Appellsova pohybová rovnice - Appells equation of motion - Wikipedia

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Poměr tlumení Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v klasická mechanika, Appellova pohybová rovnice (aka Gibbs – Appellova pohybová rovnice) je alternativní obecná formulace klasická mechanika popsal Josiah Willard Gibbs v roce 1879^[1] a Paul Émile Appell v roce 1900.^[2]

Prohlášení

Gibbs-Appellova rovnice zní

${ displaystyle Q_ {r} = { frac { částečné S} { částečné alfa _ {r}}},}$

kde ${ displaystyle alpha _ {r} = { ddot {q_ {r}}}}$ je libovolné zobecněné zrychlení nebo podruhé derivace zobecněné souřadnice ${ displaystyle q_ {r}}$, a ${ displaystyle Q_ {r}}$ je jeho odpovídající generalizovaná síla. Zobecněná síla dává vykonanou práci

${ displaystyle dW = součet _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r},}$

kde index ${ displaystyle r}$ běží přes ${ displaystyle D}$ zobecněné souřadnice ${ displaystyle q_ {r}}$, které obvykle odpovídají stupně svobody systému. Funkce ${ displaystyle S}$ je definován jako hmotnostně vážený součet částice zrychlení na druhou

${ displaystyle S = { frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} ^ {2} ,,}$

kde index ${ displaystyle k}$ běží přes ${ displaystyle K}$ částice a

${ displaystyle mathbf {a} _ {k} = { ddot { mathbf {r}}} _ {k} = { frac {d ^ {2} mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}$

je zrychlení ${ displaystyle k}$-tá částice, její podruhé derivace vektor polohy ${ displaystyle mathbf {r} _ {k}}$. Každý ${ displaystyle mathbf {r} _ {k}}$ je vyjádřeno jako zobecněné souřadnice, a ${ displaystyle mathbf {a} _ {k}}$ je vyjádřeno jako zobecněné zrychlení.

Vztahy k jiným formulacím klasické mechaniky

Appellova formulace nezavádí do klasické mechaniky žádnou novou fyziku a jako taková je ekvivalentní s jinými formulacemi klasické mechaniky, jako je Lagrangian mechanika, a Hamiltoniánská mechanika. Veškerá fyzika je obsažena v Newtonových zákonech pohybu. V některých případech může být Appellova pohybová rovnice pohodlnější než běžně používaná Lagrangeova mechanika, zvláště když nonholonomic jsou zahrnuta omezení. Ve skutečnosti Appellova rovnice vede přímo k Lagrangeovým pohybovým rovnicím.^[3] Kromě toho jej lze použít k odvození Kaneových rovnic, které jsou zvláště vhodné pro popis pohybu složitých kosmických lodí.^[4] Appellova formulace je aplikací Gaussův princip nejmenšího omezení.^[5]

Derivace

Změna poloh částic r_k pro nekonečně malou změnu v D zobecněné souřadnice jsou

${ displaystyle d mathbf {r} _ {k} = součet _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} { frac { částečný mathbf {r} _ {k}} { částečný q_ {r}}}}$

Vezmeme-li dva deriváty s ohledem na čas, získáme ekvivalentní rovnici pro zrychlení

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {a} _ {k}} { částečné alpha _ {r}}} = { frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {r}}}}$

Práce vykonaná nekonečně malou změnou dq_r ve zobecněných souřadnicích je

${ displaystyle dW = sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {F} _ {k} cdot d mathbf {r} _ {k} = sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot d mathbf {r} _ {k}}$

kde Newtonův druhý zákon pro kth částice

${ displaystyle mathbf {F} _ {k} = m_ {k} mathbf {a} _ {k}}$

byl užíván. Nahrazení vzorce pro dr_k a zaměnit pořadí dvou součtů získá vzorce

${ displaystyle dW = suma _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k } cdot sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} vlevo ({ frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {r}}} vpravo) = sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot left ({ frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {r}}} pravé)}$

Zobecněné síly proto jsou

${ displaystyle Q_ {r} = součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot left ({ frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {r}}} vpravo) = součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot left ({ frac { partial mathbf {a} _ {k}} { částečné alpha _ {r}}} right)}$

To se rovná derivaci S s ohledem na zobecněná zrychlení

${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné alfa _ {r}}} = { frac { částečné} { částečné alfa _ {r}}} { frac {1} {2} } sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} left | mathbf {a} _ {k} right | ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot left ({ frac { částečné mathbf {a} _ {k}} { částečné alpha _ {r}}} vpravo)}$

čímž se získá Appellova pohybová rovnice

${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné alpha _ {r}}} = Q_ {r}.}$

Příklady

Eulerovy rovnice dynamiky tuhého těla

Eulerovy rovnice poskytují vynikající ilustraci Appellovy formulace.

Zvažte tuhé tělo N částice spojené tuhými tyčemi. Rotaci těla lze popsat pomocí úhlová rychlost vektor ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$a odpovídající vektor úhlového zrychlení

${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { frac {d { boldsymbol { omega}}} {dt}}}$

Zobecněná síla pro rotaci je točivý moment ${ displaystyle { textbf {N}}}$, protože práce pro nekonečně malou rotaci ${ displaystyle delta { boldsymbol { phi}}}$ je ${ displaystyle dW = mathbf {N} cdot delta { boldsymbol { phi}}}$. Rychlost ${ displaystyle k}$-tá částice je dána

${ displaystyle mathbf {v} _ {k} = { boldsymbol { omega}} krát mathbf {r} _ {k}}$

kde ${ displaystyle mathbf {r} _ {k}}$ je poloha částice v kartézských souřadnicích; jeho odpovídající zrychlení je

${ displaystyle mathbf {a} _ {k} = { frac {d mathbf {v} _ {k}} {dt}} = { boldsymbol { alpha}} krát mathbf {r} _ { k} + { boldsymbol { omega}} times mathbf {v} _ {k}}$

Proto funkce ${ displaystyle S}$ lze psát jako

${ displaystyle S = { frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} left ( mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {k} right) = { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} left { left ({ boldsymbol { alpha}} times mathbf {r} _ {k} right) ^ {2} + left ({ boldsymbol { omega}} times mathbf {v} _ {k} right) ^ {2} +2 left ({ boldsymbol { alpha}} times mathbf {r} _ {k} right) cdot left ({ boldsymbol { omega}} times mathbf {v} _ {k} right )že jo}}$

Nastavení derivace S s ohledem na ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}}}$ rovnající se točivému momentu poskytuje Eulerovy rovnice

${ displaystyle I_ {xx} alpha _ {x} - vlevo (I_ {yy} -I_ {zz} vpravo) omega _ {y} omega _ {z} = N_ {x}}$

${ displaystyle I_ {yy} alpha _ {y} - vlevo (I_ {zz} -I_ {xx} vpravo) omega _ {z} omega _ {x} = N_ {y}}$

${ displaystyle I_ {zz} alpha _ {z} - vlevo (I_ {xx} -I_ {yy} vpravo) omega _ {x} omega _ {y} = N_ {z}}$

Viz také

• Princip stacionární činnosti
• Analytická mechanika

Reference

Další čtení

• Pars, LA (1965). Pojednání o analytické dynamice. Woodbridge, Connecticut: Ox Bow Press. str. 197–227, 631–632.
• Whittaker, ET (1937). Pojednání o analytické dynamice částic a tuhých těles s úvodem do problému tří těles (4. vydání). New York: Dover Publications. ISBN.
• Seeger (1930). "Appellovy rovnice". Journal of Washington Academy of Science. 20: 481–484.
• Brell, H (1913). „Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges“. Vídeň. Sitz. 122: 933–944. Spojení Appellovy formulace s zásada nejmenší akce.
• PDF kopie Appellova článku na Goettingen University
• PDF kopie druhého článku o Appellových rovnicích a Gaussově principu