Euler-Lagrangeova rovnice - Euler–Lagrange equation

V variační počet, Eulerova rovnice^[1] je druhého řádu parciální diferenciální rovnice jehož řešení jsou funkce pro které daný funkční je stacionární. Byl vyvinut švýcarským matematikem Leonhard Euler a italský matematik Joseph-Louis Lagrange v 50. letech 20. století.

Protože rozlišitelná funkce je na svém místním místě extrémy je pro řešení užitečná Eulerova-Lagrangeova rovnice optimalizace problémy, ve kterých, vzhledem k určité funkčnosti, se člověk snaží funkci minimalizovat nebo maximalizovat. To je analogické k Fermatova věta v počet s tím, že v každém okamžiku, kdy diferencovatelná funkce dosáhne lokálního extrému, je derivát je nula.

v Lagrangian mechanika, podle Hamiltonův princip stacionárního působení je vývoj fyzického systému popsán řešením Eulerovy rovnice pro akce systému. V této souvislosti se obvykle nazývají Eulerovy rovnice Lagrangeovy rovnice. v klasická mechanika, je ekvivalentní k Newtonovy zákony pohybu, ale má tu výhodu, že má stejnou formu v každém systému zobecněné souřadnice a je vhodnější pro zobecnění. v klasická teorie pole tady je analogická rovnice vypočítat dynamiku a pole.

Dějiny

Euler-Lagrangeova rovnice byla vyvinuta v 50. letech 17. století Eulerem a Lagrangeem v souvislosti s jejich studiemi tautochron problém. Toto je problém stanovení křivky, na které vážená částice spadne do pevného bodu v pevně daném čase, nezávisle na počátečním bodě.

Lagrange tento problém vyřešil v roce 1755 a poslal řešení Eulerovi. Oba dále vyvinuli Lagrangeovu metodu a použili ji mechanika, což vedlo k formulaci Lagrangian mechanika. Jejich korespondence nakonec vedla k variační počet, termín vytvořený samotným Eulerem v roce 1766.^[2]

Prohlášení

Euler-Lagrangeova rovnice je rovnice splněná funkcí qa nemovitý argument t, který je stacionárním bodem funkční

${ displaystyle displaystyle S ({ boldsymbol {q}}) = int _ {a} ^ {b} L (t, { boldsymbol {q}} (t), { dot { boldsymbol {q} }} (t)) , mathrm {d} t}$

kde:

• ${ displaystyle { boldsymbol {q}}}$ je funkce, kterou lze nalézt:

${ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol {q}} colon [a, b] podmnožina mathbb {R} & až X t & mapsto x = { boldsymbol {q}} (t ) end {zarovnáno}}}$

takhle ${ displaystyle { boldsymbol {q}}}$ je rozlišitelný, ${ displaystyle { boldsymbol {q}} (a) = { boldsymbol {x}} _ {a}}$, a ${ displaystyle { boldsymbol {q}} (b) = { boldsymbol {x}} _ {b}}$.

• ${ displaystyle { dot { boldsymbol {q}}}}$ je derivát ${ displaystyle { boldsymbol {q}}}$:

  ${ displaystyle { begin {aligned} { dot {q}} colon [a, b] & to T_ {q} X t & mapsto v = { dot {q}} (t). konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle T_ {q} X}$ označuje svazek tangenty k ${ displaystyle X}$ podél křivky ${ displaystyle q}$, (disjunktní) sjednocení všech tečných mezer ${ displaystyle T_ {q (t)} X}$ (vidět tečný prostor ) až ${ displaystyle X}$ v bodech ${ displaystyle {q (t) ~ celkem t }}$ křivky ${ displaystyle q}$.

• ${ displaystyle L}$ je funkce se skutečnou hodnotou kontinuální za prvé částečné derivace:

  ${ displaystyle { begin {zarovnáno} L colon [a, b] krát TX & to mathbb {R} (t, (x, v)) & mapsto L (t, x, v). end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle TX}$ být tečný svazek z ${ displaystyle X}$ definován

${ displaystyle TX = bigcup _ {x v X} {x } krát T_ {x} X}$.

Euler-Lagrangeova rovnice je tedy dána vztahem

Tady ${ displaystyle L_ {x}}$ a ${ displaystyle L_ {v}}$ označit částečné deriváty ${ displaystyle L}$ s ohledem na druhý a třetí argument.

Pokud je rozměr prostoru ${ displaystyle X}$ je větší než 1, jedná se o systém diferenciálních rovnic, jednu pro každou složku:

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné q_ {i}}} (t, { boldsymbol {q}} (t), { dot { boldsymbol {q}}} (t)) - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { frac { částečný L} { částečný { dot {q}} _ {i}}} (t, { boldsymbol { q}} (t), { dot { boldsymbol {q}}} (t)) = 0 quad { text {for}} i = 1, dots, n.}$

Odvození jednorozměrné Euler-Lagrangeovy rovnice

Odvození jednorozměrné Euler-Lagrangeovy rovnice je jedním z klasických důkazů matematika. Spoléhá se na základní lemma variačního počtu. Přejeme si najít funkci ${ displaystyle f}$ který splňuje okrajové podmínky ${ displaystyle f (a) = A}$, ${ displaystyle f (b) = B}$, a který extremizuje funkčnost ${ displaystyle J = int _ {a} ^ {b} F (x, f (x), f '(x)) , mathrm {d} x .}$ To předpokládáme ${ displaystyle F}$ je dvakrát spojitě diferencovatelné.[3] Lze použít slabší předpoklad, ale důkaz se stává obtížnějším.[Citace je zapotřebí ] Li ${ displaystyle f}$ extremizuje funkční předmět na okrajové podmínky, pak jakékoli mírné narušení ${ displaystyle f}$ který zachovává hraniční hodnoty, se musí buď zvýšit ${ displaystyle J}$ (li ${ displaystyle f}$ je minimalizátor) nebo snížení ${ displaystyle J}$ (li ${ displaystyle f}$ je maximalizátor). Nechat ${ displaystyle g _ { varepsilon} (x) = f (x) + varepsilon eta (x)}$ být výsledkem takového rušení ${ displaystyle varepsilon eta (x)}$ z ${ displaystyle f}$, kde ${ displaystyle varepsilon}$ je malý a ${ displaystyle eta (x)}$ je rozlišitelná funkce vyhovující ${ displaystyle eta (a) = eta (b) = 0}$. Pak definujte ${ displaystyle J _ { varepsilon} = int _ {a} ^ {b} F (x, g _ { varepsilon} (x), g _ { varepsilon} '(x)) , mathrm {d} x = int _ {a} ^ {b} F _ { varepsilon} , mathrm {d} x}$ kde ${ displaystyle F _ { varepsilon} = F (x, , g _ { varepsilon} (x), , g _ { varepsilon} '(x))}$ . Nyní si přejeme vypočítat celková derivace z ${ displaystyle J _ { varepsilon}}$ s ohledem na ε. ${ displaystyle { frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} varepsilon}} int _ {a} ^ {b} F _ { varepsilon} , mathrm {d} x = int _ {a} ^ {b} { frac { mathrm {d} F _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} , mathrm {d} x.}$ Z celkového derivátu to vyplývá ${ displaystyle { begin {aligned} { frac { mathrm {d} F _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} & = { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné x}} + { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon} } { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon}}} + { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon} '} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon} '}} & = { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon }} { frac { částečný F _ { varepsilon}} { částečný g _ { varepsilon}}} + { frac { mathrm {d} g '_ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon }} { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g '_ { varepsilon}}} & = eta (x) { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon}}} + eta '(x) { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon}'}} . konec {zarovnáno}}}$ Tak ${ displaystyle { frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} = int _ {a} ^ {b} left [ eta (x) { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon}}} + eta '(x) { frac { částečné F _ { varepsilon}} { částečné g _ { varepsilon}'}} , right] , mathrm {d} x .}$ Když ε = 0 máme Gε = F, Fε = F (x, f (x), f '(x)) a Jε má extrémní hodnotu, takže ${ displaystyle { frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} { bigg |} _ { varepsilon = 0} = int _ {a} ^ {b } left [ eta (x) { frac { částečné F} { částečné f}} + eta '(x) { frac { částečné F} { částečné f'}} , vpravo] , mathrm {d} x = 0 .}$ Dalším krokem je použití integrace po částech na druhém členu integrand, výtěžek ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} vlevo [{ frac { částečné F} { částečné f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { částečné F} { částečné f '}} pravé] eta (x) , mathrm {d} x + levé [ eta (x) { frac { částečné F} { částečné f '}} vpravo] _ {a} ^ {b} = 0 .}$ Použití okrajových podmínek ${ displaystyle eta (a) = eta (b) = 0}$, ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} vlevo [{ frac { částečné F} { částečné f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { částečné F} { částečné f '}} pravé] eta (x) , mathrm {d} x = 0 .}$ Uplatnění základní lemma variačního počtu nyní dává Euler-Lagrangeovu rovnici ${ displaystyle { frac { částečné F} { částečné f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { částečné F} { částečné f ' }} = 0 .}$

Alternativní derivace jednorozměrné Euler-Lagrangeovy rovnice

Vzhledem k funkčnímu ${ displaystyle J = int _ {a} ^ {b} F (t, y (t), y '(t)) , mathrm {d} t}$ na ${ displaystyle C ^ {1} ([a, b])}$ s okrajovými podmínkami ${ displaystyle y (a) = A}$ a ${ displaystyle y (b) = B}$, postupujeme aproximací extremální křivky polygonální čarou s ${ displaystyle n}$ segmenty a přecházejí na limit, protože počet segmentů libovolně roste. Rozdělte interval ${ displaystyle [a, b]}$ do ${ displaystyle n}$ stejné segmenty s koncovými body ${ displaystyle t_ {0} = a, t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {n} = b}$ a nechte ${ displaystyle Delta t = t_ {k} -t_ {k-1}}$. Spíše než plynulá funkce ${ displaystyle y (t)}$ uvažujeme polygonální linii s vrcholy ${ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}), ldots, (t_ {n}, y_ {n})}$, kde ${ displaystyle y_ {0} = A}$ a ${ displaystyle y_ {n} = B}$. Proto se naše funkce stává skutečnou funkcí ${ displaystyle n-1}$ proměnné dané ${ displaystyle J (y_ {1}, ldots, y_ {n-1}) přibližně součet _ {k = 0} ^ {n-1} F vlevo (t_ {k}, y_ {k}, { frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} { Delta t}} vpravo) Delta t.}$ Extrémy této nové funkce definované na diskrétních bodech ${ displaystyle t_ {0}, ldots, t_ {n}}$ odpovídají bodům, kde ${ displaystyle { frac { částečné J (y_ {1}, ldots, y_ {n})} { částečné y_ {m}}} = 0.}$ Vyhodnocení této parciální derivace dává ${ displaystyle { frac { částečné J} { částečné y_ {m}}} = F_ {y} vlevo (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { Delta t}} vpravo) Delta t + F_ {y '} vlevo (t_ {m-1}, y_ {m-1}, { frac {y_ {m} -y_ { m-1}} { Delta t}} vpravo) -F_ {y '} vlevo (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { Delta t}} vpravo).}$ Dělení výše uvedené rovnice ${ displaystyle Delta t}$ dává ${ displaystyle { frac { částečné J} { částečné y_ {m} Delta t}} = F_ {y} vlevo (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1 } -y_ {m}} { Delta t}} vpravo) - { frac {1} { Delta t}} vlevo [F_ {y '} vlevo (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { Delta t}} doprava) -F_ {y '} doleva (t_ {m-1}, y_ {m-1}, { frac {y_ {m} -y_ {m-1}} { Delta t}} vpravo) vpravo],}$ a brát limit jako ${ displaystyle Delta t až 0}$ na pravé straně tohoto výrazu se získá ${ displaystyle F_ {y} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} F_ {y '} = 0.}$ Levá strana předchozí rovnice je funkční derivace ${ displaystyle delta J / delta y}$ funkčních ${ displaystyle J}$. Nutnou podmínkou pro to, aby diferencovatelná funkce měla extrem na některé funkci, je to, že její funkční derivace při této funkci zmizí, což je dáno poslední rovnicí.

Příklady

Standardní příklad je nalezení funkce se skutečnou hodnotou y(X) na intervalu [A, b], takový, že y(A) = C a y(b) = d, pro které cesta délka podél křivka vysledovat y je co nejkratší.

${ displaystyle { text {s}} = int _ {a} ^ {b} { sqrt { mathrm {d} x ^ {2} + mathrm {d} y ^ {2}}} = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1 + y '^ {2}}} , mathrm {d} x,}$

funkce integrand L(X, y, y′) = √1 + y′ ² .

Dílčí deriváty L jsou:

${ displaystyle { frac { částečné L (x, y, y ')} { částečné y'}} = { frac {y '} { sqrt {1 + y' ^ {2}}}}} quad { text {and}} quad { frac { částečné L (x, y, y ')} { částečné y}} = 0.}$

Jejich dosazením do Euler-Lagrangeovy rovnice získáme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac {y '(x)} { sqrt {1+ (y' (x) ) ^ {2}}}} & = 0 { frac {y '(x)} { sqrt {1+ (y' (x)) ^ {2}}}} & = C = { text {constant}} Rightarrow y '(x) & = { frac {C} { sqrt {1-C ^ {2}}}}: = A Rightarrow y (x) & = Ax + B end {zarovnáno}}}$

tj. funkce musí mít konstantní první derivaci, a tedy její graf je přímka.

Zobecnění

Jednotlivá funkce jedné proměnné s vyššími derivacemi

Stacionární hodnoty funkčního

${ displaystyle I [f] = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { mathcal {L}} (x, f, f ', f' ', tečky, f ^ {( k)}) ~ mathrm {d} x ~; ~~ f ': = { cfrac { mathrm {d} f} { mathrm {d} x}}, ~ f' ': = { cfrac { mathrm {d} ^ {2} f} { mathrm {d} x ^ {2}}}, ~ f ^ {(k)}: = { cfrac { mathrm {d} ^ {k} f} { mathrm {d} x ^ {k}}}}$

lze získat z Euler-Lagrangeovy rovnice^[4]

${ displaystyle { cfrac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f}} - { cfrac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} vlevo ({ cfrac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f '}} pravé) + { cfrac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} vlevo ({ cfrac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f ''}} pravé) - dots + (- 1) ^ {k} { cfrac { mathrm {d} ^ {k }} { mathrm {d} x ^ {k}}} vlevo ({ cfrac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f ^ {(k)}}} vpravo) = 0}$

za pevných okrajových podmínek pro samotnou funkci i pro první ${ displaystyle k-1}$ deriváty (tj. pro všechny ${ displaystyle f ^ {(i)}, i in {0, ..., k-1 }}$). Hodnoty koncového bodu nejvyšší derivace ${ displaystyle f ^ {(k)}}$ zůstat flexibilní.

Několik funkcí jedné proměnné s jedinou derivací

Pokud problém zahrnuje nalezení několika funkcí (${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, tečky, f_ {m}}$) jedné nezávislé proměnné (${ displaystyle x}$), které definují extrém funkčnosti

${ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}] = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { mathcal {L}} (x, f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}, f_ {1} ', f_ {2}', dots, f_ {m} ') ~ mathrm {d} x ~; ~~ f_ {i} ': = { cfrac { mathrm {d} f_ {i}} { mathrm {d} x}}}$

pak jsou odpovídající Euler-Lagrangeovy rovnice^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {i}}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x }} left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {i} '}} doprava) = 0 end {zarovnáno}}}$

Jedna funkce několika proměnných s jedinou derivací

Vícedimenzionální zobecnění pochází z uvažování o funkci na n proměnných. Li ${ displaystyle Omega}$ je tedy nějaký povrch

${ displaystyle I [f] = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, dots, x_ {n}, f, f_ {1}, dots, f_ {n} ) , mathrm {d} mathbf {x} , ! ~; ~~ f_ {j}: = { cfrac { parciální f} { parciální x_ {j}}}}$

je extremizován, pouze pokud F uspokojuje parciální diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f}} - součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné} { částečné x_ {j} }} left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {j}}} right) = 0.}$

Když n = 2 a funkční ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je energie funkční, což vede k mýdlovému filmu minimální povrch problém.

Několik funkcí několika proměnných s jedinou derivací

Pokud existuje několik neznámých funkcí, které mají být určeny, a několik proměnných, jako je to

${ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}] = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, dots, x_ {n }, f_ {1}, dots, f_ {m}, f_ {1,1}, dots, f_ {1, n}, dots, f_ {m, 1}, dots, f_ {m, n }) , mathrm {d} mathbf {x} , ! ~; ~~ f_ {i, j}: = { cfrac { parciální f_ {i}} { parciální x_ {j}}} }$

systém Euler-Lagrangeových rovnic je^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný f_ {1}}} - součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {1, j}}} pravé) & = 0_ {1} { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {2}}} - součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné} { částečné x_ {j} }} left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {2, j}}} right) & = 0_ {2} vdots qquad vdots qquad & quad vdots { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {m}}} - součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {m, j}}} pravé) & = 0_ {m}. end {zarovnáno }}}$

Jedna funkce dvou proměnných s vyššími derivacemi

Pokud existuje jediná neznámá funkce F bude určeno, že závisí na dvou proměnných X₁ a X₂ a jestli funkčnost závisí na vyšších derivátech F až do n- aby takový

${ displaystyle { begin {aligned} I [f] & = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, f, f_ {1}, f_ {2 }, f_ {11}, f_ {12}, f_ {22}, dots, f_ {22 dots 2}) , mathrm {d} mathbf {x} & qquad quad f_ {i }: = { cfrac { částečné f} { částečné x_ {i}}} ;, quad f_ {ij}: = { cfrac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} ;, ; ; tečky konec {zarovnáno}}}$

pak je Euler-Lagrangeova rovnice^[4]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f}} & - { frac { částečné} { částečné x_ {1}}} vlevo ( { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {1}}} pravé) - { frac { částečné} { částečné x_ {2}}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {2}}} pravé) + { frac { částečné ^ {2}} { částečné x_ {1} ^ {2}}} levé ( { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {11}}} pravé) + { frac { částečné ^ {2}} { částečné x_ {1} částečné x_ {2 }}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {12}}} pravé) + { frac { částečné ^ {2}} { částečné x_ {2 } ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {22}}} pravé) & - dots + (- 1) ^ {n } { frac { částečné ^ {n}} { částečné x_ {2} ^ {n}}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {22 tečky 2}}} vpravo) = 0 konec {zarovnáno}}}$

které lze krátce reprezentovat jako:

${ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f}} + součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} { frac { částečné ^ {j}} { částečné x _ { mu _ {1}} dots částečné x _ { mu _ { j}}}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f _ { mu _ {1} dots mu _ {j}}}} vpravo) = 0}$

kde ${ displaystyle mu _ {1} tečky mu _ {j}}$ jsou indexy, které pokrývají počet proměnných, to znamená, že zde jdou od 1 do 2. Zde součet přes ${ displaystyle mu _ {1} tečky mu _ {j}}$ indexy jsou jen u konce ${ displaystyle mu _ {1} leq mu _ {2} leq ldots leq mu _ {j}}$ aby se například zabránilo počítání stejné parciální derivace vícekrát ${ displaystyle f_ {12} = f_ {21}}$ se v předchozí rovnici objeví pouze jednou.

Několik funkcí několika proměnných s vyššími derivacemi

Pokud existují p neznámé funkce F_i je třeba určit, které jsou závislé na m proměnné X₁ ... X_m a jestli funkčnost závisí na vyšších derivátech F_i až do n- takový řád

${ displaystyle { begin {seřazeno} I [f_ {1}, ldots, f_ {p}] & = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, ldots, x_ {m}; f_ {1}, ldots, f_ {p}; f_ {1,1}, ldots, f_ {p, m}; f_ {1,11}, ldots, f_ {p, mm} ; ldots; f_ {p, 1 ldots 1}, ldots, f_ {p, m ldots m}) , mathrm {d} mathbf {x} & qquad quad f_ {i, mu}: = { cfrac { částečné f_ {i}} { částečné x _ { mu}}} ;, quad f_ {i, mu _ {1} mu _ {2}}: = { cfrac { částečné ^ {2} f_ {i}} { částečné x _ { mu _ {1}} částečné x _ { mu _ {2}}}} ;, ; ; tečky konec {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mu _ {1} tečky mu _ {j}}$ jsou indexy, které pokrývají počet proměnných, to znamená, že jdou od 1 do m. Pak je Euler-Lagrangeova rovnice

${ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {i}}} + součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} { frac { částečné ^ {j}} { částečné x _ { mu _ {1}} tečky částečné x _ { mu _ {j}}}} left ({ frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný f_ {i, mu _ {1} dots mu _ {j}}}} vpravo) = 0}$

kde součet nad ${ displaystyle mu _ {1} tečky mu _ {j}}$ vyhýbá se počítání stejné derivace ${ displaystyle f_ {i, mu _ {1} mu _ {2}} = f_ {i, mu _ {2} mu _ {1}}}$ několikrát, stejně jako v předchozím pododdíle. To lze vyjádřit kompaktněji jako

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} částečné _ { mu _ {1} ldots mu _ {j}} ^ {j} left ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné f_ {i, mu _ {1} tečky mu _ {j}}}} vpravo) = 0}$

Zobecnění na různá potrubí

Nechat ${ displaystyle M}$ být hladké potrubí a nechte ${ displaystyle C ^ { infty} ([a, b])}$ označit prostor plynulé funkce ${ displaystyle f: [a, b] až M}$. Pak pro funkcionáře ${ displaystyle S: C ^ { infty} ([a, b]) to mathbb {R}}$ formuláře

${ displaystyle S [f] = int _ {a} ^ {b} (L circ { dot {f}}) (t) , mathrm {d} t}$

kde ${ displaystyle L: TM to mathbb {R}}$ je Lagrangian, prohlášení ${ displaystyle mathrm {d} S_ {f} = 0}$ je ekvivalentní tvrzení, že pro všechny ${ displaystyle t v [a, b]}$, každý souřadnicový rámec bagatelizace ${ displaystyle (x ^ {i}, X ^ {i})}$ sousedství ${ displaystyle { dot {f}} (t)}$ poskytuje následující ${ displaystyle dim M}$ rovnice:

${ displaystyle forall i: { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { frac { částečné L} { částečné X ^ {i}}} { bigg |} _ {{ dot {f}} (t)} = { frac { částečné L} { částečné x ^ {i}}} { bigg |} _ {{ dot {f}} (t)}. }$

Viz také

• Lagrangian mechanika
• Hamiltoniánská mechanika
• Analytická mechanika
• Beltrami identita
• Funkční derivace

Poznámky

Reference

• „Lagrangeovy rovnice (v mechanice)“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Euler-Lagrangeova diferenciální rovnice“. MathWorld.
• „Variační počet“. PlanetMath.
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Variační počet. Doveru. ISBN  0-486-41448-5.
• Roubicek, T .: Variační počet. Kap.17 v: Matematické nástroje pro fyziky. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN  978-3-527-41188-7, str. 551-588.