Souřadnice akčního úhlu - Action-angle coordinates

Část série na
Klasická mechanika
${displaystyle {extbf {F}} = {frac {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v klasická mechanika, souřadnice akčního úhlu jsou souborem kanonické souřadnice užitečné při řešení mnoha integrovatelné systémy. Metoda akčních úhlů je užitečná pro získání frekvence oscilačního nebo rotačního pohybu bez řešení pohybové rovnice. Souřadnice akčního úhlu se používají hlavně, když Hamilton – Jacobiho rovnice jsou zcela oddělitelné. (Proto je Hamiltonian nezávisí výslovně na čase, tj energie je zachována.) Proměnné úhlu akce definují invariantní torus, tzv. protože udržování konstanty akce definuje povrch a torus, zatímco proměnné úhlu parametrizují souřadnice na torusu.

The Bohr – Sommerfeldova kvantizace podmínky, používané k vývoji kvantové mechaniky před příchodem vlnová mechanika, uveďte, že akce musí být integrálním násobkem Planckova konstanta; podobně, Einstein vhled do Kvantizace EBK a obtížnost kvantování neintegrovatelných systémů byla vyjádřena jako invariantní tori souřadnic akčního úhlu.

Souřadnice akčního úhlu jsou také užitečné v teorie poruch z Hamiltoniánská mechanika, zejména při určování adiabatické invarianty. Jeden z prvních výsledků od teorie chaosu, pro nelineární poruchy dynamických systémů s malým počtem stupňů volnosti je Věta KAM, který uvádí, že invariantní tori jsou stabilní i při malých poruchách.

Použití proměnných úhlu akce bylo ústředním bodem řešení Toda mříž a k definici Laxové páry, nebo obecněji, myšlenka isospektrální vývoj systému.

Derivace

Úhly akce jsou výsledkem a typ-2 kanonická transformace kde je generující funkce Hamiltonova charakteristická funkce ${displaystyle W (mathbf {q})}$ (ne Hamiltonova hlavní funkce ${displaystyle S}$). Protože původní Hamiltonian nezávisí výslovně na čase, nový Hamiltonian ${displaystyle K (mathbf {w}, mathbf {J})}$ je pouze starý Hamiltonian ${displaystyle H (mathbf {q}, mathbf {p})}$ vyjádřeno v pojmech nového kanonické souřadnice, které označujeme jako ${displaystyle mathbf {w}}$ (dále jen akční úhly, což jsou zobecněné souřadnice ) a jejich nové zobecněné momenty ${displaystyle mathbf {J}}$. Nebudeme zde muset řešit generující funkci ${displaystyle W}$ sám; místo toho jej použijeme pouze jako prostředek pro propojení nového a starého kanonické souřadnice.

Spíše než definovat úhly akce ${displaystyle mathbf {w}}$ přímo definujeme místo toho jejich zobecněný moment, který se podobá klasická akce pro každý originál zobecněná souřadnice

${displaystyle J_ {k} ekviv masť p_ {k}, mathrm {d} q_ {k}}$

kde integrační cesta je implicitně dána funkcí konstantní energie ${displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$. Jelikož skutečný pohyb není součástí této integrace, tyto zobecněné momenty ${displaystyle J_ {k}}$ jsou konstanty pohybu, z čehož vyplývá, že transformovaný Hamiltonian ${displaystyle K}$ nezávisí na konjugátu zobecněné souřadnice ${displaystyle w_ {k}}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {frac {částečný K} {částečný w_ {k}}}}$

Kde ${displaystyle w_ {k}}$ jsou dány typickou rovnicí pro typ-2 kanonická transformace

${displaystyle w_ {k} equiv {frac {částečné W} {částečné J_ {k}}}}$

Proto nový Hamiltonian ${displaystyle K = K (mathbf {J})}$ záleží pouze na novém zobecněném momentu ${displaystyle mathbf {J}}$.

Dynamika akčních úhlů je dána vztahem Hamiltonovy rovnice

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} w_ {k} = {frac {částečné K} {částečné J_ {k}}} ekviv u _ {k} (mathbf {J})}$

Pravá strana je konstanta pohybu (protože všechny ${displaystyle J}$jsou). Řešení je tedy dáno

${displaystyle w_ {k} = u _ {k} (mathbf {J}) t + eta _ {k}}$

kde ${displaystyle eta _ {k}}$ je konstanta integrace. Zejména pokud je originál zobecněná souřadnice prochází oscilací nebo rotací periody ${displaystyle T}$, odpovídající úhel působení ${displaystyle w_ {k}}$ změny o ${displaystyle Delta w_ {k} = u _ {k} (mathbf {J}) T}$.

Tyto ${displaystyle u _ {k} (mathbf {J})}$ jsou frekvence oscilace / rotace originálu zobecněné souřadnice ${displaystyle q_ {k}}$. Abychom to ukázali, integrujeme čistou změnu v úhlu působení ${displaystyle w_ {k}}$ přes přesně jednu úplnou změnu (tj. oscilaci nebo rotaci) zobecněné souřadnice ${displaystyle q_ {k}}$

${displaystyle Delta w_ {k} ekvivalentní mast {frac {částečné w_ {k}} {částečné q_ {k}}}, mathrm {d} q_ {k} = mast {frac {částečné ^ {2} W} {částečné J_ {k}, částečné q_ {k}}}, mathrm {d} q_ {k} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} J_ {k}}} mast {frac {částečné W} {částečné q_ {k}}}, mathrm {d} q_ {k} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} J_ {k}}} mast p_ {k}, mathrm {d} q_ {k} = { frac {mathrm {d} J_ {k}} {mathrm {d} J_ {k}}} = 1}$

Nastavení dvou výrazů pro ${displaystyle Delta w_ {k}}$ rovná, získáme požadovanou rovnici

${displaystyle u _ {k} (mathbf {J}) = {frac {1} {T}}}$

Úhly akce ${displaystyle mathbf {w}}$ jsou nezávislou sadou zobecněné souřadnice. Obecně tedy platí, že každá původní zobecněná souřadnice ${displaystyle q_ {k}}$ lze vyjádřit jako a Fourierova řada v Všechno úhly akce

${displaystyle q_ {k} = součet _ {s_ {1} = - infty} ^ {infty} součet _ {s_ {2} = - infty} ^ {infty} součet cdots _ {s_ {N} = - infty} ^ {infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2pi s_ {1} w_ {1}} e ^ {i2pi s_ {2} w_ {2 }} cdots e ^ {i2pi s_ {N} w_ {N}}}$

kde ${displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ je koeficient Fourierovy řady. Ve většině praktických případů však původní zobecněná souřadnice ${displaystyle q_ {k}}$ bude vyjádřitelný jako Fourierova řada pouze ve svých vlastních akčních úhlech ${displaystyle w_ {k}}$

${displaystyle q_ {k} = součet _ {s_ {k} = - infty} ^ {infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2pi s_ {k} w_ {k}}}$

Shrnutí základního protokolu

Obecný postup má tři kroky:

1. Vypočítejte nový zobecněný moment ${displaystyle J_ {k}}$
2. Vyjádřete původní Hamiltonian zcela pomocí těchto proměnných.
3. Vezměte deriváty hamiltoniánu s ohledem na tyto momenty, abyste získali frekvence ${displaystyle u _ {k}}$

Degenerace

V některých případech jsou frekvence dvou různých zobecněné souřadnice jsou identické, tj. ${displaystyle u _ {k} = u _ {l}}$ pro ${displaystyle keq l}$. V takových případech se nazývá pohyb degenerovat.

Degenerujte pohybové signály, že existují další obecné konzervované veličiny; například frekvence Keplerův problém jsou zdegenerované, což odpovídá zachování Vektor Laplace – Runge – Lenz.

Degenerovaný pohyb také signalizuje, že Hamilton – Jacobiho rovnice jsou zcela oddělitelné ve více než jednom souřadnicovém systému; například problém Kepler je v obou případech zcela oddělitelný sférické souřadnice a parabolické souřadnice.

Viz také

• Integrovatelný systém
• Tautologická jedna forma
• Superintegrovatelný Hamiltonovský systém
• Einstein-Brillouin-Kellerova metoda

Reference

• L. D. Landau a E. M. Lifshitz, (1976) Mechanika, 3. místo. vyd., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (vázaná kniha) a ISBN  0-08-029141-4 (měkká vazba).
• H. Goldstein, (1980) Klasická mechanika, 2.. vyd., Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9
• G. Sardanashvily, (2015) Příručka integrovatelných Hamiltonovských systémů, URSS. ISBN  978-5-396-00687-4
• Previato, Emma (2003), Slovník aplikované matematiky pro inženýry a vědce, CRC Press, Bibcode:2003dame.book ..... str, ISBN  978-1-58488-053-0