Relativní rychlost - Relative velocity

Část série na
Klasická mechanika
${displaystyle {extbf {F}} = {frac {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangeovy mechaniky Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamiltonova-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

The relativní rychlost ${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A}}$ (taky ${displaystyle {vec {v}} _ {BA}}$ nebo ${displaystyle {vec {v}} _ {Boperatorname {rel} A}}$) je rychlost objektu nebo pozorovatele B v klidovém rámci jiného objektu nebo pozorovatele A.

Klasická mechanika

V jedné dimenzi (nerelativistické)

Relativní pohyb člověka ve vlaku

Začínáme s relativním pohybem v klasický, (neborelativistické, nebo Newtonovská aproximace ), že všechny rychlosti jsou mnohem menší než rychlost světla. Tento limit je spojen s Galileova transformace. Na obrázku je muž na vlaku na zadní hraně. V 13:00 začíná kráčet vpřed rychlostí chůze 10 km / h (kilometry za hodinu). Vlak jede rychlostí 40 km / h. Na obrázku je znázorněn muž a vlak ve dvou různých časech: nejprve, když cesta začala, a také o hodinu později ve 14:00. Obrázek naznačuje, že muž je po jedné hodině cesty (chůzí a vlakem) 50 km od výchozího bodu. To je podle definice 50 km / h, což naznačuje, že předpisem pro výpočet relativní rychlosti tímto způsobem je přidání těchto dvou rychlostí.

Obrázek zobrazuje hodiny a pravítka, která čtenáři připomínají, že zatímco logika tohoto výpočtu se zdá být bezchybná, vytváří falešné předpoklady o tom, jak se hodiny a pravítka chovají. (Vidět Myšlenkový experiment vlak-platforma.) Aby to poznal klasický model relativního pohybu porušuje speciální relativita, zobecníme příklad na rovnici:

${displaystyle underbrace {{vec {v}} _ {Mmid E}} _ {ext {50 km / h}} = underbrace {{vec {v}} _ {Mmid T}} _ {ext {10 km / h} } + spodní výztuha {{vec {v}} _ {Tmid E}} _ {ext {40 km / h}},}$

kde:

${displaystyle {vec {v}} _ {Mmid E}}$ je rychlost Mpříbuzný k Eart,

${displaystyle {vec {v}} _ {Mmid T}}$ je rychlost Mpříbuzný s Tdéšť,

${displaystyle {vec {v}} _ {Tmid E}}$ je rychlost Tve srovnání s deštěm Eart.

Plně legitimní výrazy pro „rychlost A vzhledem k B“ zahrnují „rychlost A vzhledem k B“ a „rychlost A v souřadnicovém systému, kde B je vždy v klidu“. The porušení speciální relativity nastává proto, že tato rovnice relativní rychlosti falešně předpovídá, že různí pozorovatelé budou měřit různé rychlosti při pozorování pohybu světla. ^{[poznámka 1]}

Ve dvou dimenzích (nerelativistické)

Relativní rychlosti mezi dvěma částicemi v klasické mechanice

Obrázek ukazuje dva objekty A a B pohybující se konstantní rychlostí. Pohybové rovnice jsou:

${displaystyle {vec {r}} _ {A} = {vec {r}} _ {Ai} + {vec {v}} _ {A} t,}$

${displaystyle {vec {r}} _ {B} = {vec {r}} _ {Bi} + {vec {v}} _ {B} t,}$

kde dolní index i odkazuje na počáteční posunutí (v čase t rovná nule). Rozdíl mezi dvěma vektory posunutí, ${displaystyle {vec {r}} _ {B} - {vec {r}} _ {A}}$, představuje umístění B, jak je patrné z A.

${displaystyle {vec {r}} _ {B} - {vec {r}} _ {A} = underbrace {{vec {r}} _ {Bi} - {vec {r}} _ {Ai}} _ { ext {počáteční oddělení}} + podtržítko {({vec {v}} _ {B} - {vec {v}} _ {A}) t} _ {ext {relativní rychlost}}.}$

Proto:

${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A} = {vec {v}} _ {B} - {vec {v}} _ {A}.}$

Po provedení střídání ${displaystyle {vec {v}} _ {A | C} = {vec {v}} _ {A}}$ a ${displaystyle {vec {v}} _ {B | C} = {vec {v}} _ {B}}$, my máme:

${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid A} = {vec {v}} _ {Bmid C} - {vec {v}} _ {Uprostřed C} Rightarrow}$   ${displaystyle {vec {v}} _ {Bmid C} = {vec {v}} _ {Bmid A} + {vec {v}} _ {Uprostřed C}.}$

Galileova transformace (nerelativistická)

Abychom vytvořili teorii relativního pohybu v souladu s teorií speciální relativity, musíme přijmout jinou konvenci. Pokračování práce v (nerelativistické) Newtonovský limit začneme s Galileova transformace v jedné dimenzi:^{[poznámka 2]}

${displaystyle x '= x-vt}$

${displaystyle t '= t}$

kde x 'je poloha, jak ji vidí referenční snímek, který se pohybuje rychlostí, v, v „základním“ (x) referenčním rámci.^{[Poznámka 3]} Vezmeme-li diferenciál první ze dvou výše uvedených rovnic, máme, ${displaystyle dx '= dx-v, dt}$, a co se může zdát zřejmé^{[poznámka 4]} prohlášení, že ${displaystyle dt '= dt}$, my máme:

${displaystyle {frac {dx '} {dt'}} = {frac {dx} {dt}} - v}$

Abychom získali předchozí výrazy pro relativní rychlost, předpokládáme tuto částici A sleduje cestu definovanou dx / dt v neupraveném odkazu (a tedy dx′/dt′ V základním rámu). Tím pádem ${displaystyle dx / dt = v_ {Uprostřed O}}$ a ${displaystyle dx '/ dt = v_ {Uprostřed O'}}$, kde ${displaystyle O}$ a ${displaystyle O '}$ odkazovat na pohyb A jak je vidět pozorovatelem v základním a základním rámu. Odvolej to proti je pohyb stacionárního objektu v aktivovaném rámci, jak je patrné z nenaplněného rámce. Tak to máme ${displaystyle v = v_ {O'mid O}}$, a:

${displaystyle v_ {Amid O '} = v_ {Amid O} -v_ {O'mid O} Rightarrow v_ {Amid O} = v_ {Amid O'} + v_ {O'mid O},}$

kde druhá forma má požadovanou (snadno naučitelnou) symetrii.

Speciální relativita

Stejně jako v klasické mechanice i ve speciální relativitě relativní rychlost ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ je rychlost objektu nebo pozorovatele B v klidovém rámci jiného objektu nebo pozorovatele A. Na rozdíl od klasické mechaniky je to však ve speciální relativitě obecně ne v tomto případě

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = - {vec {v}} _ {mathrm {A | B}}}$

Tento zvláštní nedostatek symetrie souvisí Thomasova precese a skutečnost, že dva po sobě Lorentzovy transformace otočit souřadný systém. Tato rotace nemá žádný vliv na velikost vektoru, a tedy ani na relativní Rychlost je symetrický.

${displaystyle | {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} | = | {vec {v}} _ {mathrm {A | B}} | = v_ {mathrm {B | A}} = v_ { mathrm {A | B}}}$

Paralelní rychlosti

V případě, že dva objekty cestují v paralelních směrech, je relativistický vzorec pro relativní rychlost podobný formě jako vzorec pro přidání relativistických rychlostí.

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {{vec {v}} _ {mathrm {B}} - {vec {v}} _ {mathrm {A}}} { 1- {frac {{vec {v}} _ {mathrm {A}} {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}$

Příbuzný Rychlost je dáno vzorcem:

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {frac {left | v_ {mathrm {B}} -v_ {mathrm {A}} ight |} {1- {frac {v_ {mathrm {A}} v_ { mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}$

Kolmé rychlosti

V případě, že dva objekty cestují v kolmých směrech, relativistická relativní rychlost ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ je dáno vzorcem:

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {{vec {v}} _ {mathrm {B}}} {gamma _ {mathrm {A}}}} - {vec { v}} _ {mathrm {A}}}$

kde

${displaystyle gamma _ {mathrm {A}} = {frac {1} {sqrt {1 - ({frac {v_ {mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}$

Relativní rychlost je dána vzorcem

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {frac {sqrt {c ^ {4} - (c ^ {2} -v_ {mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v_ {mathrm {B}} ^ {2})}} {c}}}$

Obecný případ

Obecný vzorec pro relativní rychlost ${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}}}$ objektu nebo pozorovatele B v klidovém rámci jiného objektu nebo pozorovatele A je dáno vzorcem:^[1]

${displaystyle {vec {v}} _ {mathrm {B | A}} = {frac {1} {gamma _ {mathrm {A}} vlevo (1- {frac {{vec {v}} _ {mathrm {A }} {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {c ^ {2}}} ight)}} vlevo [{vec {v}} _ {mathrm {B}} - {vec {v}} _ {mathrm {A}} + {vec {v}} _ {mathrm {A}} (gamma _ {mathrm {A}} -1) vlevo ({frac {{vec {v}} _ {mathrm {A} } cdot {vec {v}} _ {mathrm {B}}} {v_ {mathrm {A}} ^ {2}}} - 1ight) ight]}$

kde

${displaystyle gamma _ {mathrm {A}} = {frac {1} {sqrt {1 - ({frac {v_ {mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}$

Relativní rychlost je dána vzorcem

${displaystyle v_ {mathrm {B | A}} = {sqrt {1- {frac {(c ^ {2} -v_ {mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v_ {mathrm { B}} ^ {2})} {(c ^ {2} - {vec {v}} _ {mathrm {A}} cdot {vec {v}} _ {mathrm {B}}) ^ {2}} }}} cdot c}$

Viz také

• Dopplerův jev
• Neeuklidovská geometrie # Kinematické geometrie
• Zvláštní rychlost
• Správný pohyb
• Radiální rychlost
• Relativistická rychlost
• Vesmírná rychlost (astronomie)

Poznámky k relativní rychlosti

Reference

Další čtení

• Alonso & Finn, Fundamental University Physics ISBN  0-201-56518-8
• Greenwood, Donald T, Principy dynamiky.
• Goodman a Warner, Dynamika.
• Pivo a Johnston, statika a dynamika.
• McGraw Hill slovník fyziky a matematiky.
• Rindler, W., Esenciální relativita.
• KHURMI R.S., Mechanika, Inženýrská mechanika, Statika, Dynamika

externí odkazy

• Relativní pohyb ve společnosti HyperPhysics
• Java applet ilustrující relativní rychlost, Andrew Duffy
• Relatív mozgás (1) ... (3) Relativní pohyb dvou vlaků (1) ... (3). Videa na portálu FizKapu. (v maďarštině)
• Sebességek összegzése Relativní klid pstruhů v potoce. Video na portálu FizKapu. (v maďarštině)