Generující funkce (fyzika) - Generating function (physics)

Ve fyzice a konkrétněji v Hamiltoniánská mechanika, a generující funkce je volně funkce, jejíž parciální derivace generují diferenciální rovnice, které určují dynamiku systému. Běžnými příklady jsou funkce oddílu statistické mechaniky, hamiltoniánu a funkce, která funguje jako most mezi dvěma sadami kanonických proměnných při provádění kanonická transformace.

V kanonických transformacích

Existují čtyři základní funkce generování, shrnuté v následující tabulce:

Generující funkce	Jeho deriváty
${displaystyle F = F_ {1} (q, Q, t) ,!}$	${displaystyle p = ~~ {frac {částečné F_ {1}} {částečné q}} ,!}$ a ${displaystyle P = - {frac {částečné F_ {1}} {částečné Q}} ,!}$
${displaystyle F = F_ {2} (q, P, t) = F_ {1} + QP ,!}$	${displaystyle p = ~~ {frac {částečné F_ {2}} {částečné q}} ,!}$ a ${displaystyle Q = ~~ {frac {částečné F_ {2}} {částečné P}} ,!}$
${displaystyle F = F_ {3} (p, Q, t) = F_ {1} -qp ,!}$	${displaystyle q = - {frac {částečné F_ {3}} {částečné p}} ,!}$ a ${displaystyle P = - {frac {částečné F_ {3}} {částečné Q}} ,!}$
${displaystyle F = F_ {4} (p, P, t) = F_ {1} -qp + QP ,!}$	${displaystyle q = - {frac {částečné F_ {4}} {částečné p}} ,!}$ a ${displaystyle Q = ~~ {frac {částečné F_ {4}} {částečné P}} ,!}$

Příklad

Daný Hamiltonian se někdy může změnit na ten, který vypadá jako harmonický oscilátor Hamiltonian, což je

${displaystyle H = aP ^ {2} + bQ ^ {2}.}$

Například s Hamiltonianem

${displaystyle H = {frac {1} {2q ^ {2}}} + {frac {p ^ {2} q ^ {4}} {2}},}$

kde str je zobecněná hybnost a q je zobecněná souřadnice, dobrá kanonická transformace, kterou si vybereme, by byla

${displaystyle P = pq ^ {2} {ext {and}} Q = {frac {-1} {q}}.,}$

(1)

Tím se Hamiltonian změní

${displaystyle H = {frac {Q ^ {2}} {2}} + {frac {P ^ {2}} {2}},}$

který je ve formě harmonického oscilátoru Hamiltonian.

Generující funkce F protože tato transformace je třetího druhu,

${displaystyle F = F_ {3} (p, Q).}$

Najít F explicitně použijte rovnici pro její derivaci z výše uvedené tabulky,

${displaystyle P = - {frac {částečné F_ {3}} {částečné Q}},}$

a dosaďte výraz za P z rovnice (1), vyjádřeno jako str a Q:

${displaystyle {frac {p} {Q ^ {2}}} = - {frac {částečné F_ {3}} {částečné Q}}}$

Integrace s ohledem na Q má za následek rovnici pro generující funkci transformace dané rovnicí (1):

${displaystyle F_ {3} (p, Q) = {frac {p} {Q}}}$

Chcete-li potvrdit, že se jedná o správnou generující funkci, ověřte, zda odpovídá (1):

${displaystyle q = - {frac {částečné F_ {3}} {částečné p}} = {frac {-1} {Q}}}$

Viz také

• Hamilton-Jacobiho rovnice
• Poissonova závorka

Reference

• Goldstein, Herbert (2002). Klasická mechanika. Addison Wesley. ISBN  978-0-201-65702-9.