Čtyři přechody - Four-gradient

v diferenciální geometrie, čtyřstupňový (nebo 4-gradient) je čtyři-vektor analog spád z vektorový počet.

v speciální relativita a v kvantová mechanika, čtyřstupňový se používá k definování vlastností a vztahů mezi různými fyzickými čtyřvektory a tenzory.

Zápis

Tento článek používá (+ − − −) metrický podpis.

SR a GR jsou zkratky pro speciální relativita a obecná relativita resp.

() označuje rychlost světla ve vakuu.

je byt vesmírný čas metrický SR.

Existují alternativní způsoby psaní výrazů se čtyřmi vektory ve fyzice:

je čtyři-vektor styl, který je obvykle kompaktnější a lze jej použít vektorová notace, (například vnitřní součin „tečka“), vždy používající tučně velká písmena k reprezentaci čtyř vektorů a tučná malá písmena k reprezentaci 3prostorových vektorů, například . Většina 3prostorových vektorových pravidel má v matematice se čtyřmi vektory analogie.
je Ricciho počet styl, který používá notace tenzorového indexu a je užitečný pro složitější výrazy, zejména pro tenzory s více než jedním indexem, například .

Latinský tenzorový index se pohybuje v {1, 2, 3}, a představuje 3prostorový vektor, např. .

Řecký tenzorový index se pohybuje v {0, 1, 2, 3}, a představuje 4-vektor, např. .

Ve fyzice SR se obvykle používá stručná směs, např. , kde představuje časovou složku a představuje prostorovou 3složku.

Tenzorová kontrakce použitá v Minkowského metrika může jít na kteroukoli stranu (viz Einsteinova notace ):[1]

Definice

4-gradientní kovariantní komponenty kompaktně zapsané čtyři-vektor a Ricciho počet notace jsou:[2][3]

The čárka v poslední části výše znamená částečná diferenciace s ohledem na 4 polohy .

Protikladné komponenty jsou:[4][5]

Alternativní symboly k jsou a D (Ačkoli může také znamenat , operátor d'Alembert ).

V GR je třeba použít obecnější metrický tenzor a tenzor kovarianční derivace , (nezaměňovat s vektorovým 3-přechodem ).

Kovarianční derivace zahrnuje 4-gradient Plus vesmírný čas zakřivení účinky prostřednictvím Christoffel symboly

The silný princip ekvivalence lze uvést jako:[6]

„Jakýkoli fyzikální zákon, který lze vyjádřit tenzorovou notací v SR, má přesně stejnou formu v lokálně setrvačném rámci zakřiveného časoprostoru.“ Čárky se 4 přechody (,) v SR se jednoduše změní na kovariantní derivační středníky (;) v GR, přičemž spojení mezi nimi je pomocí Christoffel symboly. Toto je ve fyzice relativity známé jako „pravidlo čárky k středníku“.

Například, pokud tedy v SR v GR.

Na (1,0) -tenzoru nebo 4-vektoru by to bylo:[7]

Na (2,0) -tenzoru by to bylo:

Používání

4-gradient se používá v mnoha různými způsoby speciální relativita (SR):

V tomto článku jsou všechny vzorce správné pro plochý časoprostor Minkowského souřadnice SR, ale musí být upraveny pro obecnější zakřivené vesmírné souřadnice obecná relativita (GR).

Jako 4-divergence a zdroj zákonů zachování

Divergence je vektorový operátor který vytváří podepsané skalární pole udávající množství a vektorové pole je zdroj v každém bodě.

4-divergence 4 polohy dává dimenze z vesmírný čas:

4-divergence 4-proudová hustota dává zákon o ochraně přírody - zachování poplatku:[8]

To znamená, že časová rychlost změny hustoty náboje se musí rovnat záporné prostorové divergenci proudové hustoty .

Jinými slovy, náboj uvnitř boxu se nemůže jen libovolně měnit, musí vstupovat a opouštět box pomocí proudu. Tohle je rovnice spojitosti.

4-divergence Čtyřčíselný tok (4 prach) se používá při ochraně částic:[9]

Tohle je zákon o ochraně přírody pro hustotu počtu částic, obvykle něco jako hustota baryonového čísla.

4-divergence elektromagnetický 4-potenciál se používá v Stav měřidla Lorenz:[10]

Toto je ekvivalent a zákon o ochraně přírody pro potenciál EM 4.

4-divergence příčného stopového 2-tenzoru představující gravitační záření v limitu slabého pole (tj. volně se šířící daleko od zdroje).

: Příčný stav

je ekvivalentem konzervační rovnice pro volně se šířící gravitační vlny.

4-divergence tenzor napětí a energie konzervované Noether aktuální spojený s vesmírný čas překlady, dává čtyři zákony zachování v SR:[11]

The uchování energie (časový směr) a zachování lineární hybnosti (3 samostatné prostorové směry).

Často se píše jako:

kde se rozumí, že jednoduchá nula je ve skutečnosti 4-vektorová nula ).

Při zachování tenzoru energie a napětí () pro perfektní tekutina v kombinaci se zachováním hustoty počtu částic (), oba využívající 4-gradient, lze odvodit relativistické Eulerovy rovnice, v kterém mechanika tekutin a astrofyzika jsou zobecněním Eulerovy rovnice tento účet pro účinky speciální relativita Tyto rovnice se redukují na klasické Eulerovy rovnice, pokud je 3prostorová rychlost tekutiny mnohem méně než rychlost světla, tlak je mnohem menší než hustota energie a u druhé dominuje hustota zbytkové hmoty.

V plochém časoprostoru a při použití kartézských souřadnic, pokud to spojíme se symetrií tenzoru napětí a energie, můžeme ukázat, že moment hybnosti (relativistická moment hybnosti ) je také zachována:

kde tato nula je vlastně nula (2,0) -tenzoru.

Jako Jacobian matice pro SR Minkowski metrický tenzor

The Jacobian matrix je matice všeho prvního řádu částečné derivace a funkce s vektorovou hodnotou.

4-gradient působící na 4 polohy dává SR Minkowského prostor metrický :[12]

Pro metriku Minkowski komponenty { not summed}, s ne-diagonálními komponenty všechny nulové.

Pro kartézskou metodu Minkowski to dává .

Obvykle, , kde je 4D Kroneckerova delta.

Jako způsob, jak definovat Lorentzovy transformace

Lorentzova transformace je psána v tenzorové formě jako[13]

a od té doby jsou tedy jen konstanty

Podle definice 4-gradientu

Tato identita je zásadní. Složky 4-gradientní transformace podle inverze složek 4-vektorů. 4stupeň je tedy „archetypální“ jednoformát.

Jako součást derivace celkového správného času

Skalární součin 4-rychlostní s 4-gradientem dává celková derivace s ohledem na správný čas :[14]

Skutečnost, že je Lorentzův skalární invariant ukazuje, že celková derivace s ohledem na správný čas je také Lorentzův skalární invariant.

Takže například 4-rychlostní je derivát 4 polohy s ohledem na správný čas:

nebo

Dalším příkladem je 4rychlost je derivátem správného času 4-rychlostní :

nebo

Jako způsob, jak definovat Faradayův elektromagnetický tenzor a odvodit Maxwellovy rovnice

Faraday elektromagnetický tenzor je matematický objekt, který popisuje elektromagnetické pole v vesmírný čas fyzického systému.[15][16][17][18][19]

Použitím 4-gradientu, aby se vytvořil antisymetrický tenzor, získáme:

kde:

Elektromagnetický 4-potenciál , nesmí být zaměňována s 4rychlost

je elektrický skalární potenciál, a je magnetický 3prostorový vektorový potenciál.

Opětovným použitím 4-přechodu a definováním 4-proudová hustota tak jako lze odvodit tenzorovou formu Maxwellovy rovnice:

kde druhý řádek je verzí Bianchi identita (Jacobi identita ).

Jako způsob, jak definovat 4-vlnový vektor

A vlnovodič je vektor který pomáhá popsat a mávat. Jako každý vektor má i velikost a směr, z nichž oba jsou důležité: Jeho velikost je buď vlnové číslo nebo úhlové vlnové číslo vlny (nepřímo úměrné vlnová délka ) a jeho směr je obvykle směr šíření vln

The 4-vlnový je 4-gradient negativní fáze (nebo záporný 4-gradient fáze) vlny v Minkowského prostoru:[20]

To je matematicky ekvivalentní s definicí fáze a mávat (nebo konkrétněji a rovinná vlna ):

kde 4 polohy , je časová úhlová frekvence, je prostorový 3prostorový vlnovod a je Lorentzova skalární invariantní fáze.

s předpokladem, že rovinná vlna a nejsou explicitní funkce nebo

Explicitní forma SR rovinné vlny lze napsat jako:[21]

kde je (možná komplex ) amplituda.

Obecná vlna bude superpozice více rovinných vln:

Opět pomocí 4-gradientu,

nebo

, což je čtyřstupňová verze komplexní rovinné vlny

Jako d'Alembertian operátor

Ve speciální relativitě, elektromagnetismu a vlnové teorii je d'Alembertův operátor, nazývaný také d'Alembertian nebo vlnový operátor, Laplaceův operátor Minkowského prostoru. Provozovatel je pojmenován po francouzském matematikovi a fyzikovi Jean le Rond d'Alembert.

Náměstí je 4-Laplacian, kterému se říká operátor d'Alembert:[22][23][24][25]

.

Jak to je Tečkovaný produkt ze dvou 4-vektorů je d'Alembertian a Lorentzův invariant skalární.

Občas, analogicky s trojrozměrnou notací, symboly a se používají pro 4-gradient, respektive d'Alembertian. Častěji však symbol je vyhrazeno pro d'Alembertian.

Následuje několik příkladů 4-gradientu použitého v d'Alembertian:

V Klein – Gordon relativistická rovnice kvantové vlny pro částice spin-0 (např. Higgsův boson ):

V vlnová rovnice pro elektromagnetické pole { použitím Lorenzův rozchod }:

{ve vakuu}
{s 4-proud zdroj, bez účinků rotace}
{s kvantová elektrodynamika zdroj, včetně účinků rotace}

kde:

Elektromagnetický 4-potenciál je elektromagnetický vektorový potenciál
4-proudová hustota je hustota elektromagnetického proudu
Dirac Gama matice poskytují účinky rotace

V vlnová rovnice a gravitační vlna {pomocí podobného Lorenzův rozchod }[26]

kde je příčný stopový 2-tenzor představující gravitační záření v limitu slabého pole (tj. volně se šířící daleko od zdroje).

Další podmínky dne jsou:

: Čistě prostorové
: Bez stopy
:Příčný

Ve 4-dimenzionální verzi Greenova funkce:

kde 4D Funkce Delta je:

Jako součást 4D Gaussovy věty / Stokesovy věty / věty o divergenci

v vektorový počet, věta o divergenci, známý také jako Gaussova věta nebo Ostrogradského věta, je výsledkem, který souvisí s tokem (tj. tok ) a vektorové pole přes a povrch chování vektorového pole uvnitř povrchu. Přesněji řečeno, věta o divergenci uvádí, že navenek tok vektorového pole skrz uzavřený povrch se rovná objemový integrál z divergence přes oblast uvnitř povrchu. Intuitivně to uvádí součet všech zdrojů mínus součet všech propadů dává čistý tok z oblasti. Ve vektorovém počtu a obecněji v diferenciální geometrii Stokesova věta (nazývaný také zobecněná Stokesova věta) je výrok o integraci diferenciálních forem na varietách, který zjednodušuje a zobecňuje několik vět z vektorového počtu.

nebo

kde

je 4-vektorové pole definované v
je 4-divergence
je součástí podél směru
je 4D jednoduše spojená oblast Minkowského časoprostoru
je jeho 3D hranice s vlastním 3D objemovým prvkem
je navenek normální
je 4D diferenciální objemový prvek

Jako součást SR Hamilton-Jacobiho rovnice v relativistické analytické mechanice

The Hamilton-Jacobiho rovnice (HJE) je formulace klasické mechaniky, ekvivalentní s jinými formulacemi jako např Newtonovy zákony pohybu, Lagrangian mechanika a Hamiltoniánská mechanika. Hamiltonova-Jacobiho rovnice je zvláště užitečná při identifikaci konzervovaných veličin pro mechanické systémy, což je možné i v případě, že samotný mechanický problém nelze zcela vyřešit. HJE je také jedinou formulací mechaniky, ve které lze pohyb částice představovat jako vlnu. V tomto smyslu splnilo HJE dlouhodobý cíl teoretické fyziky (datovat se přinejmenším od Johanna Bernoulliho v 18. století), najít analogii mezi šířením světla a pohybem částice

Zobecněná relativistická hybnost částice lze zapsat jako[27]

kde a

To je v podstatě 4-celková hybnost systému; A zkušební částice v pole za použití minimální vazba pravidlo. Je tu inherentní hybnost částice , plus hybnost v důsledku interakce s EM 4-vektorovým potenciálem prostřednictvím náboje částic .

Relativistické Hamilton-Jacobiho rovnice se získá nastavením celkové hybnosti rovné zápornému 4-gradientu akce .

Časová složka dává:

Prostorové komponenty dávají:

kde je Hamiltonian.

To ve skutečnosti souvisí s tím, že 4-vlnový vektor se rovná negativnímu 4-gradientu fáze shora.

K získání HJE nejprve použijeme Lorentzovo skalární invariantní pravidlo pro 4-moment:

Ale z minimální vazba pravidlo:

Tak:

Rozdělení do časové a prostorové složky:

kde finále je relativistické Hamilton-Jacobiho rovnice.

Jako součást Schrödingerových vztahů v kvantové mechanice

4-gradient je spojen s kvantová mechanika.

Vztah mezi 4-hybnost a 4-gradient dává Schrödingerovy vztahy QM.[28]

Časová složka dává:

Prostorové komponenty dávají:

To může být ve skutečnosti složeno ze dvou samostatných kroků.

Za prvé:[29]

což je plná 4-vektorová verze:

(Časová složka) Planck – Einsteinův vztah

(Prostorové komponenty) de Broglie vlna hmoty vztah

Druhý:[30]

což je pouze čtyřstupňová verze vlnová rovnice pro komplexní rovinné vlny

Časová složka dává:

Prostorové komponenty dávají:

Jako součást kovarianční formy kvantové komutační relace

V kvantové mechanice (fyzice) platí kanonický komutační vztah je základní vztah mezi kanonickými konjugovanými veličinami (veličinami, které jsou podle definice příbuzné tak, že jedna je Fourierova transformace jiné).

[31]
: Vezmeme prostorové komponenty:
: protože
: protože
: indexy rebrandingu dávají obvyklá pravidla kvantové komutace

Jako součást vlnových rovnic a pravděpodobnostních proudů v relativistické kvantové mechanice

4-gradient je složkou několika relativistických vlnových rovnic:[32][33]

V Klein – Gordonova relativistická kvantová vlnová rovnice pro částice spin-0 (např. Higgsův boson ):[34]

V Diracova relativistická kvantová vlnová rovnice pro částice spin-1/2 (např. elektrony ):[35]

kde jsou Dirac gama matice a je relativistický vlnová funkce.

je Lorentz skalární pro Klein-Gordonovu rovnici a spinor pro Diracovu rovnici.

Je hezké, že samotné gama matice odkazují zpět na základní aspekt SR, metodu Minkowski:[36]

Zachování hustoty proudu se 4 pravděpodobností vyplývá z rovnice kontinuity:[37]

The 4-pravděpodobnostní proudová hustota má relativisticky kovariantní výraz:[38]

The 4-nabíjecí proudová hustota je pouze náboj (q) krát hustota proudu se 4 pravděpodobností:[39]

Jako klíčová součást při odvozování kvantové mechaniky a relativistických rovnic kvantové vlny ze speciální relativity

Relativistické vlnové rovnice použijte 4 vektory, aby byly kovariantní.[40][41]

Začněte se standardními SR 4 vektory:[42]

4 polohy
4-rychlostní
4-hybnost
4-vlnový
4-gradient

Všimněte si následujících jednoduchých vztahů z předchozích částí, kde každý 4-vektor souvisí s jiným pomocí a Lorentz skalární:

, kde je správný čas
, kde je odpočinková hmota
, který je 4-vektor verze Planck – Einsteinův vztah & de Broglie vlna hmoty vztah
, což je čtyřstupňová verze komplexní rovinné vlny

Nyní stačí použít standardní pravidlo skalárního produktu Lorentz na každé z nich:

Poslední rovnice (se skalárním součinem se 4 gradienty) je základním kvantovým vztahem.

Při aplikaci na Lorentzovo skalární pole , dostane se Klein-Gordonova rovnice, nejzákladnější z kvanta relativistické vlnové rovnice:[43]

The Schrödingerova rovnice je nízká rychlost omezující případ {| v | << c} z Klein-Gordonova rovnice.[44]

Pokud je kvantový vztah aplikován na 4-vektorové pole místo Lorentzova skalárního pole , pak jeden dostane Proca rovnice:[45]

Pokud je člen zbytkové hmoty nastaven na nulu (částice podobné světlu), pak to dává volnost Maxwellova rovnice:

Složitější formy a interakce lze odvodit pomocí minimální vazba pravidlo:

Jako součást kovariantní derivace RQM (vnitřní částicové prostory)

V moderní základní částicová fyzika, lze definovat a měřidlo kovarianční derivace který využívá další pole RQM (vnitřní částicové prostory), o nichž je nyní známo, že existují.

Verze známá z klasického EM (v přirozených jednotkách) je:[46]

Plná kovarianční derivace pro základní interakce z Standardní model o kterých v současnosti víme (v přirozené jednotky ) je:[47]

nebo

kde:

the scalar product summations () here refer to the internal spaces, not the tensor indices
odpovídá U (1) invariance = (1) EM force měřicí boson
odpovídá SU (2) invariance = (3) slabá síla gauge bosons (i = 1, ..., 3)
odpovídá SU (3) invariance = (8) barevná síla gauge bosons (A = 1, ..., 8)

The vazebné konstanty are arbitrary numbers that must be discovered from experiment. It is worth emphasizing that for the neabelský transformations once the are fixed for one representation, they are known for all representations.

These internal particle spaces have been discovered empirically.[48]

Derivace

In three dimensions, the gradient operator maps a scalar field to a vector field such that the line integral between any two points in the vector field is equal to the difference between the scalar field at these two points. Based on this, it may objevit nesprávně that the natural extension of the gradient to 4 dimensions by měl být:

   nesprávný

However, a line integral involves the application of the vector dot product, and when this is extended to 4-dimensional spacetime, a change of sign is introduced to either the spatial co-ordinates or the time co-ordinate depending on the convention used. This is due to the non-Euclidean nature of spacetime. In this article, we place a negative sign on the spatial coordinates (the time-positive metric convention ). The factor of (1/C) is to keep the correct unit dimensionality {1/[length]} for all components of the 4-vector and the (−1) is to keep the 4-gradient Lorentz covariant. Adding these two corrections to the above expression gives the opravit definition of 4-gradient:

   opravit

[49][50]

Viz také

Note about References

Regarding the use of scalars, 4-vectors and tensors in physics, various authors use slightly different notations for the same equations. For instance, some use for invariant rest mass, others use for invariant rest mass and use for relativistic mass. Many authors set factors of a a to dimensionless unity. Others show some or all the constants. Někteří autoři používají for velocity, others use . Některé použití as a 4-wavevector (to pick an arbitrary example). Others use nebo nebo nebo nebo nebo , etc. Some write the 4-wavevector as , někteří jako nebo nebo nebo nebo nebo . Some will make sure that the dimensional units match across the 4-vector, others do not. Some refer to the temporal component in the 4-vector name, others refer to the spatial component in the 4-vector name. Some mix it throughout the book, sometimes using one then later on the other. Some use the metric (+ − − −), others use the metric (− + + +). Some don't use 4-vectors, but do everything as the old style E and 3-space vector p. The thing is, all of these are just notational styles, with some more clear and concise than the others. The physics is the same as long as one uses a consistent style throughout the whole derivation.[51]

Reference

  1. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. pp. 56, 151–152, 158–161. ISBN  0-19-853952-5.
  2. ^ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2
  3. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. p. 16. ISBN  0-201-62460-5.
  4. ^ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2
  5. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. p. 16. ISBN  0-201-62460-5.
  6. ^ Shultz, Bernard F. (1985). První kurz obecné relativity (1. vyd.). Cambridge University Press. str. 184. ISBN  0-521-27703-5.
  7. ^ Shultz, Bernard F. (1985). První kurz obecné relativity (1. vyd.). Cambridge University Press. 136–139. ISBN  0-521-27703-5.
  8. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. 103–107. ISBN  0-19-853952-5.
  9. ^ Shultz, Bernard F. (1985). První kurz obecné relativity (1. vyd.). Cambridge University Press. str. 90–110. ISBN  0-521-27703-5.
  10. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. 105–107. ISBN  0-19-853952-5.
  11. ^ Shultz, Bernard F. (1985). První kurz obecné relativity (1. vyd.). Cambridge University Press. 101–106. ISBN  0-521-27703-5.
  12. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. p. 16. ISBN  0-201-62460-5.
  13. ^ Shultz, Bernard F. (1985). První kurz obecné relativity (1. vyd.). Cambridge University Press. str. 69. ISBN  0-521-27703-5.
  14. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. str. 58–59. ISBN  0-19-853952-5.
  15. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. 101–128. ISBN  0-19-853952-5.
  16. ^ Sudbury, Anthony (1986). Quantum mechanics and the particles of nature: An outline for mathematicians (1. vyd.). Cambridge University Press. str.314. ISBN  0-521-27765-5.
  17. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. pp. 17–18. ISBN  0-201-62460-5.
  18. ^ Carroll, Sean M. (2004). An Introduction to General Relativity: Spacetime and Geometry (1. vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. pp. 29–30. ISBN  0-8053-8732-3.
  19. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 4. ISBN  3-540-67457-8.
  20. ^ Carroll, Sean M. (2004). An Introduction to General Relativity: Spacetime and Geometry (1. vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. p. 387. ISBN  0-8053-8732-3.
  21. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 9. ISBN  3-540-67457-8.
  22. ^ Sudbury, Anthony (1986). Quantum mechanics and the particles of nature: An outline for mathematicians (1. vyd.). Cambridge University Press. str.300. ISBN  0-521-27765-5.
  23. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. pp. 17–18. ISBN  0-201-62460-5.
  24. ^ Carroll, Sean M. (2004). An Introduction to General Relativity: Spacetime and Geometry (1. vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. p. 41. ISBN  0-8053-8732-3.
  25. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 4. ISBN  3-540-67457-8.
  26. ^ Carroll, Sean M. (2004). An Introduction to General Relativity: Spacetime and Geometry (1. vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. pp. 274–322. ISBN  0-8053-8732-3.
  27. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. 93–96. ISBN  0-19-853952-5.
  28. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. s. 3–5. ISBN  3-540-67457-8.
  29. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. 82–84. ISBN  0-19-853952-5.
  30. ^ Sudbury, Anthony (1986). Quantum mechanics and the particles of nature: An outline for mathematicians (1. vyd.). Cambridge University Press. str.300. ISBN  0-521-27765-5.
  31. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 4. ISBN  3-540-67457-8.
  32. ^ Sudbury, Anthony (1986). Quantum mechanics and the particles of nature: An outline for mathematicians (1. vyd.). Cambridge University Press. str.300–309. ISBN  0-521-27765-5.
  33. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. pp. 25, 30–31, 55–69. ISBN  0-201-62460-5.
  34. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 5. ISBN  3-540-67457-8.
  35. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 130. ISBN  3-540-67457-8.
  36. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 129. ISBN  3-540-67457-8.
  37. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 6. ISBN  3-540-67457-8.
  38. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 6. ISBN  3-540-67457-8.
  39. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 8. ISBN  3-540-67457-8.
  40. ^ Kane, Gordon (1994). Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN  0-201-62460-5.
  41. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. ISBN  3-540-67457-8.
  42. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. ISBN  0-19-853952-5.
  43. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 5–8. ISBN  3-540-67457-8.
  44. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. s. 7–8. ISBN  3-540-67457-8.
  45. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. str. 361. ISBN  3-540-67457-8.
  46. ^ Kane, Gordon (1994). Moderní elementární částicová fyzika: Základní částice a síly (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. str. 39. ISBN  0-201-62460-5.
  47. ^ Kane, Gordon (1994). Moderní elementární částicová fyzika: Základní částice a síly (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. str. 35–53. ISBN  0-201-62460-5.
  48. ^ Kane, Gordon (1994). Moderní elementární částicová fyzika: Základní částice a síly (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. str. 47. ISBN  0-201-62460-5.
  49. ^ Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2. vyd.). Oxford Science Publications. str. 55–56. ISBN  0-19-853952-5.
  50. ^ Kane, Gordon (1994). Moderní elementární částicová fyzika: Základní částice a síly (Aktualizováno vyd.). Addison-Wesley Publishing Co. str. 16. ISBN  0-201-62460-5.
  51. ^ Greiner, Walter (2000). Relativistická kvantová mechanika: vlnové rovnice (3. vyd.). Springer. s. 2–4. ISBN  3-540-67457-8.

Další čtení

  • S. Hildebrandt, "Analýza II" (kalkul II), ISBN  3-540-43970-6, 2003
  • L.C. Evans, "Parciální diferenciální rovnice", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988
  • J. D. Jackson, „Klasická elektrodynamika“ Kapitola 11, Wiley ISBN  0-471-30932-X