Eikonální aproximace - Eikonal approximation

v teoretická fyzika, eikonální aproximace (řecký εἰκών pro podobu, ikonu nebo obrázek) je přibližná metoda užitečná ve vlně rozptyl rovnice, které se vyskytují v optika, seismologie, kvantová mechanika, kvantová elektrodynamika, a částečná expanze vln.

Neformální popis

Hlavní výhodou, kterou nabízí eikonální aproximace, je to, že rovnice se redukují na a diferenciální rovnice v jedné proměnné. Tato redukce na jedinou proměnnou je výsledkem aproximace přímky nebo eikonální aproximace, která nám umožňuje zvolit přímku jako speciální směr.

Vztah k aproximaci WKB

Počáteční kroky spojené s eikonální aproximací v kvantové mechanice velmi úzce souvisejí s Aproximace WKB pro jednorozměrné vlny. Metoda WKB, podobně jako eikonální aproximace, redukuje rovnice na diferenciální rovnici v jedné proměnné. Potíž s aproximací WKB však spočívá v tom, že tato proměnná je popsána trajektorií částice, která je obecně komplikovaná.

Formální popis

S využitím aproximace WKB můžeme napsat vlnovou funkci rozptýleného systému z hlediska akce S:

${displaystyle Psi = e ^ {iS / {hbar}}}$

Vkládání vlnová funkce Ψ v Schrödingerova rovnice bez přítomnosti magnetického pole získáme

${displaystyle - {frac {{hbar} ^ {2}} {2m}} {abla} ^ {2} Psi = (E-V) Psi}$

${displaystyle - {frac {{hbar} ^ {2}} {2m}} {abla} ^ {2} {e ^ {iS / {hbar}}} = (E-V) e ^ {iS / {hbar}}}$

${displaystyle {frac {1} {2m}} {(abla S)} ^ {2} - {frac {ihbar} {2m}} {abla} ^ {2} S = E-V}$

Píšeme S jako výkonová řada v ħ

${displaystyle S = S_ {0} + {frac {hbar} {i}} S_ {1} + ...}$

Pro nultou objednávku:

${displaystyle {frac {1} {2m}} {(abla S_ {0})} ^ {2} = E-V}$

Pokud vezmeme v úvahu jednorozměrný případ ${displaystyle {abla} ^ {2} ightarrow {částečné _ {z}} ^ {2}}$.

Získáváme a diferenciální rovnice s okrajová podmínka:

${displaystyle {frac {S (z = z_ {0})} {hbar}} = kz_ {0}}$

pro ${displaystyle Vightarrow 0}$, ${displaystyle zightarrow -infty}$.

${displaystyle {frac {d} {dz}} {frac {S_ {0}} {hbar}} = {sqrt {k ^ {2} -2mV / {hbar} ^ {2}}}}$

${displaystyle {frac {S_ {0} (z)} {hbar}} = kz- {frac {m} {{hbar} ^ {2} k}} int _ {- infty} ^ {z} {Vdz '} }$

Viz také

• Eikonální rovnice
• Zásada korespondence
• Zásada nejméně akce

Reference

Poznámky

• [1]Eikonální aproximace K. V. Shajesh Katedra fyziky a astronomie, University of Oklahoma

Další čtení

• R.R.Dubey (1995). Porovnání přesného řešení s Eikonalovou aproximací pro elastický rozptyl těžkých iontů (3. vyd.). NASA.
• W. Qian; H. Narumi; N. Daigaku. P. Kenkyūjo (1989). Eikonální aproximace ve verzi s částečnými vlnami (3. vyd.). Nagoya.
• M. Lévy; J. Sucher (1969). „Eikonální aproximace v teorii kvantového pole“. Phys. Rev. Maryland, USA. Bibcode:1969PhRv..186.1656L. doi:10.1103 / PhysRev.186.1656.
• I. T. Todorov (1970). „Kvazipotenciální rovnice odpovídající relativistické eikonální aproximaci“. Phys. Rev. D. New Jersey, USA. Bibcode:1971PhRvD ... 3.2351T. doi:10.1103 / PhysRevD.3.2351. Archivovány od originál dne 23. 2. 2013.
• D.R. Harrington (1969). „Multiple Scattering, the Glauber Aproximation, and the Off-Shell Eikonal Aproximation“. Phys. Rev. New Jersey, USA. Bibcode:1969PhRv..184,1745H. doi:10.1103 / PhysRev.184.1745.