Eulersovy rovnice (dynamika tuhého těla) - Eulers equations (rigid body dynamics) - Wikipedia

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Poměr tlumení Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v klasická mechanika, Eulerovy rotační rovnice jsou vektorový kvazilineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu popisující rotaci a tuhé tělo, používat otočný referenční rám s osami připevněnými k tělu a rovnoběžně s tělem hlavní osy setrvačnosti. Jejich obecná forma je:

${ displaystyle mathbf {I} { dot { boldsymbol { omega}}} + { boldsymbol { omega}} times left ( mathbf {I} { boldsymbol { omega}} vpravo) = mathbf {M}.}$

kde M je aplikován momenty, Já je setrvačná matice a ω je úhlová rychlost o hlavních osách.

V trojrozměrném principálu ortogonální souřadnice, stali se:

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} { dot { omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) omega _ {2} omega _ {3} & = M_ {1} I_ {2} { dot { omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) omega _ {3} omega _ {1} & = M_ {2} I_ {3} { dot { omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) omega _ {1} omega _ {2} & = M_ {3 } end {zarovnáno}}}$

kde M_k jsou komponenty aplikovaných momentů, Já_k jsou hlavní momenty setrvačnosti a ω_k jsou složky úhlové rychlosti kolem hlavních os.

Motivace a derivace

Začínající od Newtonův druhý zákon, v setrvačný referenční rámec (přihlášený "in"), časová derivace z moment hybnosti L rovná se použitému točivý moment

${ displaystyle { frac {d mathbf {L} _ { text {in}}} {dt}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {d} {dt }} left ( mathbf {I} _ { text {in}} { boldsymbol { omega}} right) = mathbf {M} _ { text {in}}}$

kde Já_v je moment setrvačnosti tenzor vypočteno v setrvačném rámci. Ačkoli je tento zákon všeobecně platný, není vždy užitečné při řešení pohybu obecného rotujícího tuhého tělesa, protože oba Já_v a ω se může během pohybu měnit.

Proto přejdeme na souřadnicový rám upevněný v rotujícím těle a zvolený tak, aby jeho osy byly zarovnány s hlavními osami moment setrvačnosti tenzor. V tomto rámci je alespoň moment setrvačnosti konstantní (a úhlopříčný), což zjednodušuje výpočty. Jak je popsáno v moment setrvačnosti, moment hybnosti L lze psát

${ displaystyle mathbf {L} { stackrel { mathrm {def}} {=}} L_ {1} mathbf {e} _ {1} + L_ {2} mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} mathbf {e} _ {3} = I_ {1} omega _ {1} mathbf {e} _ {1} + I_ {2} omega _ {2} mathbf {e } _ {2} + I_ {3} omega _ {3} mathbf {e} _ {3}}$

kde M_k, Já_k a ω_k jsou jako výše.

V rotující referenční rámec, musí být časová derivace nahrazena (viz časová derivace v rotujícím referenčním rámci )

${ displaystyle left ({ frac {d mathbf {L}} {dt}} doprava) _ { mathrm {rot}} + { boldsymbol { omega}} times mathbf {L} = mathbf {M}}$

kde dolní index „rot“ označuje, že je zachycen v rotujícím referenčním rámci. Výrazy pro krouticí moment v rotujícím a setrvačném rámci souvisí s

${ displaystyle mathbf {M} _ { text {in}} = mathbf {Q} mathbf {M},}$

kde Q je tenzor rotace (ne rotační matice ), an ortogonální tenzor související s vektorem úhlové rychlosti pomocí

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {v}} = { dot { mathbf {Q}}} mathbf {Q} ^ {- 1} { boldsymbol {v}}}$

pro libovolný vektor proti.

Obecně, L = Iω je substituován a jsou odvozeny časové derivace s vědomím, že tenzor setrvačnosti, a tedy také hlavní momenty, nezávisí na čase. To vede k obecné vektorové formě Eulerových rovnic

${ displaystyle mathbf {I} { dot { boldsymbol { omega}}} + { boldsymbol { omega}} times left ( mathbf {I} { boldsymbol { omega}} vpravo) = mathbf {M}.}$

Pokud rotace hlavní osy

${ displaystyle L_ {k} { stackrel { mathrm {def}} {=}} I_ {k} omega _ {k}}$

se nahradí a poté se vezme křížový produkt a s využitím skutečnosti, že se hlavní momenty nemění s časem, jsme dospěli k Eulerovým rovnicím v komponentách na začátku článku.

Řešení bez točivého momentu

Pro RHS rovné nule existují netriviální řešení: bez točivého momentu precese. Všimněte si, že od té doby Já je konstantní (protože tenzor setrvačnosti je 3 × 3 diagonální matice (viz předchozí část), protože pracujeme ve vnitřním rámu nebo proto, že točivý moment řídí rotaci kolem stejné osy ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ aby Já se nemění), pak můžeme psát

${ displaystyle mathbf {M} { stackrel { mathrm {def}} {=}} I { frac {d omega} {dt}} mathbf { hat {n}} = já alfa , mathbf { hat {n}}}$

kde

α se nazývá úhlové zrychlení (nebo rotační zrychlení) kolem osy otáčení ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$.

Pokud však Já není ve vnějším referenčním rámci konstantní (tj. těleso se pohybuje a jeho tenzor setrvačnosti není neustále diagonální), pak nemůžeme vzít Já mimo derivát. V tomto případě budeme mít precese bez točivého momentu, takovým způsobem, že Já(t) a ω(t) se mění společně tak, aby jejich derivace byla nulová. Tento pohyb lze vizualizovat pomocí Poinsotova konstrukce.

Zobecnění

Je také možné použít tyto rovnice, pokud osy, ve kterých

${ displaystyle left ({ frac {d mathbf {L}} {dt}} doprava) _ { mathrm {relativní}}}$

je popsáno, nejsou spojeny s tělem. Pak ω by měla být nahrazena rotací os namísto rotace těla. Je však stále nutné, aby vybrané osy byly stále hlavními osami setrvačnosti. Tato forma Eulerových rovnic je užitečná pro rotačně symetrické objekty, které umožňují libovolný výběr některých hlavních os rotace.

Viz také

• Eulerovy úhly
• Džanibekov efekt
• Moment setrvačnosti
• Poinsotova konstrukce
• Tuhý rotor

Reference

• C. A. Truesdell, III (1991) První kurz v mechanice racionálního kontinua. Sv. 1: Obecné koncepty, 2. vyd., Academic Press. ISBN  0-12-701300-8. Sekty. I.8-10.
• C. A. Truesdell, III a R. A. Toupin (1960) Klasické polní teorieFlügge (vyd.) Encyklopedie fyziky. Sv. III / 1: Principy klasické mechaniky a teorie pole, Springer-Verlag. Sekty. 166–168, 196–197 a 294.
• Landau L.D. a Lifshitz E.M. (1976) Mechanika, 3. místo. vyd., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (vázaná kniha) a ISBN  0-08-029141-4 (měkká vazba).
• Goldstein H. (1980) Klasická mechanika, 2. vyd., Addison-Wesley. ISBN  0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanika, 3. místo. vyd., Addison-Wesley. ISBN  0-201-07392-7