Parabolické válcové souřadnice - Parabolic cylindrical coordinates - Wikipedia

Souřadné plochy parabolických válcových souřadnic. Červený parabolický válec odpovídá σ = 2, zatímco žlutý parabolický válec odpovídá τ = 1. Modrá rovina odpovídá z= 2. Tyto povrchy se v bodě protínají P (zobrazeno jako černá koule), která má Kartézské souřadnice zhruba (2, -1,5, 2).

v matematika, parabolické válcové souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém který je výsledkem promítnutí dvourozměrného prostoru parabolický souřadný systém v kolmici ${ displaystyle z}$-směr. Proto je souřadné plochy jsou konfokální parabolický válce. Parabolické válcové souřadnice našly mnoho aplikací, např teorie potenciálu hran.

Základní definice

Parabolický souřadný systém zobrazující křivky konstant σ a τ, vodorovná a svislá osa jsou souřadnice x a y. Tyto souřadnice se promítají podél osy z, takže tento diagram bude platit pro jakoukoli hodnotu souřadnice z.

Parabolické válcové souřadnice (σ, τ, z) jsou definovány z hlediska Kartézské souřadnice (X, y, z) podle:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = sigma tau y & = { frac {1} {2}} vlevo ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} vpravo) z & = z end {zarovnáno}}}$

Plochy konstanty σ tvoří konfokální parabolické válce

${ displaystyle 2y = { frac {x ^ {2}} { sigma ^ {2}}} - sigma ^ {2}}$

které se otevírají směrem +y, zatímco povrchy konstantní τ tvoří konfokální parabolické válce

${ displaystyle 2y = - { frac {x ^ {2}} { tau ^ {2}}} + tau ^ {2}}$

které se otevírají v opačném směru, tj. směrem −y. Ohniska všech těchto parabolických válců jsou umístěna podél linie definované symbolem X = y = 0. Poloměr r má také jednoduchý vzorec

${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = { frac {1} {2}} left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} že jo)}$

který se osvědčí při řešení Hamilton-Jacobiho rovnice v parabolických souřadnicích pro inverzní čtverec centrální síla problém mechanika; další podrobnosti viz Vektor Laplace – Runge – Lenz článek.

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro parabolické válcové souřadnice σ a τ jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} h _ { sigma} & = h _ { tau} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} h_ {z} & = 1 end {zarovnáno}}}$

Diferenciální prvky

Infinitezimální prvek objemu je

${ displaystyle dV = h _ { sigma} h _ { tau} h_ {z} d sigma d tau dz = ( sigma ^ {2} + tau ^ {2}) d sigma , d tau , dz}$

Diferenční posunutí je dáno vztahem:

${ displaystyle d mathbf {l} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , { boldsymbol { hat { sigma}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , { boldsymbol { hat { tau}}} + dz , mathbf { hat {z}} }$

Normální diferenciální plocha je dána vztahem:

${ displaystyle d mathbf {S} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , dz { boldsymbol { hat { sigma}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , dz { boldsymbol { hat { tau}}} + left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) , d sigma , d tau mathbf { hat {z}}}$

Del

Nechat F být skalárním polem. The spád darováno

${ displaystyle nabla f = { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { částečné f přes částečné sigma} { boldsymbol { klobouk { sigma}}} + { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { částečné f nad částečné tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + { částečné f nad částečné z} mathbf { hat {z}}}$

The Laplacian darováno

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} f} { částečný sigma ^ {2}}} + { frac { částečný ^ {2} f} { částečný tau ^ {2}}} pravý) + { frac { částečný ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}}$

Nechat A být vektorovým polem formuláře:

${ displaystyle mathbf {A} = A _ { sigma} { boldsymbol { hat { sigma}}} + A _ { tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + A_ {z} mathbf { hat {z}}}$

The divergence darováno

${ displaystyle nabla cdot mathbf {A} = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} vlevo ({ částečné ({ sqrt { sigma ^ { 2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma}) nad částečné sigma} + { částečné ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A_ { tau}) nad částečné tau} pravé) + { částečné A_ {z} nad částečné z}}$

The kučera darováno

${ displaystyle nabla times mathbf {A} = left ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { částečný A_ { z}} { částečné tau}} - { frac { částečné A _ { tau}} { částečné z}} pravé) { boldsymbol { hat { sigma}}} - levé ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { částečné A_ {z}} { částečné sigma}} - { frac { částečné A_ { sigma}} { částečné z}} doprava) { boldsymbol { hat { tau}}} + { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné vlevo ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma} vpravo)} { částečné tau}} - { frac { částečné levé ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { tau} pravé)} { částečné sigma}} pravé) mathbf { hat { z}}}$

Další diferenciální operátory lze vyjádřit v souřadnicích (σ, τ) dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Vztah k jiným souřadnicovým systémům

Vztah k válcové souřadnice (ρ, φ, z):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} rho cos varphi & = sigma tau rho sin varphi & = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} vpravo) z & = z end {zarovnáno}}}$

Parabolické jednotkové vektory vyjádřené v kartézských jednotkových vektorech:

${ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { hat { sigma}}} & = { frac { tau { hat { mathbf {x}}} - sigma { hat { mathbf { y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}} { boldsymbol { hat { tau}}} & = { frac { sigma { hat { mathbf {x}}} + tau { hat { mathbf {y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}}} mathbf { hat {z}} & = mathbf { hat {z}} end {zarovnáno}}}$

Harmonické složky parabolického válce

Protože všechny povrchy konstantní σ, τ a z jsou konikoidy, Laplaceova rovnice je oddělitelná parabolickými válcovými souřadnicemi. Pomocí techniky oddělení proměnných, lze napsat samostatné řešení Laplaceovy rovnice:

${ displaystyle V = S ( sigma) T ( tau) Z (z)}$

a Laplaceova rovnice dělená PROTI, je psáno:

${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} vlevo [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot { T}} {T}} doprava] + { frac { ddot {Z}} {Z}} = 0}$

Protože Z rovnice je oddělená od ostatních, můžeme psát

${ displaystyle { frac { ddot {Z}} {Z}} = - m ^ {2}}$

kde m je konstantní. Z(z) má řešení:

${ displaystyle Z_ {m} (z) = A_ {1} , e ^ {imz} + A_ {2} , e ^ {- imz}}$

Střídání −m² pro ${ displaystyle { ddot {Z}} / Z}$, Laplaceovu rovnici lze nyní napsat:

${ displaystyle left [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot {T}} {T}} right] = m ^ {2} ( sigma ^ {2 } + tau ^ {2})}$

Nyní můžeme oddělit S a T funkce a zavést další konstantu n² získat:

${ displaystyle { ddot {S}} - (m ^ {2} sigma ^ {2} + n ^ {2}) S = 0}$

${ displaystyle { ddot {T}} - (m ^ {2} tau ^ {2} -n ^ {2}) T = 0}$

Řešení těchto rovnic jsou funkce parabolického válce

${ displaystyle S_ {mn} ( sigma) = A_ {3} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, sigma { sqrt {2m}}) + A_ {4} y_ {2} (n ^ {2} / 2 m, sigma { sqrt {2m}})}$

${ displaystyle T_ {mn} ( tau) = A_ {5} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, i tau { sqrt {2m}}) + A_ {6} y_ {2} ( n ^ {2} / 2 m, i tau { sqrt {2m}}}}$

Harmonické parabolické válce pro (m, n) jsou nyní produktem řešení. Kombinace sníží počet konstant a může být napsáno obecné řešení Laplaceovy rovnice:

${ displaystyle V ( sigma, tau, z) = součet _ {m, n} A_ {mn} S_ {mn} T_ {mn} Z_ {m}}$

Aplikace

Klasické aplikace parabolických válcových souřadnic jsou v řešení parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice nebo Helmholtzova rovnice, pro které tyto souřadnice umožňují a oddělení proměnných. Typickým příkladem by byl elektrické pole obklopující plochou polo nekonečnou vodivou desku.

Viz také

• Parabolické souřadnice
• Ortogonální souřadnicový systém
• Křivočaré souřadnice

Bibliografie

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.186 –187. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. p. 181. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. LCCN  67025285.
• Zwillinger D (1992). Příručka integrace. Boston, MA: Jones a Bartlett. p. 114. ISBN  0-86720-293-9. Stejné jako Morse & Feshbach (1953), střídání u_k pro ξ_k.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Souřadnice parabolického válce (μ, ν, z)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vydání, 3. vydání vydání). New York: Springer-Verlag. s. 21–24 (tabulka 1.04). ISBN  978-0-387-18430-2.

externí odkazy

• MathWorld popis parabolických válcových souřadnic