prostor (translační symetrie) a zachování momentu hybnosti vyplývá z neměnnosti Lagrangian pod rotace. Opak je také pravdivý; každá symetrie Lagrangian odpovídá konstantě pohybu, často nazývané a konzervovaný náboj nebo proud.
- Množství je konstanta pohybu, pokud je jeho celková časová derivace nula
který nastane, když je Poissonova závorka s Hamiltonian se rovná mínus jeho částečná derivace s ohledem na čas[1]
Dalším užitečným výsledkem je Poissonova věta, který uvádí, že pokud dvě veličiny a jsou konstanty pohybu, stejně tak jejich Poissonova závorka .
Systém s n stupně volnosti a n konstanty pohybu, takové, že Poissonova závorka jakékoli dvojice pohybových konstant zmizí, je známá jako úplně integrovatelný systém. Taková kolekce pohybových konstant se říká, že je v involuce jeden s druhým.
V kvantové mechanice
Pozorovatelné množství Q bude konstanta pohybu, pokud ano dojíždí s hamiltonián, Ha nezávisí to výslovně na čase. To je proto, že
kde
je komutátorový vztah.
Derivace
Řekněme, že existuje nějaké pozorovatelné množství Q což závisí na poloze, hybnosti a čase,
A také, že existuje vlnová funkce který poslouchá Schrödingerova rovnice
Vezmeme-li časovou derivaci očekávané hodnoty Q vyžaduje použití produktové pravidlo a má za následek
Takže konečně,
Komentář
Pro libovolný stav systému Quantum Mechanical, pokud dojíždí H a Q, tj. Pokud
a Q tedy není výslovně závislá na čase
Ale pokud je vlastní funkcí Hamiltonian, i když
stále to tak je
za předpokladu, že Q je nezávislá na čase.
Derivace
Od té doby
pak
To je důvod, proč se vlastním stavům Hamiltonianů říká také stacionární státy.
Relevance pro kvantový chaos
Obecně platí, že integrovatelný systém má jiné pohybové konstanty než energii. Naproti tomu energie je jedinou konstantou pohybu v a neintegrovatelný systém; takové systémy se nazývají chaotické. Obecně platí, že klasický mechanický systém může být kvantováno pouze pokud je integrovatelný; od roku 2006 není známa žádná konzistentní metoda kvantování chaotických dynamických systémů.
Integrace pohybu
Konstanta pohybu může být definována v daném silovém poli jako jakákoli funkce fázový prostor souřadnice (poloha a rychlost nebo poloha a hybnost) a čas, který je konstantní po celé trajektorii. Podmnožinou pohybových konstant jsou integrály pohybunebo první integrály, definované jako jakékoli funkce pouze souřadnic fázového prostoru, které jsou konstantní na oběžné dráze. Každý pohybový integrál je pohybová konstanta, ale obrácení není pravdivé, protože pohybová konstanta může záviset na čase.[2] Příklady integrálů pohybu jsou vektor momentu hybnosti, nebo Hamiltonián bez časové závislosti, jako např . Příkladem funkce, která je konstantou pohybu, ale není integrálem pohybu, by byla funkce pro objekt pohybující se konstantní rychlostí v jedné dimenzi.
Dirac pozorovatelné
Za účelem získání fyzických informací z měřicí teorie, jeden buď konstruuje měřidlo neměnné pozorovatelné nebo opraví měřidlo. V kanonickém jazyce to obvykle znamená buď konstrukci funkcí, které Poissonovo dojíždění na omezující ploše generuje měřidlo omezení první třídy nebo opravit jeho tok vyčleněním bodů v každém z nich oběžná dráha. Takové invariantní pozorovatelné měřidla jsou tedy „konstantami pohybu“ generátorů měřidel a označují se jako Diracova pozorovatelnost.
Reference
- ^ Landau, L .; Lifshitz, E. (1960). Mechanika. Pergamon Press. str. 135. ISBN 0 7506 2896 0.
- ^ „Binney, J. a Tremaine, S .: Galactic Dynamics“. Princeton University Press. Citováno 2011-05-05.
- Griffiths, David J. (2004). Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.