Vibrace - Vibration

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

Vibrace je mechanický jev, kterým oscilace nastat o rovnovážný bod. Slovo pochází z latiny vibrace („třesení, mávání“). Oscilace mohou být periodicky, jako je pohyb kyvadla - nebo náhodný, jako je pohyb pneumatiky na štěrkové cestě.

Může být žádoucí vibrace: například pohyb a ladička, rákos v dechový nástroj nebo Harmonika, a mobilní telefon, nebo kužel a reproduktor.

V mnoha případech je však vibrace nežádoucí a zbytečná energie a vytváření nechtěných zvuk. Například vibrační pohyby motory, elektromotory, nebo nějaký mechanické zařízení v provozu jsou obvykle nežádoucí. Takové vibrace mohou být způsobeny nerovnováha v rotujících částech nerovnoměrné tření, nebo záběru Ozubené kolo zuby. Pečlivé návrhy obvykle minimalizují nežádoucí vibrace.

Studie zvuku a vibrací spolu úzce souvisejí. Zvuk nebo tlak vlny, jsou generovány vibrujícími strukturami (např. hlasivky ); tyto tlakové vlny mohou také vyvolat vibrace struktur (např. ušní buben ). Pokusy o snížení hluku proto často souvisejí s problémy s vibracemi.

Jeden z možných režimů vibrace kruhového bubnu (vidět ostatní režimy ).

Odpružení automobilu: navrhování řízení vibrací se provádí jako součást akustický, automobilový průmysl nebo mechanické inženýrství.

Druhy vibrací

Vibrace zdarma nastane, když se mechanický systém uvede do pohybu s počátečním vstupem a nechá se volně vibrovat. Příkladem tohoto typu vibrací je přitažení dítěte zpět na houpačku a jeho uvolnění nebo náraz na ladičku a jeho vyzvánění. Mechanický systém vibruje na jedné nebo více z nich vlastní frekvence a dampy až do nehybnosti.

Nucené vibrace je, když je na mechanický systém aplikováno časově proměnné narušení (zatížení, posunutí nebo rychlost). Poruchou může být periodický a ustálený vstup, přechodný vstup nebo náhodný vstup. Periodickým vstupem může být harmonické nebo neharmonické rušení. Mezi příklady těchto typů vibrací patří otřesy pračky v důsledku nerovnováhy, dopravní vibrace způsobené motorem nebo nerovnou vozovkou nebo vibrace budovy během zemětřesení. U lineárních systémů se frekvence ustálené vibrační odezvy vyplývající z aplikace periodického harmonického vstupu rovná frekvenci aplikované síly nebo pohybu, přičemž velikost odezvy závisí na skutečném mechanickém systému.

Tlumené vibrace: Když se energie vibračního systému postupně rozptýlí třením a jinými odpory, říká se, že vibrace jsou utlumeny. Vibrace se postupně snižují nebo mění frekvence nebo intenzita nebo ustávají a systém spočívá ve své rovnovážné poloze. Příkladem tohoto typu vibrací je odpružení vozidla tlumené tlumič.

Vibrační zkoušky

Vibrační testování se provádí zavedením vynucovací funkce do struktury, obvykle pomocí nějakého typu třepačky. Alternativně je DUT (testované zařízení) připojeno k „stolu“ třepačky. Vibrační testování se provádí za účelem zkoumání odezvy testovaného zařízení (DUT) na definované vibrační prostředí. Měřenou odezvou může být schopnost fungovat ve vibračním prostředí, únavová životnost, rezonanční frekvence nebo pískavý a chrastivý zvukový výstup (NVH ). Testování pískání a chrastění se provádí speciálním typem tichá třepačka který během provozu produkuje velmi nízké hladiny zvuku.

Pro nucení s relativně nízkou frekvencí (obvykle méně než 100 Hz) se používají servohydraulické (elektrohydraulické) třepačky. Pro vyšší frekvence (obvykle 5 Hz až 2 000 Hz) se používají elektrodynamické třepačky. Obecně je jeden nebo více „vstupních“ nebo „řídicích“ bodů umístěných na straně DUT vibračního přípravku udržováno na specifikovaném zrychlení.^[1] Jiné body „odezvy“ mohou zaznamenat vyšší úrovně vibrací (rezonance) nebo nižší hladinu vibrací (antirezonance nebo tlumení) než kontrolní body. Často je žádoucí dosáhnout antirezonance, aby se zabránilo přílišnému hluku systému nebo aby se snížilo namáhání určitých částí v důsledku vibračních režimů způsobených specifickými frekvencemi vibrací.^[2]

Nejběžnější typy služeb testování vibrací prováděných laboratořemi pro testování vibrací jsou sinusové a náhodné. Sine (one-frequency-at-a-time) testy jsou prováděny za účelem průzkumu strukturní odezvy testovaného zařízení (DUT). Během rané historie testování vibrací byly ovladače vibračních strojů omezeny pouze na ovládání sinusového pohybu, takže bylo provedeno pouze sinusové testování. Později byly sofistikovanější analogové a poté digitální ovladače schopny zajistit náhodné řízení (všechny frekvence najednou). Náhodný test (všechny frekvence najednou) se obecně považuje za podrobnější replikaci prostředí skutečného světa, jako jsou vstupy silnic do jedoucího automobilu.

Většina vibračních zkoušek se provádí v „jedné ose DUT“ najednou, i když většina vibrací v reálném světě se vyskytuje v různých osách současně. MIL-STD-810G, vydaná na konci roku 2008, Testovací metoda 527, vyžaduje testování více budičů. The vibrační zkušební přípravek^[3] použité k připojení DUT k třepacímu stolu musí být navrženo pro frekvenční rozsah spektra vibračních zkoušek. Je obtížné navrhnout přípravek pro vibrační zkoušky, který duplikuje dynamickou odezvu (mechanická impedance)^[4] skutečného používání v provozu. Z tohoto důvodu, aby byla zajištěna opakovatelnost mezi vibračními testy, jsou vibrační přípravky navrženy tak, aby nebyly rezonanční^[4] v testovacím frekvenčním rozsahu. Obecně platí, že pro menší svítidla a nižší frekvenční rozsahy může návrhář cílit na design svítidla, který je bez rezonancí v testovacím frekvenčním rozsahu. To se stává obtížnějším, jak se DUT zvětšuje a jak se zvyšuje testovací frekvence. V těchto případech mohou vícebodové kontrolní strategie zmírnit některé rezonance, které se mohou v budoucnu vyskytnout.

Některé metody vibračních zkoušek omezují množství přeslechů (pohyb bodu odezvy ve vzájemně kolmém směru na zkoušenou osu), které je povoleno vystavovat zařízení pro vibrační zkoušky. Zařízení speciálně navržená ke sledování nebo zaznamenávání vibrací se nazývají vibroskopy.

Vibrační analýza

Vibrační analýza (VA) používaná v průmyslovém nebo údržbářském prostředí má za cíl snížit náklady na údržbu a prostoje zařízení detekcí poruch zařízení.^[5][6] VA je klíčovou součástí a monitorování stavu (CM) program, a je často označován jako prediktivní údržba (PdM).^[7] Nejčastěji se VA používá k detekci poruch v rotujících zařízeních (ventilátory, motory, čerpadla a převodovky atd.), Jako je nevyváženost, vychýlení, poruchy valivých ložisek a rezonanční podmínky.

VA může používat jednotky posunutí, rychlosti a zrychlení zobrazené jako a časový průběh (TWF), ale nejčastěji se používá spektrum, odvozené od a rychlá Fourierova transformace TWF. Vibrační spektrum poskytuje důležité informace o frekvenci, které mohou určit vadnou součást.

Základy vibrační analýzy lze pochopit prostým studiem Tlumič masové pružiny Modelka. Dokonce i tak složitou strukturu, jako je karoserie automobilu, lze modelovat jako „součet“ jednoduchých modelů hmotnost - pružina - tlumič. Model hmota – pružina – tlumič je příkladem a jednoduchý harmonický oscilátor. Matematika použitá k popisu jeho chování je identická s jinými jednoduchými harmonickými oscilátory, jako je například RLC obvod.

Poznámka: Tento článek neobsahuje podrobné matematické derivace, ale zaměřuje se na hlavní rovnice a koncepty vibrační analýzy. Podrobná odvození najdete v odkazech na konci článku.

Volné vibrace bez tlumení

Jednoduchý model hromadné pružiny

Pro zahájení vyšetřování tlumiče hmota - pružina - předpokládejme, že tlumení je zanedbatelné a že na hmotu nepůsobí žádná vnější síla (tj. Volné vibrace). Síla působící na hmotu pružinou je úměrná množství, které pružina napne „x“ (za předpokladu, že pružina je již stlačena kvůli hmotnosti hmoty). Konstanta proporcionality, k, je tuhost pružiny a má jednotky síla / vzdálenost (např. Lbf / in nebo N / m). Záporné znaménko znamená, že síla vždy odporuje pohybu hmoty k ní připojené:

${ displaystyle F_ {s} = - kx. !}$

Síla generovaná hmotou je úměrná zrychlení hmoty, jak je dáno Newtonův druhý zákon pohybu:

${ displaystyle Sigma F = ma = m { ddot {x}} = m { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}.}$

Součet sil na hmotu to pak generuje obyčejná diferenciální rovnice: ${ displaystyle m { ddot {x}} + kx = 0.}$

Jednoduchý harmonický pohyb systému hmota-pružina

Za předpokladu, že zahájení vibrací začíná natažením pružiny o vzdálenost A a uvolněním řešení výše uvedené rovnice, která popisuje pohyb hmoty, je:

${ displaystyle x (t) = A cos (2 pi f_ {n} t). !}$

Toto řešení říká, že bude oscilovat s jednoduchý harmonický pohyb který má amplituda z A a frekvence F_n. Číslo F_n se nazývá netlumená vlastní frekvence. U jednoduchého systému hmotnost-pružina F_n je definován jako:

${ displaystyle f_ {n} = {1 nad {2 pi}} { sqrt {k nad m}}. !}$

Poznámka: úhlová frekvence ω (ω = 2 π F) s jednotkami radiánů za sekundu se často používá v rovnicích, protože zjednodušuje rovnice, ale obvykle se převádí na běžná frekvence (jednotky Hz nebo ekvivalentně cyklů za sekundu) při stanovení frekvence systému. Pokud je známa hmotnost a tuhost systému, výše uvedený vzorec může určit frekvenci, při které systém vibruje, jakmile je uveden do pohybu počátečním rušením. Každý vibrační systém má jednu nebo více přirozených frekvencí, které vibruje najednou a je narušen. Tento jednoduchý vztah lze obecně použít k pochopení toho, co se stane se složitějším systémem, jakmile přidáme hmotu nebo tuhost. Například výše uvedený vzorec vysvětluje, proč, když je automobil nebo nákladní automobil plně naložený, působí odpružení „měkčeji“ než bez zatížení - hmotnost se zvýšila, což snížilo přirozenou frekvenci systému.

Co způsobuje vibrace systému: z hlediska úspory energie

Vibrační pohyb lze chápat ve smyslu uchování energie. Ve výše uvedeném příkladu byla pružina prodloužena o hodnotu x, a tedy o některé potenciální energie (${ displaystyle { tfrac {1} {2}} kx ^ {2}}$) je uložen na jaře. Po uvolnění má pružina tendenci se vracet do svého neroztaženého stavu (což je stav minimální potenciální energie) a v tomto procesu hmotu zrychluje. V místě, kde pružina dosáhla svého neroztaženého stavu, byla veškerá potenciální energie, kterou jsme dodali roztažením, transformována na Kinetická energie (${ displaystyle { tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$). Hmota poté začne zpomalovat, protože nyní stlačuje pružinu a v procesu přenáší kinetickou energii zpět na její potenciál. Oscilace pružiny tedy odpovídá přenosu kinetické energie tam a zpět do potenciální energie. V tomto jednoduchém modelu hmota pokračuje v oscilaci navždy se stejnou velikostí - ale ve skutečném systému, tlumení vždy rozptýlí energii a nakonec uvede pružinu do klidu.

Volné vibrace s tlumením

Model s masovou pružinou a tlumičem

Když se k modelu přidá „viskózní“ tlumič, vyzařuje to sílu, která je úměrná rychlosti hmoty. Tlumení se nazývá viskózní, protože modeluje účinky tekutiny v objektu. Konstanta proporcionality C se nazývá koeficient tlumení a má jednotky síly nad rychlostí (lbf⋅s / in nebo N⋅s / m).

${ displaystyle F _ { text {d}} = - cv = -c { dot {x}} = - c { frac {dx} {dt}}.}$

Součet sil na hmotu má za následek následující obyčejnou diferenciální rovnici:

${ displaystyle m { ddot {x}} + c { dot {x}} + kx = 0.}$

Řešení této rovnice závisí na míře tlumení. Pokud je tlumení dostatečně malé, systém stále vibruje - ale časem přestane vibrovat. Tento případ se nazývá underdamping, což je důležité při vibrační analýze. Pokud se tlumení zvýší jen do bodu, kde systém již nekolísá, dosáhl systém bodu kritické tlumení. Pokud je tlumení zvýšeno oproti kritickému tlumení, systém je přehnané. Hodnota, kterou musí součinitel tlumení dosáhnout pro kritické tlumení v model s masovou pružinou je:

${ displaystyle c _ { text {c}} = 2 { sqrt { text {km}}}.}$

K charakterizaci množství tlumení v systému se používá poměr zvaný poměr tlumení (známé také jako tlumicí faktor a% kritického tlumení). Tento poměr tlumení je pouze poměrem skutečného tlumení k rozsahu tlumení potřebného k dosažení kritického tlumení. Vzorec pro poměr tlumení (${ displaystyle zeta}$) modelu s masovou pružinou je:

${ displaystyle zeta = {c nad 2 { sqrt { text {km}}}}.}$

Například kovové konstrukce (např. Trupy letadel, klikové hřídele motoru) mají tlumicí faktory menší než 0,05, zatímco automobilové závěsy se pohybují v rozmezí 0,2–0,3. Řešení utlumený systém pro model s masovou pružinou je následující:

${ displaystyle x (t) = Xe ^ {- zeta omega _ {n} t} cos vlevo ({ sqrt {1- zeta ^ {2}}} omega _ {n} t- phi right), qquad omega _ {n} = 2 pi f_ {n}.}$

Volné vibrace s poměrem tlumení 0,1 a 0,3

Hodnota Xpočáteční velikost a ${ displaystyle phi,}$ the fázový posun, jsou určeny množstvím natažené pružiny. Vzorce pro tyto hodnoty najdete v referencích.

Tlumené a netlumené přirozené frekvence

Hlavními body, které je třeba z řešení zaznamenat, jsou exponenciální člen a kosinová funkce. Exponenciální člen definuje, jak rychle systém „tlumí“ dolů - čím větší je poměr tlumení, tím rychleji se tlumí na nulu. Kosinová funkce je oscilační částí řešení, ale frekvence oscilací se liší od netlumeného případu.

Frekvence se v tomto případě nazývá „tlumená přirozená frekvence“, ${ displaystyle f _ { text {d}},}$ a souvisí s netlumenou vlastní frekvencí podle následujícího vzorce:

${ displaystyle f _ { text {d}} = f_ {n} { sqrt {1- zeta ^ {2}}}.}$

Tlumená vlastní frekvence je menší než netlumená vlastní frekvence, ale v mnoha praktických případech je poměr tlumení relativně malý, a proto je rozdíl zanedbatelný. Tlumený a netlumený popis proto při uvádění vlastní frekvence často klesá (např. S ​​poměrem tlumení 0,1 je tlumená vlastní frekvence pouze o 1% nižší než netlumená).

Grafy na straně ukazují, jak 0,1 a 0,3 tlumicí poměry ovlivňují, jak systém „zvoní“ v průběhu času. V praxi se často experimentálně měří volná vibrace po nárazu (například kladivem) a poté se stanoví vlastní frekvence systému měřením rychlosti oscilace a také poměr tlumení měřením rychlosti rozklad. Přirozená frekvence a poměr tlumení jsou nejen důležité při volných vibracích, ale také charakterizují, jak se systém chová při nucených vibracích.

Jarní hmota netlumená

Jarní mše podtlumená

Kriticky tlumená hmota pružiny

Jarní mše přehnaná

^[8]

Nucené vibrace s tlumením

Chování modelu tlumiče pružinové hmoty se mění s přidáním harmonické síly. Síla tohoto typu by mohla být například generována rotující nerovnováhou.

${ displaystyle F = F_ {0} sin (2 pi ft). !}$

Součet sil na hmotu má za následek následující obyčejnou diferenciální rovnici:

${ displaystyle m { ddot {x}} + c { dot {x}} + kx = F_ {0} sin (2 pi ft).}$

The ustálený stav řešení tohoto problému lze psát jako:

${ displaystyle x (t) = X sin (2 pi ft + phi). !}$

Výsledek uvádí, že hmota bude kmitat na stejné frekvenci, F, použité síly, ale s fázovým posunem ${ displaystyle phi.}$

Amplituda vibrací „X“ je definována následujícím vzorcem.

${ displaystyle X = {F_ {0} nad k} {1 nad { sqrt {(1-r ^ {2}) ^ {2} + (2 zeta r) ^ {2}}}}. }$

Kde „r“ je definováno jako poměr frekvence harmonických sil k netlumené přirozené frekvenci modelu hmotnost - pružina - tlumič.

${ displaystyle r = { frac {f} {f_ {n}}}.}$

Fázový posun, ${ displaystyle phi,}$ je definován následujícím vzorcem.

${ displaystyle phi = arctan left ({ frac {-2 zeta r} {1-r ^ {2}}} right).}$

Graf těchto funkcí, nazývaný „frekvenční odezva systému“, představuje jednu z nejdůležitějších vlastností nucených vibrací. V mírně tlumeném systému, když se vynucovací frekvence blíží vlastní frekvenci (${ displaystyle r cca 1}$) amplituda vibrací může být extrémně vysoká. Tento jev se nazývá rezonance (následně je vlastní frekvence systému často označována jako rezonanční frekvence). V rotorových ložiskových systémech se jakákoli rychlost otáčení, která budí rezonanční frekvenci, označuje jako a kritická rychlost.

Pokud v mechanickém systému dojde k rezonanci, může to být velmi škodlivé - což může vést k případnému selhání systému. V důsledku toho je jedním z hlavních důvodů vibrační analýzy předpovědět, kdy může dojít k tomuto typu rezonance, a poté určit, jaké kroky je třeba podniknout, aby se zabránilo jejímu výskytu. Jak ukazuje graf amplitudy, přidání tlumení může významně snížit velikost vibrací. Velikost lze také snížit, pokud lze přirozenou frekvenci posunout pryč od nucené frekvence změnou tuhosti nebo hmotnosti systému. Pokud nelze systém změnit, je možné změnit frekvenci vynucení (například změna rychlosti stroje generujícího sílu).

Následuje několik dalších bodů, pokud jde o vynucené vibrace zobrazené na grafech frekvenční odezvy.

• Při daném frekvenčním poměru je amplituda vibrací, X, je přímo úměrná amplitudě síly ${ displaystyle F_ {0}}$ (např. pokud zdvojnásobíte sílu, vibrace se zdvojnásobí)
• S malým nebo žádným tlumením jsou vibrace ve fázi s nucenou frekvencí, když je frekvenční poměr r <1 a 180 stupňů mimo fázi, když je frekvenční poměr r > 1
• Když r ≪ 1 je amplituda pouze vychýlení pružiny působením statické síly ${ displaystyle F_ {0}.}$ Tento průhyb se nazývá statický průhyb ${ displaystyle delta _ {st}.}$ Proto, když r ≪ 1 účinky tlumiče a hmoty jsou minimální.
• Když r ≫ 1 je amplituda vibrací ve skutečnosti menší než statická výchylka ${ displaystyle delta _ {st}.}$ V této oblasti síla generovaná hmotou (F = ma) dominuje, protože zrychlení viděné hmotou se zvyšuje s frekvencí. Od průhybu viděného na jaře, X, je v této oblasti snížena síla přenášená pružinou (F = kx) k základně se sníží. Proto systém hmota-pružina-tlumič izoluje harmonickou sílu od montážní základny - označované jako izolace vibrací. Více tlumení ve skutečnosti snižuje účinky izolace vibrací, když r ≫ 1 protože tlumicí síla (F = životopis) se také přenáší na základnu.
• bez ohledu na tlumení je vibrace 90 stupňů mimo fázi s nucenou frekvencí, když je frekvenční poměr r = 1, což je velmi užitečné, pokud jde o stanovení vlastní frekvence systému.
• ať je tlumení jakékoli, když r ≫ 1, vibrace je 180 stupňů mimo fázi s nucenou frekvencí
• ať je tlumení jakékoli, když r ≪ 1, vibrace jsou ve fázi s nucenou frekvencí

Příčiny rezonance

Rezonanci lze snadno pochopit, pokud se na pružinu a hmotu pohlíží jako na prvky akumulace energie - s hmotou akumulující kinetickou energii a pružinou akumulující potenciální energii. Jak již bylo zmíněno dříve, když hmota a pružina nemají na sebe působící vnější sílu, přenášejí energii tam a zpět rychlostí rovnající se přirozené frekvenci. Jinými slovy, k efektivnímu čerpání energie do hmoty i do pružiny je nutné, aby zdroj energie dodával energii rychlostí rovnající se přirozené frekvenci. Působení síly na hmotu a pružinu je podobné tlačení dítěte na houpačce, je potřeba tlačit ve správný okamžik, aby se houpačka stále více zvedala. Stejně jako v případě švihu nemusí být použitá síla vysoká, aby se dosáhlo velkých pohybů, ale musí pouze přidat energii do systému.

Tlumič místo akumulace energie rozptýlí energii. Protože tlumicí síla je úměrná rychlosti, čím více pohybu, tím více tlumič rozptýlí energii. Proto existuje bod, kdy se energie rozptýlená tlumičem rovná energii přidané silou. V tomto okamžiku dosáhl systém své maximální amplitudy a bude na této úrovni vibrovat, dokud použitá síla zůstane stejná. Pokud neexistuje žádné tlumení, není nic k rozptýlení energie a teoreticky bude pohyb nadále růst do nekonečna.

Působení „komplexních“ sil na model hmota – pružina – tlumič

V předchozí části byla na model aplikována pouze jednoduchá harmonická síla, kterou však lze značně rozšířit pomocí dvou výkonných matematických nástrojů. První je Fourierova transformace který bere signál jako funkci času (časová doména ) a rozdělí ho na harmonické složky jako funkce frekvence (frekvenční doména ). Například působením síly na model hmota – pružina – tlumič, který opakuje následující cyklus - síla rovna 1Newton po dobu 0,5 sekundy a poté po dobu 0,5 sekundy žádná síla. Tento typ síly má tvar 1 Hz čtvercová vlna.

Jak lze 1 Hz obdélníkovou vlnu představovat jako součet sinusových vln (harmonických) a odpovídajícího frekvenčního spektra. Klikněte a přejděte do plného rozlišení pro animaci

Fourierova transformace čtvercové vlny generuje a frekvenční spektrum která představuje velikost harmonických, které tvoří obdélníkovou vlnu (fáze je také generována, ale je obvykle méně znepokojující, a proto často není zakreslena). Fourierovu transformaci lze také použít k analýzeperiodicky funkce jako přechodné (např. impulsy) a náhodné funkce. Fourierova transformace je téměř vždy počítána pomocí rychlá Fourierova transformace (FFT) počítačový algoritmus v kombinaci s a funkce okna.

V případě naší síly obdélníkových vln je první složkou ve skutečnosti konstantní síla 0,5 newtonu a je představována hodnotou při 0 Hz ve frekvenčním spektru. Další složkou je 1 Hz sinusová vlna s amplitudou 0,64. To ukazuje čára při 1 Hz. Zbývající komponenty jsou na lichých frekvencích a generování dokonalé čtvercové vlny vyžaduje nekonečné množství sinusových vln. Fourierova transformace tedy umožňuje interpretovat sílu jako součet aplikovaných sinusových sil namísto „komplexnější“ síly (např. Obdélníkové vlny).

V předchozí části bylo řešení vibrací uvedeno pro jednu harmonickou sílu, ale Fourierova transformace obecně dává více harmonických sil. Druhý matematický nástroj, "princip superpozice ", umožňuje součet řešení z více sil, pokud je systém lineární. V případě modelu pružina-hmota-tlumič je systém lineární, pokud je síla pružiny úměrná posunutí a tlumení úměrné rychlosti v sledovaném rozsahu pohybu. Proto je řešením problému s obdélníkovou vlnou součet předpokládané vibrace z každé z harmonických sil nalezených ve frekvenčním spektru obdélníkové vlny.

Model frekvenční odezvy

Na řešení problému s vibracemi lze pohlížet jako na vztah vstup / výstup - kde síla je vstup a výstup je vibrace. Reprezentace síly a vibrací ve frekvenční doméně (velikost a fáze) umožňuje následující vztah:

${ displaystyle X (i omega) = H (i omega) cdot F (i omega) { text {nebo}} H (i omega) = {X (i omega) nad F (i omega)}.}$

${ displaystyle H (i omega)}$ se nazývá frekvenční odezva funkce (označovaná také jako přenosová funkce, ale není technicky tak přesný) a má jak velikostní, tak fázovou složku (pokud je reprezentována jako a komplexní číslo, skutečná a imaginární složka). Velikost funkce frekvenční odezvy (FRF) byla představena dříve pro systém hmotnost-pružina-tlumič.

${ displaystyle | H (i omega) | = vlevo | {X (i omega) nad F (i omega)} vpravo | = {1 nad k} {1 nad { sqrt {( 1-r ^ {2}) ^ {2} + (2 zeta r) ^ {2}}}}, { text {where}} r = { frac {f} {f_ {n}}} = { frac { omega} { omega _ {n}}}.}$

Fáze FRF byla také dříve představena jako:

${ displaystyle úhel H (i omega) = - arctan vlevo ({ frac {2 zeta r} {1-r ^ {2}}} vpravo).}$

Model frekvenční odezvy

Například výpočet FRF pro systém hmota-pružina-tlumič s hmotností 1 kg, tuhostí pružiny 1,93 N / mm a poměrem tlumení 0,1. Hodnoty pružiny a hmoty dávají přirozenou frekvenci 7 Hz pro tento specifický systém. Použití obdélníkové vlny 1 Hz z předchozího umožňuje výpočet předpokládané vibrace hmoty. Obrázek ilustruje výsledné vibrace. V tomto příkladu se stává, že čtvrtá harmonická obdélníkové vlny klesne na 7 Hz. Kmitočtová charakteristika tlumiče hmota-pružina proto vydává vysoké vibrace 7 Hz, i když vstupní síla měla relativně nízkou harmonickou frekvenci 7 Hz. Tento příklad zdůrazňuje, že výsledné vibrace závisí jak na vynucovací funkci, tak na systému, na který je síla aplikována.

Obrázek také ukazuje reprezentaci výsledné vibrace v časové doméně. To se provádí provedením inverzní Fourierovy transformace, která převádí data ve frekvenční doméně na časovou doménu. V praxi se to dělá jen zřídka, protože frekvenční spektrum poskytuje všechny potřebné informace.

Funkce frekvenční odezvy (FRF) nemusí být nutně počítána ze znalostí hmotnosti, tlumení a tuhosti systému - ale lze ji měřit experimentálně. Například pokud je aplikována známá síla v rozsahu frekvencí a jsou měřeny související vibrace, lze vypočítat funkci frekvenční odezvy, čímž charakterizuje systém. Tato technika se používá v oblasti experimentální modální analýza k určení vibračních charakteristik konstrukce.

Několik stupňů volnosti systémů a tvarů režimů

Model se dvěma stupni volnosti

Základem analýzy vibrací je jednoduchý model hmotnost-pružina-tlumič, ale co složitější systémy? Výše popsaný model hmotnost-pružina-tlumič se nazývá singl stupeň svobody (SDOF), protože se předpokládá, že se hmota pohybuje pouze nahoru a dolů. Ve složitějších systémech musí být systém diskretizován do více hmot, které se pohybují ve více než jednom směru a přidávají stupně volnosti. Hlavní koncepty více stupňů volnosti (MDOF) lze pochopit pohledem na model 2 stupně volnosti, jak je znázorněno na obrázku.

Bylo zjištěno, že pohybové rovnice systému 2DOF jsou:

${ displaystyle m_ {1} { ddot {x_ {1}}} + (c_ {1} + c_ {2}) { dot {x_ {1}}} - c_ {2} { dot {x_ { 2}}} + (k_ {1} + k_ {2}) x_ {1} -k_ {2} x_ {2} = f_ {1},}$

${ displaystyle m_ {2} { ddot {x_ {2}}} - c_ {2} { dot {x_ {1}}} + (c_ {2} + c_ {3}) { dot {x_ { 2}}} - k_ {2} x_ {1} + (k_ {2} + k_ {3}) x_ {2} = f_ {2}. !}$

To lze přepsat matice formát:

${ displaystyle { begin {bmatrix} m_ {1} & 0 0 & m_ {2} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { ddot {x_ {1}}} { ddot {x_ { 2}}} end {Bmatrix}} + { begin {bmatrix} c_ {1} + c_ {2} & - c_ {2} - c_ {2} & c_ {2} + c_ {3} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { dot {x_ {1}}} { dot {x_ {2}}} end {Bmatrix}} + { begin {bmatrix} k_ {1} + k_ {2} & - k_ {2} - k_ {2} & k_ {2} + k_ {3} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} x_ {1} x_ {2} end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} f_ {1} f_ {2} end {Bmatrix}}.}$

Kompaktnější formu této maticové rovnice lze zapsat jako:

${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { ddot {x}} end {Bmatrix}} + { begin {bmatrix} C end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { dot {x}} end {Bmatrix}} + { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} x end {Bmatrix}} = { begin { Bmatrix} f end {Bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}},}$ ${ displaystyle { begin {bmatrix} C end {bmatrix}},}$ a ${ displaystyle { begin {bmatrix} K end {bmatrix}}}$ jsou symetrické matice označovány jako matice hmotnosti, tlumení a tuhosti. Matice jsou čtvercové matice NxN, kde N je počet stupňů volnosti systému.

Následující analýza zahrnuje případ, kdy nedochází k tlumení a působení působících sil (tj. Volné vibrace). Řešení viskózně tlumeného systému je poněkud komplikovanější.^[9]

${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { ddot {x}} end {Bmatrix}} + { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} x end {Bmatrix}} = 0.}$

Tuto diferenciální rovnici lze vyřešit předpokládáním následujícího typu řešení:

${ displaystyle { begin {Bmatrix} x end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}} e ^ {i omega t}.}$

Poznámka: Použití exponenciálního řešení ${ displaystyle { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}} e ^ {i omega t}}$ je matematický trik používaný k řešení lineárních diferenciálních rovnic. Použitím Eulerův vzorec a vezmeme-li pouze skutečnou část řešení, je to stejné kosinové řešení pro systém 1 DOF. Exponenciální řešení se používá pouze proto, že je snazší manipulovat s ním matematicky.

Rovnice se pak stává:

${ displaystyle { begin {bmatrix} - omega ^ {2} { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}} e ^ {i omega t} = 0.}$

Od té doby ${ displaystyle e ^ {i omega t}}$ nemůže rovnat nule, rovnice se redukuje na následující.

${ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} - omega ^ {2} { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} end {bmatrix}} { začátek {Bmatrix} X end {Bmatrix}} = 0.}$

Problém s vlastním číslem

Toto se označuje jako vlastní číslo problém v matematice a lze jej dát do standardního formátu předběžným vynásobením rovnice ${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} ^ {- 1}}$

${ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} - omega ^ {2} { začátek {bmatrix} M end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}} = 0}$

a pokud: ${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A end {bmatrix}}}$ a ${ displaystyle lambda = omega ^ {2} ,}$

${ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {bmatrix} A end {bmatrix}} - lambda { begin {bmatrix} já end {bmatrix}} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}} = 0.}$

Výsledkem řešení problému je N vlastní čísla (tj. ${ displaystyle omega _ {1} ^ {2}, omega _ {2} ^ {2}, cdots omega _ {N} ^ {2}}$), kde N odpovídá počtu stupňů volnosti. Vlastní čísla poskytují přirozené frekvence systému. Když jsou tato vlastní čísla nahrazena zpět do původní sady rovnic, hodnoty ${ displaystyle { begin {Bmatrix} X end {Bmatrix}}}$ které odpovídají každému vlastnímu číslu se nazývají vlastní vektory. Tyto vlastní vektory představují tvary režimu systému. Řešení problému s vlastním číslem může být docela těžkopádné (zejména u problémů s mnoha stupni volnosti), ale naštěstí většina programů pro matematickou analýzu má rutiny s vlastním číslem.

Vlastní čísla a vlastní vektory jsou často psány v následujícím formátu matice a popisují modální model systému:

${ displaystyle { begin {bmatrix} ^ { diagdown} omega _ {r diagdown} ^ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} omega _ {1} ^ {2} & cdots & 0 vdots & ddots & vdots 0 & cdots & omega _ {N} ^ {2} end {bmatrix}} { text {and}} { begin {bmatrix} Psi end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { begin {Bmatrix} psi _ {1} end {Bmatrix}} { begin {Bmatrix} psi _ {2} end {Bmatrix}} cdots { begin {Bmatrix} psi _ {N} end {Bmatrix}} end {bmatrix}}.}$

Pro ilustraci konceptů může pomoci jednoduchý příklad s použitím modelu 2 DOF. Nechť obě hmoty mají hmotnost 1 kg a tuhost všech tří pružin se rovná 1000 N / m. Hmota a matice tuhosti pro tento problém jsou pak:

${ displaystyle { begin {bmatrix} M end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}}}$ a ${ displaystyle { begin {bmatrix} K end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 2000 & -1000 - 1000 & 2000 end {bmatrix}}.}$

Pak ${displaystyle {egin{bmatrix}Aend{bmatrix}}={egin{bmatrix}2000&-1000-1000&2000end{bmatrix}}.}$

The eigenvalues for this problem given by an eigenvalue routine is:

${displaystyle {egin{bmatrix}^{diagdown }omega _{rdiagdown }^{2}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}1000&0�&3000end{bmatrix}}.}$

The natural frequencies in the units of hertz are then (remembering ${displaystyle scriptstyle omega =2pi f}$) ${displaystyle scriptstyle f_{1}=5.033mathrm { Hz} }$ a ${displaystyle scriptstyle f_{2}=8.717{ ext{ Hz}}.}$

The two mode shapes for the respective natural frequencies are given as:

${displaystyle {egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{egin{Bmatrix}psi _{1}end{Bmatrix}}{egin{Bmatrix}psi _{2}end{Bmatrix}}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{egin{Bmatrix}-0.707-0.707end{Bmatrix}}_{1}{egin{Bmatrix}0.707-0.707end{Bmatrix}}_{2}end{bmatrix}}.}$

Since the system is a 2 DOF system, there are two modes with their respective natural frequencies and shapes. The mode shape vectors are not the absolute motion, but just describe relative motion of the degrees of freedom. In our case the first mode shape vector is saying that the masses are moving together in phase since they have the same value and sign. In the case of the second mode shape vector, each mass is moving in opposite direction at the same rate.

Illustration of a multiple DOF problem

When there are many degrees of freedom, one method of visualizing the mode shapes is by animating them using structural analysis software such as Femap, ANSYS or VA One by Skupina ESI. An example of animating mode shapes is shown in the figure below for a konzolový Já-paprsek as demonstrated using modální analýza on ANSYS. V tomto případě Metoda konečných prvků was used to generate an approximation of the mass and stiffness matrices by meshing the object of interest in order to solve a discrete eigenvalue problem. Note that, in this case, the finite element method provides an approximation of the meshed surface (for which there exists an infinite number of vibration modes and frequencies). Therefore, this relatively simple model that has over 100 degrees of freedom and hence as many natural frequencies and mode shapes, provides a good approximation for the first natural frequencies and modes^†. Generally, only the first few modes are important for practical applications.

In this table the first and second (top and bottom respectively) horizontální ohýbání (vlevo, odjet), torzní (middle), and vertikální bending (right) vibrational modes of an Já-paprsek are visualized. There also exist other kinds of vibrational modes in which the beam gets stlačený /natažené out in the height, width and length directions respectively.
The mode shapes of a cantilevered I-beam

^ Note that when performing a numerical approximation of any mathematical model, convergence of the parameters of interest must be ascertained.

Multiple DOF problem converted to a single DOF problem

The eigenvectors have very important properties called orthogonality properties. These properties can be used to greatly simplify the solution of multi-degree of freedom models. It can be shown that the eigenvectors have the following properties:

${displaystyle {egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}^{T}{egin{bmatrix}Mend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}={egin{bmatrix}^{diagdown }m_{rdiagdown }end{bmatrix}},}$

${displaystyle {egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}^{T}{egin{bmatrix}Kend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}={egin{bmatrix}^{diagdown }k_{rdiagdown }end{bmatrix}}.}$

${displaystyle {egin{bmatrix}^{diagdown }m_{rdiagdown }end{bmatrix}}}$ a ${displaystyle {egin{bmatrix}^{diagdown }k_{rdiagdown }end{bmatrix}}}$ jsou diagonální matice that contain the modal mass and stiffness values for each one of the modes. (Note: Since the eigenvectors (mode shapes) can be arbitrarily scaled, the orthogonality properties are often used to scale the eigenvectors so the modal mass value for each mode is equal to 1. The modal mass matrix is therefore an matice identity )

These properties can be used to greatly simplify the solution of multi-degree of freedom models by making the following coordinate transformation.

${displaystyle {egin{Bmatrix}xend{Bmatrix}}={egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}.}$

Using this coordinate transformation in the original free vibration differential equation results in the following equation.

${displaystyle {egin{bmatrix}Mend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}{ddot {q}}end{Bmatrix}}+{egin{bmatrix}Kend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}=0.}$

Taking advantage of the orthogonality properties by premultiplying this equation by ${displaystyle {egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}^{T}}$

${displaystyle {egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}^{T}{egin{bmatrix}Mend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}{ddot {q}}end{Bmatrix}}+{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}^{T}{egin{bmatrix}Kend{bmatrix}}{egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}=0.}$

The orthogonality properties then simplify this equation to:

${displaystyle {egin{bmatrix}^{diagdown }m_{rdiagdown }end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}{ddot {q}}end{Bmatrix}}+{egin{bmatrix}^{diagdown }k_{rdiagdown }end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}=0.}$

This equation is the foundation of vibration analysis for multiple degree of freedom systems. A similar type of result can be derived for damped systems.^[9] The key is that the modal mass and stiffness matrices are diagonal matrices and therefore the equations have been "decoupled". In other words, the problem has been transformed from a large unwieldy multiple degree of freedom problem into many single degree of freedom problems that can be solved using the same methods outlined above.

Řešení pro X is replaced by solving for q, referred to as the modal coordinates or modal participation factors.

It may be clearer to understand if ${displaystyle {egin{Bmatrix}xend{Bmatrix}}={egin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{egin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}}$ is written as:

${displaystyle {egin{Bmatrix}x_{n}end{Bmatrix}}=q_{1}{egin{Bmatrix}psi end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{egin{Bmatrix}psi end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{egin{Bmatrix}psi end{Bmatrix}}_{3}+cdots +q_{N}{egin{Bmatrix}psi end{Bmatrix}}_{N}.}$

Written in this form it can be seen that the vibration at each of the degrees of freedom is just a linear sum of the mode shapes. Furthermore, how much each mode "participates" in the final vibration is defined by q, its modal participation factor.

Rigid-body mode

An unrestrained multi-degree of freedom system experiences both rigid-body translation and/or rotation and vibration. The existence of a rigid-body mode results in a zero natural frequency. The corresponding mode shape is called the rigid-body mode.

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Zdarma listy aplikace Excel pro odhad modálních parametrů
• Vibration Analysis Reference - Mobius Institute
• Condition Monitoring and Machinery Protection - Siemens AG

• [2]