Čtyři přechody - Four-gradient

v diferenciální geometrie, čtyřstupňový (nebo 4-gradient) ${ displaystyle mathbf { částečné}}$ je čtyři-vektor analog spád ${ displaystyle { vec { mathbf { nabla}}}}$ z vektorový počet.

v speciální relativita a v kvantová mechanika, čtyřstupňový se používá k definování vlastností a vztahů mezi různými fyzickými čtyřvektory a tenzory.

Zápis

Tento článek používá (+ − − −) metrický podpis.

SR a GR jsou zkratky pro speciální relativita a obecná relativita resp.

(${ displaystyle c}$) označuje rychlost světla ve vakuu.

${ displaystyle eta _ { mu nu} = operatorname {diag} [1, -1, -1, -1]}$ je byt vesmírný čas metrický SR.

Existují alternativní způsoby psaní výrazů se čtyřmi vektory ve fyzice:

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B}}$ je čtyři-vektor styl, který je obvykle kompaktnější a lze jej použít vektorová notace, (například vnitřní součin „tečka“), vždy používající tučně velká písmena k reprezentaci čtyř vektorů a tučná malá písmena k reprezentaci 3prostorových vektorů, například ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}} cdot { vec { mathbf {b}}}}$. Většina 3prostorových vektorových pravidel má v matematice se čtyřmi vektory analogie.

${ displaystyle A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu}}$ je Ricciho počet styl, který používá notace tenzorového indexu a je užitečný pro složitější výrazy, zejména pro tenzory s více než jedním indexem, například ${ displaystyle F ^ { mu nu} = částečné ^ { mu} A ^ { nu} - částečné ^ { nu} A ^ { mu}}$.

Latinský tenzorový index se pohybuje v {1, 2, 3}, a představuje 3prostorový vektor, např. ${ displaystyle A ^ {i} = (a ^ {1}, a ^ {2}, a ^ {3}) = { vec { mathbf {a}}}}$.

Řecký tenzorový index se pohybuje v {0, 1, 2, 3}, a představuje 4-vektor, např. ${ displaystyle A ^ { mu} = (a ^ {0}, a ^ {1}, a ^ {2}, a ^ {3}) = mathbf {A}}$.

Ve fyzice SR se obvykle používá stručná směs, např. ${ displaystyle mathbf {A} = (a ^ {0}, { vec { mathbf {a}}})}$, kde ${ displaystyle a ^ {0}}$ představuje časovou složku a ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}}}$ představuje prostorovou 3složku.

Tenzorová kontrakce použitá v Minkowského metrika může jít na kteroukoli stranu (viz Einsteinova notace ):^[1]

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu} = A _ { nu} B ^ { nu} = A ^ { mu} B _ { mu} = sum _ { mu = 0} ^ {3} a ^ { mu} b _ { mu} = a ^ {0} b ^ {0} - sum _ {i = 1} ^ {3} a ^ {i} b ^ {i} = a ^ {0} b ^ {0} - { vec { mathbf {a}}} cdot { vec { mathbf {b}}}}$

Definice

4-gradientní kovariantní komponenty kompaktně zapsané čtyři-vektor a Ricciho počet notace jsou:^[2][3]

${ displaystyle { dfrac { částečné} { částečné X ^ { mu}}} = vlevo ( částečné _ {0}, částečné _ {1}, částečné _ {2}, částečné _ { 3} vpravo) = doleva ( částečné _ {0}, částečné _ {i} pravé) = levé ({ frac {1} {c}} { frac { částečné} { částečné t }}, { vec { nabla}} doprava) = doleva ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, { vec { nabla}} doprava) = doleva ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, částečné _ {x}, částečné _ {y}, částečné _ {z} pravé) = částečné _ { mu} = {} _ {, mu}}$

The čárka v poslední části výše ${ displaystyle {} _ {, mu}}$ znamená částečná diferenciace s ohledem na 4 polohy ${ displaystyle X ^ { mu}}$.

Protikladné komponenty jsou:^[4][5]

${ displaystyle mathbf { částečné} = částečné ^ { alfa} = eta ^ { alfa beta} částečné _ { beta} = vlevo ( částečné ^ {0}, částečné ^ {1 }, částečné ^ {2}, částečné ^ {3} pravé) = levé ( částečné ^ {0}, částečné ^ {i} pravé) = levé ({ frac {1} {c }} { frac { částečné} { částečné t}}, - { vec { nabla}} doprava) = doleva ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} right) = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - částečné _ {x}, - částečné _ {y}, - částečné _ {z} vpravo)}$

Alternativní symboly k ${ displaystyle částečné _ { alpha}}$ jsou ${ displaystyle Box}$ a D (Ačkoli ${ displaystyle Box}$ může také znamenat ${ displaystyle částečné ^ { mu} částečné _ { mu}}$, operátor d'Alembert ).

V GR je třeba použít obecnější metrický tenzor ${ displaystyle g ^ { alpha beta}}$a tenzor kovarianční derivace ${ displaystyle nabla _ { mu} = {} _ {; mu}}$, (nezaměňovat s vektorovým 3-přechodem ${ displaystyle { vec { nabla}}}$).

Kovarianční derivace ${ displaystyle nabla _ { nu}}$ zahrnuje 4-gradient ${ displaystyle částečné _ { nu}}$ Plus vesmírný čas zakřivení účinky prostřednictvím Christoffel symboly ${ displaystyle Gamma ^ { mu} {} _ { sigma nu}}$

The silný princip ekvivalence lze uvést jako:^[6]

„Jakýkoli fyzikální zákon, který lze vyjádřit tenzorovou notací v SR, má přesně stejnou formu v lokálně setrvačném rámci zakřiveného časoprostoru.“ Čárky se 4 přechody (,) v SR se jednoduše změní na kovariantní derivační středníky (;) v GR, přičemž spojení mezi nimi je pomocí Christoffel symboly. Toto je ve fyzice relativity známé jako „pravidlo čárky k středníku“.

Například, pokud ${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {, mu} = 0}$ tedy v SR ${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {; mu} = 0}$ v GR.

Na (1,0) -tenzoru nebo 4-vektoru by to bylo:^[7]

${ displaystyle nabla _ { beta} V ^ { alpha} = částečné _ { beta} V ^ { alpha} + V ^ { mu} gama ^ { alpha} {} _ { mu beta}}$

${ displaystyle V ^ { alpha} {} _ {; beta} = V ^ { alpha} {} _ {, beta} + V ^ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { mu beta}}$

Na (2,0) -tenzoru by to bylo:

${ displaystyle nabla _ { nu} T ^ { mu nu} = částečné _ { nu} T ^ { mu nu} + gama ^ { mu} {} _ { sigma nu } T ^ { sigma nu} + Gamma ^ { nu} {} _ { sigma nu} T ^ { mu sigma}}$

${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {; nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} + Gamma ^ { mu} {} _ { sigma nu} T ^ { sigma nu} + Gamma ^ { nu} {} _ { sigma nu} T ^ { mu sigma}}$

Používání

4-gradient se používá v mnoha různými způsoby speciální relativita (SR):

V tomto článku jsou všechny vzorce správné pro plochý časoprostor Minkowského souřadnice SR, ale musí být upraveny pro obecnější zakřivené vesmírné souřadnice obecná relativita (GR).

Jako 4-divergence a zdroj zákonů zachování

Divergence je vektorový operátor který vytváří podepsané skalární pole udávající množství a vektorové pole je zdroj v každém bodě.

4-divergence 4 polohy ${ displaystyle X ^ { mu} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$ dává dimenze z vesmírný čas:

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {X} = částečné ^ { mu} eta _ { mu nu} X ^ { nu} = částečné _ { nu} X ^ { nu} = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} right) cdot (ct, { vec {x}}) = { frac { částečný _ {t}} {c}} (ct) + { vec { nabla}} cdot { vec {x}} = ( částečný _ {t} t) + ( částečný _ {x} x + částečné _ {y} y + částečné _ {z} z) = (1) + (3) = 4}$

4-divergence 4-proudová hustota ${ displaystyle J ^ { mu} = ( rho c, { vec { mathbf {j}}}) = rho _ {o} U ^ { mu} = rho _ {o} gama ( c, { vec { mathbf {u}}}) = ( rho c, rho { vec { mathbf {u}}})}$ dává zákon o ochraně přírody - zachování poplatku:^[8]

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {J} = částečné ^ { mu} eta _ { mu nu} J ^ { nu} = částečné _ { nu} J ^ { nu} = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} doprava) cdot ( rho c, { vec {j}}) = { frac { částečné _ {t}} {c}} ( rho c) + { vec { nabla}} cdot { vec {j}} = částečné _ {t} rho + { vec { nabla}} cdot { vec {j}} = 0}$

To znamená, že časová rychlost změny hustoty náboje se musí rovnat záporné prostorové divergenci proudové hustoty ${ displaystyle částečné _ {t} rho = - { vec { nabla}} cdot { vec {j}}}$.

Jinými slovy, náboj uvnitř boxu se nemůže jen libovolně měnit, musí vstupovat a opouštět box pomocí proudu. Tohle je rovnice spojitosti.

4-divergence Čtyřčíselný tok (4 prach) ${ displaystyle N ^ { mu} = (nc, { vec { mathbf {n}}}) = n_ {o} U ^ { mu} = n_ {o} gama (c, { vec { mathbf {u}}}) = (nc, n { vec { mathbf {u}}})}$ se používá při ochraně částic:^[9]

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {N} = částečné ^ { mu} eta _ { mu nu} N ^ { nu} = částečné _ { nu} N ^ { nu} = left ({ frac { částečný _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} right) cdot left (nc, n { vec { mathbf { u}}} right) = { frac { částečný _ {t}} {c}} vlevo (nc right) + { vec { nabla}} cdot n { vec { mathbf {u }}} = částečný _ {t} n + { vec { nabla}} cdot n { vec { mathbf {u}}} = 0}$

Tohle je zákon o ochraně přírody pro hustotu počtu částic, obvykle něco jako hustota baryonového čísla.

4-divergence elektromagnetický 4-potenciál ${ displaystyle A ^ { mu} = left ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} right)}$ se používá v Stav měřidla Lorenz:^[10]

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {A} = částečné ^ { mu} eta _ { mu nu} A ^ { nu} = částečné _ { nu} A ^ { nu} = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} right) cdot left ({ frac { phi} {c} }, { vec {a}} doprava) = { frac { částečné _ {t}} {c}} doleva ({ frac { phi} {c}} doprava) + { vec { nabla}} cdot { vec {a}} = { frac { částečné _ {t} phi} {c ^ {2}}} + { vec { nabla}} cdot { vec { a}} = 0}$

Toto je ekvivalent a zákon o ochraně přírody pro potenciál EM 4.

4-divergence příčného stopového 2-tenzoru ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ představující gravitační záření v limitu slabého pole (tj. volně se šířící daleko od zdroje).

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = částečné _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$ : Příčný stav

je ekvivalentem konzervační rovnice pro volně se šířící gravitační vlny.

4-divergence tenzor napětí a energie ${ displaystyle T ^ { mu nu}}$konzervované Noether aktuální spojený s vesmírný čas překlady, dává čtyři zákony zachování v SR:^[11]

The uchování energie (časový směr) a zachování lineární hybnosti (3 samostatné prostorové směry).

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot T ^ { mu nu} = částečné _ { nu} T ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} = 0 ^ { mu} = (0,0,0,0)}$

Často se píše jako:

${ displaystyle částečné _ { nu} T ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} = 0}$

kde se rozumí, že jednoduchá nula je ve skutečnosti 4-vektorová nula ${ displaystyle 0 ^ { mu} = (0,0,0,0}$).

Při zachování tenzoru energie a napětí (${ displaystyle částečné _ { nu} T ^ { mu nu} = 0 ^ { mu}}$) pro perfektní tekutina v kombinaci se zachováním hustoty počtu částic (${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {N} = 0}$), oba využívající 4-gradient, lze odvodit relativistické Eulerovy rovnice, v kterém mechanika tekutin a astrofyzika jsou zobecněním Eulerovy rovnice tento účet pro účinky speciální relativita Tyto rovnice se redukují na klasické Eulerovy rovnice, pokud je 3prostorová rychlost tekutiny mnohem méně než rychlost světla, tlak je mnohem menší než hustota energie a u druhé dominuje hustota zbytkové hmoty.

V plochém časoprostoru a při použití kartézských souřadnic, pokud to spojíme se symetrií tenzoru napětí a energie, můžeme ukázat, že moment hybnosti (relativistická moment hybnosti ) je také zachována:

${ displaystyle částečné _ { nu} (x ^ { alpha} T ^ { mu nu} -x ^ { mu} T ^ { alpha nu}) = (x ^ { alpha} T ^ { mu nu} -x ^ { mu} T ^ { alpha nu}) _ {, nu} = 0 ^ { alpha mu}}$

kde tato nula je vlastně nula (2,0) -tenzoru.

Jako Jacobian matice pro SR Minkowski metrický tenzor

The Jacobian matrix je matice všeho prvního řádu částečné derivace a funkce s vektorovou hodnotou.

4-gradient ${ displaystyle částečné ^ { mu}}$ působící na 4 polohy ${ displaystyle X ^ { nu}}$ dává SR Minkowského prostor metrický ${ displaystyle eta ^ { mu nu}}$:^[12]

${ displaystyle mathbf { částečné} [ mathbf {X}] = částečné ^ { mu} [X ^ { nu}] = X ^ { nu _ {,} mu} = vlevo ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} vpravo) [(ct, { vec {x}})] = vlevo ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - částečné _ {x}, - částečné _ {y}, - částečné _ {z} pravé) [(ct, x, y, z)],}$

${ displaystyle = { begin {bmatrix} { frac { částečný _ {t}} {c}} ct & { frac { částečný _ {t}} {c}} x & { frac { částečný _ { t}} {c}} y & { frac { částečný _ {t}} {c}} z - částečný _ {x} ct & - částečný _ {x} x & - částečný _ {x} y & - částečné _ {x} z - částečné _ {y} ct & - částečné _ {y} x & - částečné _ {y} y & - částečné _ {y} z - částečné _ {z } ct & - částečný _ {z} x & - částečný _ {z} y & - částečný _ {z} z konec {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {bmatrix}} = operatorname {diag} [1, -1, -1, -1]}$

${ displaystyle mathbf { částečné} [ mathbf {X}] = eta ^ { mu nu}.}$

Pro metriku Minkowski komponenty ${ displaystyle [ eta ^ { mu mu}] = 1 / [ eta _ { mu mu}]}$ {${ displaystyle mu}$ not summed}, s ne-diagonálními komponenty všechny nulové.

Pro kartézskou metodu Minkowski to dává ${ displaystyle eta ^ { mu nu} = eta _ { mu nu} = operatorname {diag} [1, -1, -1, -1]}$.

Obvykle, ${ displaystyle eta _ { mu} ^ { nu} = delta _ { mu} ^ { nu} = operatorname {diag} [1,1,1,1]}$, kde ${ displaystyle delta _ { mu} ^ { nu}}$ je 4D Kroneckerova delta.

Jako způsob, jak definovat Lorentzovy transformace

Lorentzova transformace je psána v tenzorové formě jako^[13]

${ displaystyle X ^ { mu '} = Lambda _ { nu} ^ { mu'} X ^ { nu}}$

a od té doby ${ displaystyle Lambda _ { nu} ^ { mu '}}$ jsou tedy jen konstanty

${ displaystyle částečné X ^ { mu '} / částečné X ^ { nu} = Lambda _ { nu} ^ { mu'}}$

Podle definice 4-gradientu

${ displaystyle částečné _ { nu} [X ^ { mu '}] = ( částečné / částečné X ^ { nu}) [X ^ { mu'}] = částečné X ^ { mu '} / částečné X ^ { nu} = Lambda _ { nu} ^ { mu'}}$

Tato identita je zásadní. Složky 4-gradientní transformace podle inverze složek 4-vektorů. 4stupeň je tedy „archetypální“ jednoformát.

Jako součást derivace celkového správného času

Skalární součin 4-rychlostní ${ displaystyle U ^ { mu}}$ s 4-gradientem dává celková derivace s ohledem na správný čas ${ displaystyle { frac {d} {d tau}}}$:^[14]

${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf { partial} = U ^ { mu} eta _ { mu nu} částečné ^ { nu} = gamma (c, { vec {u }}) cdot left ({ frac { parciální _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} right) = gamma left (c { frac { parciální _ {t}} {c}} + { vec {u}} cdot { vec { nabla}} doprava) = gamma doleva ( částečné _ {t} + { frac {dx} {dt }} částečné _ {x} + { frac {dy} {dt}} částečné _ {y} + { frac {dz} {dt}} částečné _ {z} vpravo) = gamma { frac {d} {dt}} = { frac {d} {d tau}}}$

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} = { frac {dX ^ { mu}} {dX ^ { mu}}} { frac {d} {d tau}} = { frac {dX ^ { mu}} {d tau}} { frac {d} {dX ^ { mu}}} = U ^ { mu} částečný _ { mu} = mathbf {U } cdot mathbf { částečné}}$

Skutečnost, že ${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf { částečné}}$ je Lorentzův skalární invariant ukazuje, že celková derivace s ohledem na správný čas ${ displaystyle { frac {d} {d tau}}}$ je také Lorentzův skalární invariant.

Takže například 4-rychlostní ${ displaystyle U ^ { mu}}$ je derivát 4 polohy ${ displaystyle X ^ { mu}}$ s ohledem na správný čas:

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {X} = ( mathbf {U} cdot mathbf { částečný}) mathbf {X} = mathbf {U} cdot mathbf { částečné} [ mathbf {X}] = U ^ { alfa} cdot eta ^ { mu nu} = U ^ { alpha} eta _ { alpha nu} eta ^ { mu nu} = U ^ { alpha} delta _ { alpha} ^ { mu} = U ^ { mu} = mathbf {U}}$

nebo

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {X} = gamma { frac {d} {dt}} mathbf {X} = gamma { frac {d} {dt} } (ct, { vec {x}}) = gamma left ({ frac {d} {dt}} ct, { frac {d} {dt}} { vec {x}} right) = gamma (c, { vec {u}}) = mathbf {U}}$

Dalším příkladem je 4rychlost ${ displaystyle A ^ { mu}}$ je derivátem správného času 4-rychlostní ${ displaystyle U ^ { mu}}$:

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {U} = ( mathbf {U} cdot mathbf { částečný}) mathbf {U} = mathbf {U} cdot mathbf { partial} [ mathbf {U}] = U ^ { alpha} eta _ { alpha mu} částečné ^ { mu} [U ^ { nu}]}$

${ displaystyle = U ^ { alpha} eta _ { alpha mu} { begin {bmatrix} { frac { částečné _ {t}} {c}} gamma c & { frac { částečné _ {t}} {c}} gamma { vec {u}} - { vec { nabla}} gamma c & - { vec { nabla}} gamma { vec {u}} end {bmatrix}} = U ^ { alpha} { begin {bmatrix} { frac { částečný _ {t}} {c}} gamma c & 0 0 & { vec { nabla}} gamma { vec {u}} end {bmatrix}}}$

${ displaystyle = gamma left (c { frac { částečné _ {t}} {c}} gamma c, { vec {u}} cdot nabla gamma { vec {u}} right) = gamma left (c částečné _ {t} gamma, { frac {d} {dt}} [ gamma { vec {u}}] right) = gamma (c { dot { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}}}) = mathbf {A}}$

nebo

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {U} = gamma { frac {d} {dt}} ( gamma c, gamma { vec {u}}) = gamma left ({ frac {d} {dt}} [ gamma c], { frac {d} {dt}} [ gamma { vec {u}}] right) = gamma (c { dot { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}}}) = mathbf {A}}$

Jako způsob, jak definovat Faradayův elektromagnetický tenzor a odvodit Maxwellovy rovnice

Faraday elektromagnetický tenzor ${ displaystyle F ^ { mu nu}}$ je matematický objekt, který popisuje elektromagnetické pole v vesmírný čas fyzického systému.^{[15][16][17][18][19]}

Použitím 4-gradientu, aby se vytvořil antisymetrický tenzor, získáme:

${ displaystyle F ^ { mu nu} = částečné ^ { mu} A ^ { nu} - částečné ^ { nu} A ^ { mu} = { begin {bmatrix} 0 & -E_ { x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ { x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} a 0 end {bmatrix}}}$

kde:

Elektromagnetický 4-potenciál ${ displaystyle A ^ { mu} = mathbf {A} = vlevo ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} vpravo)}$, nesmí být zaměňována s 4rychlost ${ displaystyle mathbf {A} = gamma (c { dot { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}} })}$

${ displaystyle phi}$ je elektrický skalární potenciál, a ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}}}$ je magnetický 3prostorový vektorový potenciál.

Opětovným použitím 4-přechodu a definováním 4-proudová hustota tak jako ${ displaystyle J ^ { beta} = mathbf {J} = (c rho, { vec { mathbf {j}}})}$ lze odvodit tenzorovou formu Maxwellovy rovnice:

${ displaystyle částečné _ { alfa} F ^ { alfa beta} = mu _ {o} J ^ { beta}}$

${ displaystyle částečné _ { gamma} F _ { alpha beta} + částečné _ { alpha} F _ { beta gamma} + částečné _ { beta} F _ { gamma alfa} = 0_ { alpha beta gamma}}$

kde druhý řádek je verzí Bianchi identita (Jacobi identita ).

Jako způsob, jak definovat 4-vlnový vektor

A vlnovodič je vektor který pomáhá popsat a mávat. Jako každý vektor má i velikost a směr, z nichž oba jsou důležité: Jeho velikost je buď vlnové číslo nebo úhlové vlnové číslo vlny (nepřímo úměrné vlnová délka ) a jeho směr je obvykle směr šíření vln

The 4-vlnový ${ displaystyle K ^ { mu}}$ je 4-gradient negativní fáze ${ displaystyle Phi}$ (nebo záporný 4-gradient fáze) vlny v Minkowského prostoru:^[20]

${ displaystyle K ^ { mu} = mathbf {K} = vlevo ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} vpravo) = mathbf { částečné} [- Phi] = - mathbf { částečné} [ Phi]}$

To je matematicky ekvivalentní s definicí fáze a mávat (nebo konkrétněji a rovinná vlna ):

${ displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {X} = omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}} = - Phi}$

kde 4 polohy ${ displaystyle mathbf {X} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$, ${ displaystyle omega}$ je časová úhlová frekvence, ${ displaystyle { vec { mathbf {k}}}}$ je prostorový 3prostorový vlnovod a ${ displaystyle Phi}$ je Lorentzova skalární invariantní fáze.

${ displaystyle částečné [ mathbf {K} cdot mathbf {X}] = částečné [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}} }] = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - nabla right) [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}] = left ({ frac { částečné _ {t}} {c}} [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}], - nabla [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}]] vpravo) = doleva ({ frac { částečné _ {t}} {c}} [ omega t], - nabla [- { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}]] right) = left ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} right) = mathbf {K}}$

s předpokladem, že rovinná vlna ${ displaystyle omega}$ a ${ displaystyle { vec { mathbf {k}}}}$ nejsou explicitní funkce ${ displaystyle t}$ nebo ${ displaystyle { vec { mathbf {x}}}}$

Explicitní forma SR rovinné vlny ${ displaystyle Psi _ {n} ( mathbf {X})}$ lze napsat jako:^[21]

${ displaystyle Psi _ {n} ( mathbf {X}) = A_ {n} e ^ {- i ( mathbf {K_ {n}} cdot mathbf {X})} = A_ {n} e ^ {i ( Phi _ {n})}}$ kde ${ displaystyle A_ {n}}$ je (možná komplex ) amplituda.

Obecná vlna ${ displaystyle Psi ( mathbf {X})}$ bude superpozice více rovinných vln:

${ displaystyle Psi ( mathbf {X}) = součet _ {n} [ Psi _ {n} ( mathbf {X})] = součet _ {n} [A_ {n} e ^ {- i ( mathbf {K_ {n}} cdot mathbf {X})}] = sum _ {n} [A_ {n} e ^ {i ( Phi _ {n})}]}$

Opět pomocí 4-gradientu,

${ displaystyle částečné [ Psi ( mathbf {X})] = částečné [Ae ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}] = - i mathbf {K} [ Ae ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}] = - i mathbf {K} [ Psi ( mathbf {X})]}$

nebo

${ displaystyle mathbf { částečné} = -i mathbf {K}}$, což je čtyřstupňová verze komplexní rovinné vlny

Jako d'Alembertian operátor

Ve speciální relativitě, elektromagnetismu a vlnové teorii je d'Alembertův operátor, nazývaný také d'Alembertian nebo vlnový operátor, Laplaceův operátor Minkowského prostoru. Provozovatel je pojmenován po francouzském matematikovi a fyzikovi Jean le Rond d'Alembert.

Náměstí ${ displaystyle mathbf { částečné}}$ je 4-Laplacian, kterému se říká operátor d'Alembert:^{[22][23][24][25]}

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné} = částečné ^ { mu} cdot částečné ^ { nu} = částečné ^ { mu} eta _ { mu nu } částečné ^ { nu} = částečné _ { nu} částečné ^ { nu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - { vec { nabla}} ^ {2} = doleva ({ frac { částečné _ {t}} {c}} pravé) ^ {2} - { vec { nabla}} ^ {2}}$.

Jak to je Tečkovaný produkt ze dvou 4-vektorů je d'Alembertian a Lorentzův invariant skalární.

Občas, analogicky s trojrozměrnou notací, symboly ${ displaystyle Box}$ a ${ displaystyle Box ^ {2}}$ se používají pro 4-gradient, respektive d'Alembertian. Častěji však symbol ${ displaystyle Box}$ je vyhrazeno pro d'Alembertian.

Následuje několik příkladů 4-gradientu použitého v d'Alembertian:

V Klein – Gordon relativistická rovnice kvantové vlny pro částice spin-0 (např. Higgsův boson ):

${ displaystyle [( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) + doleva ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} doprava) ^ {2}] psi = [ left ({ frac { částečné _ {t} ^ {2}} {c ^ {2}}} - { vec { nabla}} ^ {2} right) + left ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} vpravo) ^ {2}] psi = 0}$

V vlnová rovnice pro elektromagnetické pole { použitím Lorenzův rozchod ${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf {A}) = ( částečné _ { mu} A ^ { mu}) = 0}$ }:

${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) mathbf {A} = mathbf {0}}$ {ve vakuu}

${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) mathbf {A} = mu _ {0} mathbf {J}}$ {s 4-proud zdroj, bez účinků rotace}

${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) A ^ { mu} = e { bar { psi}} gamma ^ { mu} psi}$ {s kvantová elektrodynamika zdroj, včetně účinků rotace}

kde:

Elektromagnetický 4-potenciál ${ displaystyle mathbf {A} = A ^ { alpha} = left ({ frac { phi} {c}}, mathbf { vec {a}} right)}$ je elektromagnetický vektorový potenciál

4-proudová hustota ${ displaystyle mathbf {J} = J ^ { alpha} = ( rho c, mathbf { vec {j}})}$ je hustota elektromagnetického proudu

Dirac Gama matice ${ displaystyle gamma ^ { alpha} = ( gamma ^ {0}, gamma ^ {1}, gamma ^ {2}, gamma ^ {3})}$ poskytují účinky rotace

V vlnová rovnice a gravitační vlna {pomocí podobného Lorenzův rozchod ${ displaystyle ( částečné _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu}) = 0}$ }^[26]

${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$

kde ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ je příčný stopový 2-tenzor představující gravitační záření v limitu slabého pole (tj. volně se šířící daleko od zdroje).

Další podmínky dne ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ jsou:

${ displaystyle mathbf {U} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = h_ {TT} ^ {0 nu} = 0}$ : Čistě prostorové

${ displaystyle eta _ { mu nu} h_ {TT} ^ { mu nu} = h_ {TT nu} ^ { nu} = 0}$ : Bez stopy

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = částečné _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$ :Příčný

Ve 4-dimenzionální verzi Greenova funkce:

${ displaystyle ( mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}) G [ mathbf {X} - mathbf {X '}] = delta ^ {(4)} [ mathbf {X} - mathbf {X '}]}$

kde 4D Funkce Delta je:

${ displaystyle delta ^ {(4)} [ mathbf {X}] = { frac {1} {(2 pi) ^ {4}}} int d ^ {4} mathbf {K} e ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}}$

Jako součást 4D Gaussovy věty / Stokesovy věty / věty o divergenci

v vektorový počet, věta o divergenci, známý také jako Gaussova věta nebo Ostrogradského věta, je výsledkem, který souvisí s tokem (tj. tok ) a vektorové pole přes a povrch chování vektorového pole uvnitř povrchu. Přesněji řečeno, věta o divergenci uvádí, že navenek tok vektorového pole skrz uzavřený povrch se rovná objemový integrál z divergence přes oblast uvnitř povrchu. Intuitivně to uvádí součet všech zdrojů mínus součet všech propadů dává čistý tok z oblasti. Ve vektorovém počtu a obecněji v diferenciální geometrii Stokesova věta (nazývaný také zobecněná Stokesova věta) je výrok o integraci diferenciálních forem na varietách, který zjednodušuje a zobecňuje několik vět z vektorového počtu.

${ displaystyle int _ { Omega} d ^ {4} X ( částečný _ { mu} V ^ { mu}) = mast _ { částečný Omega} dS (V ^ { mu} N_ { mu})}$

nebo

${ displaystyle int _ { Omega} d ^ {4} X ( mathbf { částečný} cdot mathbf {V}) = mast _ { částečný Omega} dS ( mathbf {V} cdot mathbf {N})}$

kde

${ displaystyle mathbf {V} = V ^ { mu}}$ je 4-vektorové pole definované v ${ displaystyle Omega}$

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {V} = částečné _ { mu} V ^ { mu}}$ je 4-divergence ${ displaystyle V}$

${ displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {N} = V ^ { mu} N _ { mu}}$ je součástí ${ displaystyle V}$ podél směru ${ displaystyle N}$

${ displaystyle Omega}$ je 4D jednoduše spojená oblast Minkowského časoprostoru

${ displaystyle částečné Omega = S}$ je jeho 3D hranice s vlastním 3D objemovým prvkem ${ displaystyle dS}$

${ displaystyle mathbf {N} = N ^ { mu}}$ je navenek normální

${ displaystyle d ^ {4} X = (c , dt) (d ^ {3} x) = (c , dt) (dx , dy , dz)}$ je 4D diferenciální objemový prvek

Jako součást SR Hamilton-Jacobiho rovnice v relativistické analytické mechanice

The Hamilton-Jacobiho rovnice (HJE) je formulace klasické mechaniky, ekvivalentní s jinými formulacemi jako např Newtonovy zákony pohybu, Lagrangian mechanika a Hamiltoniánská mechanika. Hamiltonova-Jacobiho rovnice je zvláště užitečná při identifikaci konzervovaných veličin pro mechanické systémy, což je možné i v případě, že samotný mechanický problém nelze zcela vyřešit. HJE je také jedinou formulací mechaniky, ve které lze pohyb částice představovat jako vlnu. V tomto smyslu splnilo HJE dlouhodobý cíl teoretické fyziky (datovat se přinejmenším od Johanna Bernoulliho v 18. století), najít analogii mezi šířením světla a pohybem částice

Zobecněná relativistická hybnost ${ displaystyle mathbf {P_ {T}}}$ částice lze zapsat jako^[27]

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = mathbf {P} + q mathbf {A}}$

kde ${ displaystyle mathbf {P} = vlevo ({ frac {E} {c}}, { vec { mathbf {p}}} vpravo)}$ a ${ displaystyle mathbf {A} = left ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} right)}$

To je v podstatě 4-celková hybnost ${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = vlevo ({ frac {E_ {T}} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}}} vpravo)}$ systému; A zkušební částice v pole za použití minimální vazba pravidlo. Je tu inherentní hybnost částice ${ displaystyle mathbf {P}}$, plus hybnost v důsledku interakce s EM 4-vektorovým potenciálem ${ displaystyle mathbf {A}}$ prostřednictvím náboje částic ${ displaystyle q}$.

Relativistické Hamilton-Jacobiho rovnice se získá nastavením celkové hybnosti rovné zápornému 4-gradientu akce ${ displaystyle S}$.

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = - mathbf { částečné} [S]}$

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = vlevo ({ frac {E_ {T}} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}}} vpravo) = vlevo ( { frac {H} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}} vpravo) = - mathbf { částečné} [S] = - vlevo ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { mathbf { nabla}}} right) [S]}$

Časová složka dává: ${ displaystyle E_ {T} = H = - částečné _ {t} [S]}$

Prostorové komponenty dávají: ${ displaystyle { vec { mathbf {p_ {T}}}} = { vec { mathbf { nabla}}} [S]}$

kde ${ displaystyle H}$ je Hamiltonian.

To ve skutečnosti souvisí s tím, že 4-vlnový vektor se rovná negativnímu 4-gradientu fáze shora.${ displaystyle K ^ { mu} = mathbf {K} = vlevo ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} vpravo) = - mathbf { částečné} [ Phi]}$

K získání HJE nejprve použijeme Lorentzovo skalární invariantní pravidlo pro 4-moment:

${ displaystyle mathbf {P} cdot mathbf {P} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

Ale z minimální vazba pravidlo:

${ displaystyle mathbf {P} = mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}}$

Tak:

${ displaystyle ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) cdot ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) = (m_ {0} c) ^ {2 }}$

${ displaystyle ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) ^ {2} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle (- mathbf { částečné} [S] -q mathbf {A}) ^ {2} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

Rozdělení do časové a prostorové složky:

${ displaystyle (- částečné _ {t} [S] / cq phi / c) ^ {2} - ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} = ( m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} - (1 / c) ^ {2} (- částečný _ {t} [S] -q phi ) ^ {2} + (m_ {0} c) ^ {2} = 0}$

${ displaystyle ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} - (1 / c) ^ {2} ( částečný _ {t} [S] + q phi) ^ {2} + (m_ {0} c) ^ {2} = 0}$

kde finále je relativistické Hamilton-Jacobiho rovnice.

Jako součást Schrödingerových vztahů v kvantové mechanice

4-gradient je spojen s kvantová mechanika.

Vztah mezi 4-hybnost ${ displaystyle mathbf {P}}$ a 4-gradient ${ displaystyle mathbf { částečné}}$ dává Schrödingerovy vztahy QM.^[28]

${ displaystyle mathbf {P} = left ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = i hbar mathbf { partial} = i hbar left ( { frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} vpravo)}$

Časová složka dává: ${ displaystyle E = i hbar částečné _ {t}}$

Prostorové komponenty dávají: ${ displaystyle { vec {p}} = - i hbar { vec { nabla}}}$

To může být ve skutečnosti složeno ze dvou samostatných kroků.

Za prvé:^[29]

${ displaystyle mathbf {P} = left ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = hbar mathbf {K} = hbar left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} vpravo)}$ což je plná 4-vektorová verze:

(Časová složka) Planck – Einsteinův vztah ${ displaystyle E = hbar omega}$

(Prostorové komponenty) de Broglie vlna hmoty vztah ${ displaystyle { vec {p}} = hbar { vec {k}}}$

Druhý:^[30]

${ displaystyle mathbf {K} = vlevo ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} vpravo) = i mathbf { částečné} = i vlevo ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} vpravo)}$ což je pouze čtyřstupňová verze vlnová rovnice pro komplexní rovinné vlny

Časová složka dává: ${ displaystyle omega = i částečné _ {t}}$

Prostorové komponenty dávají: ${ displaystyle { vec {k}} = - já { vec { nabla}}}$

Jako součást kovarianční formy kvantové komutační relace

V kvantové mechanice (fyzice) platí kanonický komutační vztah je základní vztah mezi kanonickými konjugovanými veličinami (veličinami, které jsou podle definice příbuzné tak, že jedna je Fourierova transformace jiné).

${ displaystyle [P ^ { mu}, X ^ { nu}] = i hbar [ částečné ^ { mu}, X ^ { nu}] = i hbar částečné ^ { mu} [ X ^ { nu}] = i hbar eta ^ { mu nu}}$^[31]

${ displaystyle [p ^ {j}, x ^ {k}] = i hbar eta ^ {jk}}$: Vezmeme prostorové komponenty:

${ displaystyle [p ^ {j}, x ^ {k}] = - i hbar delta ^ {jk}}$: protože ${ displaystyle eta ^ { mu nu} = operatorname {diag} [1, -1, -1, -1]}$

${ displaystyle [x ^ {k}, p ^ {j}] = i hbar delta ^ {kj}}$: protože ${ displaystyle [a, b] = - [b, a]}$

${ displaystyle [x ^ {j}, p ^ {k}] = i hbar delta ^ {jk}}$: indexy rebrandingu dávají obvyklá pravidla kvantové komutace

Jako součást vlnových rovnic a pravděpodobnostních proudů v relativistické kvantové mechanice

4-gradient je složkou několika relativistických vlnových rovnic:^[32][33]

V Klein – Gordonova relativistická kvantová vlnová rovnice pro částice spin-0 (např. Higgsův boson ):^[34]

${ displaystyle [( částečné ^ { mu} částečné _ { mu}) + levé ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} pravé) ^ {2}] psi = 0}$

V Diracova relativistická kvantová vlnová rovnice pro částice spin-1/2 (např. elektrony ):^[35]

${ displaystyle [i gamma ^ { mu} částečný _ { mu} - { frac {m_ {0} c} { hbar}}] psi = 0}$

kde ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ jsou Dirac gama matice a ${ displaystyle psi}$ je relativistický vlnová funkce.

${ displaystyle psi}$ je Lorentz skalární pro Klein-Gordonovu rovnici a spinor pro Diracovu rovnici.

Je hezké, že samotné gama matice odkazují zpět na základní aspekt SR, metodu Minkowski:^[36]

${ displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} = 2 eta ^ { mu nu} I_ {4} ,}$

Zachování hustoty proudu se 4 pravděpodobností vyplývá z rovnice kontinuity:^[37]

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf {J} = částečné _ {t} rho + { vec { mathbf { nabla}}} cdot { vec { mathbf {j}} } = 0}$

The 4-pravděpodobnostní proudová hustota má relativisticky kovariantní výraz:^[38]

${ displaystyle J_ {prob} ^ { mu} = { frac {i hbar} {2m_ {0}}} ( psi ^ {*} částečné ^ { mu} psi - psi částečné ^ { mu} psi ^ {*})}$

The 4-nabíjecí proudová hustota je pouze náboj (q) krát hustota proudu se 4 pravděpodobností:^[39]

${ displaystyle J_ {poplatek} ^ { mu} = { frac {i hbar q} {2m_ {0}}} ( psi ^ {*} částečné ^ { mu} psi - psi částečné ^ { mu} psi ^ {*})}$

Jako klíčová součást při odvozování kvantové mechaniky a relativistických rovnic kvantové vlny ze speciální relativity

Relativistické vlnové rovnice použijte 4 vektory, aby byly kovariantní.^[40][41]

Začněte se standardními SR 4 vektory:^[42]

4 polohy ${ displaystyle mathbf {X} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$

4-rychlostní ${ displaystyle mathbf {U} = gamma (c, { vec { mathbf {u}}})}$

4-hybnost ${ displaystyle mathbf {P} = vlevo ({ frac {E} {c}}, { vec { mathbf {p}}} vpravo)}$

4-vlnový ${ displaystyle mathbf {K} = vlevo ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} vpravo)}$

4-gradient ${ displaystyle mathbf { částečné} = vlevo ({ frac { částečné _ {t}} {c}}, - { vec { mathbf { nabla}}} vpravo)}$

Všimněte si následujících jednoduchých vztahů z předchozích částí, kde každý 4-vektor souvisí s jiným pomocí a Lorentz skalární:

${ displaystyle mathbf {U} = { frac {d} {d tau}} mathbf {X}}$, kde ${ displaystyle tau}$ je správný čas

${ displaystyle mathbf {P} = m_ {0} mathbf {U}}$, kde ${ displaystyle m_ {0}}$ je odpočinková hmota

${ displaystyle mathbf {K} = (1 / hbar) mathbf {P}}$, který je 4-vektor verze Planck – Einsteinův vztah & de Broglie vlna hmoty vztah

${ displaystyle mathbf { částečné} = -i mathbf {K}}$, což je čtyřstupňová verze komplexní rovinné vlny

Nyní stačí použít standardní pravidlo skalárního produktu Lorentz na každé z nich:

${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf {U} = (c) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf {P} cdot mathbf {P} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {K} = left ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} right) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné} = vlevo ({ frac {-im_ {0} c} { hbar}} vpravo) ^ {2} = - vlevo ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} vpravo) ^ {2}}$

Poslední rovnice (se skalárním součinem se 4 gradienty) je základním kvantovým vztahem.

Při aplikaci na Lorentzovo skalární pole ${ displaystyle psi}$, dostane se Klein-Gordonova rovnice, nejzákladnější z kvanta relativistické vlnové rovnice:^[43]

${ displaystyle [ mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné} + doleva ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} doprava) ^ {2}] psi = 0}$

The Schrödingerova rovnice je nízká rychlost omezující případ {| v | << c} z Klein-Gordonova rovnice.^[44]

Pokud je kvantový vztah aplikován na 4-vektorové pole ${ displaystyle A ^ { mu}}$ místo Lorentzova skalárního pole ${ displaystyle psi}$, pak jeden dostane Proca rovnice:^[45]

${ displaystyle [ mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné} + doleva ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} doprava) ^ {2}] A ^ { mu } = 0 ^ { mu}}$

Pokud je člen zbytkové hmoty nastaven na nulu (částice podobné světlu), pak to dává volnost Maxwellova rovnice:

${ displaystyle [ mathbf { částečné} cdot mathbf { částečné}] A ^ { mu} = 0 ^ { mu}}$

Složitější formy a interakce lze odvodit pomocí minimální vazba pravidlo:

Jako součást kovariantní derivace RQM (vnitřní částicové prostory)

V moderní základní částicová fyzika, lze definovat a měřidlo kovarianční derivace který využívá další pole RQM (vnitřní částicové prostory), o nichž je nyní známo, že existují.

Verze známá z klasického EM (v přirozených jednotkách) je:^[46]

${ displaystyle D ^ { mu} = částečné ^ { mu} -igA ^ { mu}}$

Plná kovarianční derivace pro základní interakce z Standardní model o kterých v současnosti víme (v přirozené jednotky ) je:^[47]

${displaystyle D^{mu }=partial ^{mu }-ig_{1}(Y/2)B^{mu }-ig_{2}( au _{i}/2)cdot W_{i}^{mu }-ig_{3}(lambda _{a}/2)cdot G_{a}^{mu }}$