Časová derivace - Time derivative
A časová derivace je derivát funkce vzhledem k čas, obvykle interpretováno jako rychlost změny hodnoty funkce.[1] Proměnná označující čas se obvykle píše jako .
Zápis
K označení časové derivace se používá celá řada notací. Kromě normálního (Leibniz ) notace,
Velmi běžnou notací krátké ruky používanou zejména ve fyzice je „over-dot“. TJ.
(Tomu se říká Newtonova notace )
Používají se také deriváty vyššího času: druhá derivace s ohledem na čas se píše jako
s odpovídající zkratkou z .
Jako zobecnění lze říci, že časová derivace vektoru:
je definován jako vektor, jehož komponenty jsou deriváty složek původního vektoru. To znamená
Použití ve fyzice
Klíčovým konceptem jsou časové deriváty fyzika. Například pro změnu pozice , jeho časová derivace je jeho rychlost a jeho druhá derivace s ohledem na čas, , je jeho akcelerace. Někdy se používají i vyšší derivace: třetí derivace polohy vzhledem k času je známá jako blbec. Vidět pohybové grafy a deriváty.
Velké množství základních rovnic ve fyzice zahrnuje derivace veličin poprvé nebo podruhé. Mnoho dalších základních veličin ve vědě jsou časovými deriváty jeden druhého:
- platnost je časová derivace hybnost
- Napájení je časová derivace energie
- elektrický proud je časová derivace elektrický náboj
a tak dále.
Běžným výskytem ve fyzice je časová derivace a vektor, jako je rychlost nebo posunutí. Při jednání s takovou derivací může jak velikost, tak orientace záviset na čase.
Příklad: kruhový pohyb

Zvažte například částici pohybující se v kruhové dráze. Jeho poloha je dána vektorem posunutí , vztahující se k úhlu, θa radiální vzdálenost, r, jak je definováno na obrázku:
U tohoto příkladu to předpokládáme θ = t. Posun (poloha) tedy kdykoli t darováno
Tento formulář ukazuje pohyb popsaný uživatelem r(t) je v kruhu o poloměru r protože velikost z r(t) darováno
za použití trigonometrická identita hřích2(t) + cos2(t) = 1 a kde je obvyklý euklidovský produkt.
S touto formou pro posun se nyní nachází rychlost. Časovou derivací vektoru posunutí je vektor rychlosti. Obecně je derivát vektoru vektor složený ze složek, z nichž každá je derivátem odpovídající složky původního vektoru. V tomto případě je tedy vektor rychlosti:
Rychlost částice je tedy nenulová, i když velikost polohy (tj. Poloměr dráhy) je konstantní. Rychlost je směrována kolmo na posun, jak lze zjistit pomocí Tečkovaný produkt:
Zrychlení je pak časová derivace rychlosti:
Zrychlení je směrováno dovnitř, směrem k ose otáčení. Ukazuje naproti vektoru polohy a kolmo k vektoru rychlosti. Toto zrychlení směrované dovnitř se nazývá dostředivé zrychlení.
V diferenciální geometrii
v diferenciální geometrie, množství jsou často vyjádřena s ohledem na místní kovarianční základ, , kde i přesahuje počet rozměrů. Složky vektoru vyjádřil tímto způsobem transformaci jako kontravariant tenzor, jak je uvedeno ve výrazu , vyvolání Konvence Einsteinova součtu. Pokud chceme vypočítat časové deriváty těchto složek podél trajektorie, tak to máme , můžeme definovat nový operátor, invariantní derivaci , který bude i nadále vracet kontravariantní tenzory[2]:
kde (s být jth souřadnice) zachycuje složky rychlosti v lokálním kovariančním základě a jsou Christoffel symboly pro souřadnicový systém. Všimněte si, že explicitní závislost na t byl v notaci potlačen. Poté můžeme napsat:
stejně jako:
Z hlediska kovarianční derivace, , my máme:
Využití v ekonomii
v ekonomika, je postaveno mnoho teoretických modelů vývoje různých ekonomických proměnných nepřetržitý čas a proto používají časové deriváty.[3](ch. 1-3) Jedna situace zahrnuje a skladová proměnná a jeho časová derivace, a proměnná průtoku. Mezi příklady patří:
- Tok sítě fixní investice je časová derivace základní kapitál.
- Tok investice do zásob je časová derivace akcie soupisy.
- Tempo růstu finanční zdroj je časová derivace peněžní zásoby dělená samotnou peněžní zásobou.
Někdy se v modelu může objevit časová derivace proměnné toku:
- Tempo růstu výstup je časová derivace toku výstupu dělená samotným výstupem.
- Tempo růstu pracovní síla je časová derivace pracovní síly dělená pracovní silou samotnou.
A někdy se objeví časová derivace proměnné, která se na rozdíl od výše uvedených příkladů neměřuje v měnových jednotkách:
- Časová derivace klíče úroková sazba se může objevit.
- The rychlost inflace je míra růstu cenová hladina - to znamená, že časový derivát cenové hladiny děleno samotnou cenovou hladinou.
Viz také
Reference
- ^ Chiang, Alpha C., Základní metody matematické ekonomie, McGraw-Hill, třetí vydání, 1984, kap. 14, 15, 18.
- ^ Grinfeld, Pavel. „Tenzorový počet 6d: rychlost, zrychlení, otřesy a nová derivace δ / δt“.
- ^ Viz například Romer, David (1996). Pokročilá makroekonomie. McGraw-Hill. ISBN 0-07-053667-8.