Hamiltonovské vektorové pole - Hamiltonian vector field
v matematika a fyzika, a Hamiltonovské vektorové pole na symplektické potrubí je vektorové pole, definované pro všechny energetická funkce nebo Hamiltonian. Pojmenován po fyzikovi a matematikovi Sir William Rowan Hamilton, Hamiltonovské vektorové pole je geometrickým projevem Hamiltonovy rovnice v klasická mechanika. The integrální křivky Hamiltonovského vektorového pole představují řešení pohybových rovnic v Hamiltonovské formě. The difeomorfismy symplektického potrubí vyplývajícího z tok Hamiltonovského vektorového pole jsou známé jako kanonické transformace ve fyzice a (Hamiltonian) symplectomorphisms v matematice.[1]
Hamiltonovské vektorové pole lze definovat obecněji libovolně Poissonovo potrubí. The Ležící závorka dvou Hamiltonovských vektorových polí odpovídajících funkcím F a G na potrubí je samo o sobě Hamiltonovské vektorové pole, přičemž Hamiltonián je dán vztahemPoissonova závorka z F a G.
Definice
Předpokládejme to (M, ω) je symplektické potrubí. Protože symlektická forma ω je nedgenerativní, nastavuje a vláknový-lineární izomorfismus
mezi tečný svazek TM a kotangenský svazek T * M, s inverzní
Proto, jednoformátové na symplektickém potrubí M lze identifikovat pomocí vektorová pole a každý diferencovatelná funkce H: M → R určuje jedinečnost vektorové pole XH, nazvaný Hamiltonovské vektorové pole s Hamiltonian Hdefinováním pro každé vektorové pole Y na M,
Poznámka: Někteří autoři definují hamiltonovské vektorové pole s opačným znaménkem. Je třeba mít na paměti různé konvence ve fyzické a matematické literatuře.
Příklady
Předpokládejme to M je 2n-rozměrný symplektický potrubí. Pak si můžete vybrat lokálně kanonické souřadnice (q1, ..., qn, p1, ..., pn) na M, ve kterém je symplektická forma vyjádřena jako:[2]
kde d označuje vnější derivace a ∧ označuje vnější produkt. Pak Hamiltonovské vektorové pole s Hamiltonianem H má formu:[1]
kde Ω je 2n × 2n čtvercová matice
a
Matice Ω je často označován J.
Předpokládejme to M = R2n je 2n-dimenzionální symplektický vektorový prostor s (globálními) kanonickými souřadnicemi.
- Li pak
- -li pak
- -li pak
- -li pak
Vlastnosti
- Zadání F ↦ XF je lineární, takže součet dvou Hamiltonových funkcí se transformuje na součet odpovídajících Hamiltonovských vektorových polí.
- Předpokládejme to (q1, ..., qn, p1, ..., pn) jsou kanonické souřadnice na M (viz výše). Pak křivka γ (t) = (q (t), p (t)) je integrální křivka Hamiltonovského vektorového pole XH právě tehdy, pokud se jedná o řešení Hamiltonovy rovnice:[1]
- Hamiltonian H je konstantní podél integrálních křivek, protože . To znamená H(γ (t)) je ve skutečnosti nezávislý na t. Tato vlastnost odpovídá uchování energie v Hamiltoniánská mechanika.
- Obecněji, pokud dvě funkce F a H mít nulu Poissonova závorka (viz níže) F je konstantní podél integrálních křivek Ha podobně, H je konstantní podél integrálních křivek F. Tato skutečnost je abstraktním matematickým principem Noetherova věta.[poznámka 1]
- The symlektická forma ω je zachován Hamiltonovským tokem. Ekvivalentně Derivát lži
Poissonova závorka
Pojem hamiltonovského vektorového pole vede k a šikmo symetrický bilineární operace s diferencovatelnými funkcemi na symplektickém potrubí M, Poissonova závorka, definovaný vzorcem
kde označuje Derivát lži podél vektorového pole X. Kromě toho lze zkontrolovat, zda platí následující identita:[1]
kde pravá strana představuje Lieovu závorku Hamiltonovských vektorových polí s Hamiltonians F a G. Důsledkem (důkaz na Poissonova závorka ), Poissonova závorka splňuje Jacobi identita:[3]
což znamená, že vektorový prostor diferencovatelných funkcí na M, obdařený Poissonovým držákem, má strukturu a Lež algebra přes Ra zadání F ↦ XF je Homomorfismus lže algebry, jehož jádro se skládá z lokálně konstantních funkcí (konstantní funkce, pokud M je připojen).
Poznámky
Poznámky
Citované práce
- Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky. Londýn: Benjamin-Cummings. ISBN 978-080530102-1.Viz část 3.2.
- Arnol'd, V.I. (1997). Matematické metody klasické mechaniky. Berlín atd .: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
- Frankel, Theodore (1997). Geometrie fyziky. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1.
- Lee, J. M. (2003), Úvod do hladkých potrubíSpringer Postgraduální texty z matematiky, 218, ISBN 0-387-95448-1
- McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Úvod do symmplektické topologie. Oxfordské matematické monografie. ISBN 0-19-850451-9.