Zobecněné souřadnice - Generalized coordinates

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v analytická mechanika, termín zobecněné souřadnice odkazuje na parametry, které popisují konfigurace z Systém vzhledem k nějaké referenční konfiguraci. Tyto parametry musí jednoznačně definovat konfiguraci systému vzhledem k referenční konfiguraci.^[1] To se děje za předpokladu, že to lze provést pomocí jediného schéma. The zobecněné rychlosti jsou čas deriváty zobecněných souřadnic systému.

Příkladem zobecněné souřadnice je úhel, který lokalizuje bod pohybující se po kružnici. Adjektivum „zobecněné“ odlišuje tyto parametry od tradičního používání výrazu souřadnice Kartézské souřadnice: například popis umístění bodu v kruhu pomocí souřadnic xay.

I když pro fyzický systém může existovat mnoho možností pro zobecněné souřadnice, obvykle jsou pro specifikaci konfigurace systému vybrány vhodné parametry, které činí jeho řešení pohybové rovnice jednodušší. Pokud jsou tyto parametry navzájem nezávislé, je počet nezávislých zobecněných souřadnic definován počtem stupně svobody systému.^[2][3]

Zobecněné souřadnice jsou spárovány s generalizovaným momentem kanonické souřadnice na fázový prostor.

Omezení a stupně svobody

Otevřete přímou cestu

Otevřená zakřivená cesta F(X, y) = 0

Uzavřená zakřivená cesta C(X, y) = 0

Jedna zobecněná souřadnice (jeden stupeň volnosti) na cestách ve 2D. K jednoznačnému určení pozic na křivce je potřeba pouze jedna zobecněná souřadnice. V těchto příkladech má tato proměnná délku oblouku s nebo úhel θ. Mít obě kartézské souřadnice (X, y) jsou zbytečné, protože buď X nebo y je vztažen k druhému rovnicemi křivek. Mohou být také parametrizovány pomocí s nebo θ.

Otevřená zakřivená cesta F(X, y) = 0. Několik průsečíků poloměru s cestou.

Uzavřená zakřivená cesta C(X, y) = 0. Vlastní průnik cesty.

Délka oblouku s podél křivky je legitimní zobecněná souřadnice, protože poloha je jednoznačně určena, ale úhel θ není, protože pro jednu hodnotu je více pozic θ.

Zobecněné souřadnice jsou obvykle vybrány tak, aby poskytovaly minimální počet nezávislých souřadnic, které definují konfiguraci systému, což zjednodušuje formulaci Lagrangeovy rovnice pohybu. Může se však také stát, že může být užitečná sada zobecněných souřadnic závislý, což znamená, že jsou ve vztahu jednoho nebo více omezení rovnice.

Holonomická omezení

Otevřený zakřivený povrch F(X, y, z) = 0

Uzavřený zakřivený povrch S(X, y, z) = 0

Dvě zobecněné souřadnice, dva stupně volnosti, na zakřivených plochách ve 3D. Pouze dvě čísla (u, proti) jsou potřebné ke specifikaci bodů na křivce, pro každý případ je zobrazena jedna možnost. Plné tři Kartézské souřadnice (X, y, z) nejsou nutné, protože jakékoli dvě určují třetí podle rovnic křivek.

Pro systém N částice ve 3D skutečný souřadnicový prostor, vektor polohy každé částice lze zapsat jako 3n-tice v Kartézské souřadnice:

${ displaystyle mathbf {r} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) ,, quad mathbf {r} _ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) ,, ldots ,, mathbf {r} _ {N} = (x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) ,.}$

Lze označit jakýkoli z pozičních vektorů r_k kde k = 1, 2, ..., N označí částice. A holonomické omezení je rovnice omezení formy pro částici k^{[4][poznámka 1]}

${ displaystyle f ( mathbf {r} _ {k}, t) = 0}$

který spojuje všechny 3 prostorové souřadnice této částice dohromady, takže nejsou nezávislé. Omezení se může časem měnit, takže čas t se výslovně objeví v rovnicích omezení. V kterémkoli okamžiku bude jakákoli souřadnice určena z ostatních souřadnic, např. -li X_k a z_k jsou dány, pak také jsou y_k. Jedna rovnice omezení se počítá jako jeden omezení. Pokud existují C omezení, každý má rovnici, takže bude C omezovací rovnice. Pro každou částici nemusí být nutně jedna rovnice omezení, a pokud v systému neexistují žádná omezení, neexistují rovnice omezení.

Konfiguraci systému zatím definuje 3N množství, ale C souřadnice lze eliminovat, jednu souřadnici z každé rovnice omezení. Počet nezávislých souřadnic je n = 3N − C. (V D rozměry, potřebovala by původní konfigurace ND souřadnice a redukce pomocí omezení znamená n = ND − C). Ideální je použít minimální počet souřadnic potřebných k definování konfigurace celého systému, přičemž využijete výhod omezení v systému. Tato množství jsou známá jako zobecněné souřadnice v této souvislosti označeno q_j(t). Je vhodné je shromáždit do n-n-tice

${ displaystyle mathbf {q} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), ldots, q_ {n} (t))}$

což je bod v konfigurační prostor systému. Všichni jsou na sobě nezávislí a každý je funkcí času. Geometricky to mohou být délky podél přímek, nebo délky oblouku podél křivek nebo úhlů; ne nutně karteziánské souřadnice nebo jiný standard ortogonální souřadnice. Pro každého je jeden stupeň svobody, takže počet zobecněných souřadnic se rovná počtu stupňů volnosti, n. Stupeň volnosti odpovídá jedné veličině, která mění konfiguraci systému, například úhel kyvadla nebo délku oblouku, kterou prochází korálek podél drátu.

Pokud je možné z omezení najít tolik nezávislých proměnných, kolik je stupňů volnosti, lze je použít jako zobecněné souřadnice.^[5] Vektor polohy r_k částice k je funkcí všech n zobecněné souřadnice (a prostřednictvím nich i času),^{[6][7][8][5][pozn. 2]}

${ displaystyle mathbf {r} _ {k} = mathbf {r} _ {k} ( mathbf {q} (t)) ,,}$

a zobecněné souřadnice lze považovat za parametry spojené s omezením.

Odpovídající časové deriváty q jsou zobecněné rychlosti,

${ displaystyle { dot { mathbf {q}}} = { frac {d mathbf {q}} {dt}} = ({ dot {q}} _ {1} (t), { tečka {q}} _ {2} (t), ldots, { dot {q}} _ {n} (t))}$

(každá tečka nad množstvím označuje jednu časová derivace ). Vektor rychlosti proti_k je celková derivace z r_k s ohledem na čas

${ displaystyle mathbf {v} _ {k} = { dot { mathbf {r}}} _ {k} = { frac {d mathbf {r} _ {k}} {dt}} = součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {j}}} { tečka {q}} _ {j} ,. }$

a tak obecně závisí na zobecněných rychlostech a souřadnicích. Protože můžeme volně zadat počáteční hodnoty zobecněných souřadnic a rychlostí samostatně, zobecněné souřadnice q_j a rychlosti dq_j/dt lze považovat za nezávislé proměnné.

Ne-holonomická omezení

Mechanický systém může zahrnovat omezení jak na zobecněné souřadnice, tak na jejich deriváty. Omezení tohoto typu jsou známá jako neholonomická. Neholonomická omezení prvního řádu mají formu

${ displaystyle g ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}, t) = 0 ,,}$

Příkladem takového omezení je valivé kolečko nebo ostří nože, které omezuje směr vektoru rychlosti. Ne-holonomická omezení mohou také zahrnovat deriváty dalšího řádu, jako jsou zobecněná zrychlení.

Fyzikální veličiny v zobecněných souřadnicích

Kinetická energie

Celkem Kinetická energie systému je energie pohybu systému, definovaná jako^[9]

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} { dot { mathbf {r}}} _ {k} cdot { tečka { mathbf {r}}} _ {k} ,,}$

ve kterém · je Tečkovaný produkt. Kinetická energie je funkcí pouze rychlostí proti_k, ne souřadnice r_k oni sami. Naproti tomu je důležité pozorování^[10]

${ displaystyle { dot { mathbf {r}}} _ {k} cdot { dot { mathbf {r}}} _ {k} = součet _ {i, j = 1} ^ {n} left ({ frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {i}}} cdot { frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {j}}} vpravo) { dot {q}} _ {i} { dot {q}} _ {j},}$

který ilustruje kinetickou energii, je obecně funkcí zobecněných rychlostí, souřadnic a času, pokud se omezení také mění s časem, takže T = T(q, dq/dt, t).

V případě, že omezení na částice jsou časově nezávislá, pak jsou všechny parciální derivace vzhledem k času nulové a kinetická energie je homogenní funkce stupně 2 v zobecněných rychlostech.

Pro časově nezávislý případ je tento výraz ekvivalentní převzetí prvek čáry na druhou trajektorie částice k,

${ displaystyle ds_ {k} ^ {2} = d mathbf {r} _ {k} cdot d mathbf {r} _ {k} = součet _ {i, j = 1} ^ {n} vlevo ({ frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ {i}}} cdot { frac { částečné mathbf {r} _ {k}} { částečné q_ { j}}} vpravo) dq_ {i} dq_ {j} ,,}$

a dělení čtvercovým diferenciálem v čase, dt², abychom získali rychlost částic na druhou k. Pro časově nezávislá omezení tedy stačí znát liniový prvek k rychlému získání kinetické energie částic, a tedy Lagrangeovy.^[11]

Je poučné vidět různé případy polárních souřadnic ve 2d a 3d, kvůli jejich častému výskytu. Za 2d polární souřadnice (r, θ),

${ displaystyle left ({ frac {ds} {dt}} right) ^ {2} = { dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} ,,}$

ve 3D válcové souřadnice (r, θ, z),

${ displaystyle left ({ frac {ds} {dt}} right) ^ {2} = { dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2} ,,}$

ve 3D sférické souřadnice (r, θ, φ),

${ displaystyle left ({ frac {ds} {dt}} right) ^ {2} = { dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , { dot { varphi}} ^ {2} ,.}$

Zobecněná hybnost

The generalizovaná hybnost "kanonicky konjugovat "souřadnici q_i je definováno

${ displaystyle p_ {i} = { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}} _ {i}}}.}$

Pokud Lagrangeovci L dělá ne závisí na nějaké souřadnici q_i, pak z Euler-Lagrangeových rovnic vyplývá, že odpovídající zobecněná hybnost bude a konzervované množství, protože časová derivace je nula, což znamená, že hybnost je konstanta pohybu;

${ displaystyle { dot {p}} _ {i} = { frac {d} {dt}} { frac { částečný L} { částečný { dot {q}} _ {i}}} = { frac { částečné L} { částečné q_ {i}}} = 0 ,.}$

Příklady

Korálek na drátu

Korálek byl nucen pohybovat se po drátě bez tření. Drát vyvíjí reakční sílu C na korálku, aby to zůstalo na drátu. Síla bez omezení N v tomto případě je gravitace. Všimněte si, že počáteční poloha drátu může vést k různým pohybům.

U patky klouzající po drátu bez tření pouze gravitačně ve 2D prostoru lze omezit patku ve formuláři F(r) = 0, kde lze zapsat polohu korálku r = (X(s), y(s)), ve kterém s je parametr, délka oblouku s podél křivky z nějakého bodu na drátu. Toto je vhodná volba zobecněné souřadnice pro systém. Pouze jeden místo dvou je nutná souřadnice, protože polohu patky lze parametrizovat jedním číslem, sa rovnice omezení spojuje tyto dvě souřadnice X a y; jeden je určen od druhého. Omezující síla je reakční síla, kterou drát působí na patku, aby ji udržel na drátu, a neomezující aplikovaná síla je gravitace působící na patku.

Předpokládejme, že drát v průběhu času mění svůj tvar ohýbáním. Pak jsou rovnice omezení a poloha částice příslušně

${ displaystyle f ( mathbf {r}, t) = 0 ,, quad mathbf {r} = (x (s, t), y (s, t))}$

které nyní závisí na čase t kvůli měnícím se souřadnicím, jak drát mění svůj tvar. Čas upozornění se objeví implicitně prostřednictvím souřadnic a výslovně v rovnicích omezení.

Jednoduché kyvadlo

Jednoduché kyvadlo. Vzhledem k tomu, že tyč je tuhá, je poloha bobu omezena podle rovnice F(X, y) = 0, omezující síla C je napětí v tyči. Opět síla bez omezení N v tomto případě je gravitace.

Dynamický model jednoduchého kyvadla.

Vztah mezi použitím zobecněných souřadnic a kartézských souřadnic k charakterizaci pohybu mechanického systému lze ilustrovat zvážením omezené dynamiky jednoduchého kyvadla.^[12][13]

Jednoduchý kyvadlo sestává z hmoty M visící z otočného bodu tak, že je omezena pohybem v kruhu o poloměru L. Poloha hmoty je definována vektorem souřadnic r= (x, y) měřeno v rovině kruhu tak, že y je ve svislém směru. Souřadnice x a y jsou vztaženy rovnicí kružnice

${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}$

který omezuje pohyb M. Tato rovnice také omezuje složky rychlosti,

${ displaystyle { dot {f}} (x, y) = 2x { dot {x}} + 2y { dot {y}} = 0.}$

Nyní zadejte parametr θ, který definuje úhlovou polohu M ze svislého směru. Může být použit k definování souřadnic xay, tak, že

${ displaystyle mathbf {r} = (x, y) = (L sin theta, -L cos theta).}$

Použití θ k definování konfigurace tohoto systému se vyhýbá omezením poskytovaným rovnicí kružnice.

Všimněte si, že gravitační síla působící na hmotu m je formulována v obvyklých kartézských souřadnicích,

${ displaystyle mathbf {F} = (0, -mg),}$

kde g je gravitační zrychlení.

The virtuální práce gravitace na hmotu m, jak sleduje trajektorii r darováno

${ displaystyle delta W = mathbf {F} cdot delta mathbf {r}.}$

Variace ${ displaystyle delta}$r lze vypočítat z hlediska souřadnic x a y, nebo z hlediska parametru θ,

${ displaystyle delta mathbf {r} = ( delta x, delta y) = (L cos theta, L sin theta) delta theta.}$

Virtuální práce je tedy dána vztahem

${ displaystyle delta W = -mg delta y = -mgL sin theta delta theta.}$

Všimněte si, že koeficient ${ displaystyle delta}$y je složka y aplikované síly. Stejným způsobem koeficient ${ displaystyle delta}$θ je známé jako generalizovaná síla podél zobecněné souřadnice θ, dané

${ displaystyle F _ { theta} = - mgL sin theta.}$

Pro dokončení analýzy zvažte kinetickou energii T hmoty pomocí rychlosti,

${ displaystyle mathbf {v} = ({ dot {x}}, { dot {y}}) = (L cos theta, L sin theta) { dot { theta}},}$

tak,

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} m mathbf {v} cdot mathbf {v} = { frac {1} {2}} m ({ dot {x}} ^ { 2} + { dot {y}} ^ {2}) = { frac {1} {2}} ml ^ {2} { dot { theta}} ^ {2}.}$

D'Alembertova forma principu virtuální práce pro kyvadlo z hlediska souřadnic x a y jsou dány vztahem,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné T} { částečné { tečka {x}}}} - { frac { částečné T} { částečné x}} = F_ {x} + lambda { frac { částečné f} { částečné x}}, quad { frac {d} {dt}} { frac { částečné T} { částečné { dot {y} }}} - { frac { částečné T} { částečné y}} = F_ {y} + lambda { frac { částečné f} { částečné y}}.}$

Tím se získá tři rovnice

${ displaystyle m { ddot {x}} = lambda (2x), quad m { ddot {y}} = - mg + lambda (2y), quad x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}$

ve třech neznámých, x, y a λ.

Použitím parametru θ mají tyto rovnice tvar

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { částečné T} { částečné { dot { theta}}}}} - { frac { částečné T} { částečné theta}} = F _ { theta},}$

který se stává

${ displaystyle ml ^ {2} { ddot { theta}} = - mgL sin theta,}$

nebo

${ displaystyle { ddot { theta}} + { frac {g} {L}} sin theta = 0.}$

Tato formulace poskytuje jednu rovnici, protože existuje jediný parametr a žádná rovnice omezení.

To ukazuje, že parametr θ je zobecněná souřadnice, kterou lze použít stejným způsobem jako kartézské souřadnice xay k analýze kyvadla.

Dvojité kyvadlo

A dvojité kyvadlo

Výhody zobecněných souřadnic se projeví analýzou a dvojité kyvadlo. Pro dvě hmoty m_i, i = 1, 2, let r_i= (x_i, y_i), i = 1, 2 definují jejich dvě trajektorie. Tyto vektory splňují dvě rovnice omezení,

${ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = mathbf {r} _ {1} cdot mathbf {r} _ {1} - L_ {1} ^ {2} = 0}$

a

${ displaystyle f_ {2} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = ( mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {1}) cdot ( mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {1}) - L_ {2} ^ {2} = 0.}$

Formulace Lagrangeových rovnic pro tento systém poskytuje šest rovnic ve čtyřech kartézských souřadnicích x_i, y_i i = 1, 2 a dva Lagrangeovy multiplikátory λ_i, i = 1, 2, které vyplývají ze dvou omezujících rovnic.

Nyní vložte zobecněné souřadnice θ_i i = 1,2, které definují úhlovou polohu každé hmotnosti dvojitého kyvadla ze svislého směru. V tomto případě máme

${ displaystyle mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} sin theta _ {1}, - L_ {1} cos theta _ {1}), quad mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} sin theta _ {1}, - L_ {1} cos theta _ {1}) + (L_ {2} sin theta _ {2}, - L_ { 2} cos theta _ {2}).}$

Gravitační síla působící na masy je dána vztahem,

${ displaystyle mathbf {F} _ {1} = (0, -m_ {1} g), quad mathbf {F} _ {2} = (0, -m_ {2} g)}$

kde g je gravitační zrychlení. Virtuální gravitační práce na těchto dvou hmotách tedy sleduje trajektorie r_i, i = 1,2 je dáno vztahem

${ displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot delta mathbf {r} _ {1} + mathbf {F} _ {2} cdot delta mathbf {r} _ { 2}.}$

Variace δr_i i = 1, 2 lze vypočítat jako

${ displaystyle delta mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} cos theta _ {1}, L_ {1} sin theta _ {1}) delta theta _ {1} , quad delta mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} cos theta _ {1}, L_ {1} sin theta _ {1}) delta theta _ {1} + (L_ {2} cos theta _ {2}, L_ {2} sin theta _ {2}) delta theta _ {2}}$

Virtuální dílo je tedy dáno vztahem

${ displaystyle delta W = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} sin theta _ {1} delta theta _ {1} -m_ {2} gL_ {2} sin theta _ {2} delta theta _ {2},}$

a zobecněné síly jsou

${ displaystyle F _ { theta _ {1}} = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} sin theta _ {1}, quad F _ { theta _ {2}} = -m_ {2} gL_ {2} sin theta _ {2}.}$

Vypočítejte kinetickou energii tohoto systému

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} m_ {1} mathbf {v} _ {1} cdot mathbf {v} _ {1} + { frac {1} {2}} m_ {2} mathbf {v} _ {2} cdot mathbf {v} _ {2} = { frac {1} {2}} (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} { dot { theta}} _ {1} ^ {2} + { frac {1} {2}} m_ {2} L_ {2} ^ {2} { dot { theta} } _ {2} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} cos ( theta _ {2} - theta _ {1}) { dot { theta}} _ {1 } { dot { theta}} _ {2}.}$

Euler-Lagrangeova rovnice získá dvě rovnice v neznámých zobecněných souřadnicích θ_i i = 1, 2, dané^[14]

${ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} { ddot { theta}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} { ddot { theta}} _ {2} cos ( theta _ {2} - theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} { ddot { theta _ {2}} } ^ {2} sin ( theta _ {1} - theta _ {2}) = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} sin theta _ {1},}$

a

${ displaystyle m_ {2} L_ {2} ^ {2} { ddot { theta}} _ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} { ddot { theta}} _ { 1} cos ( theta _ {2} - theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} { ddot { theta _ {1}}} ^ {2} sin ( theta _ {2} - theta _ {1}) = - m_ {2} gL_ {2} sin theta _ {2}.}$

Použití zobecněných souřadnic θ_i i = 1, 2 poskytuje alternativu k kartézské formulaci dynamiky dvojitého kyvadla.

Sférické kyvadlo

Sférické kyvadlo: úhly a rychlosti.

Pro 3d příklad, a sférické kyvadlo s konstantní délkou l volně se houpat v libovolném úhlovém směru působením gravitace, omezení na kyvadle může být uvedeno ve tvaru

${ displaystyle f ( mathbf {r}) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -l ^ {2} = 0 ,,}$

kde lze napsat polohu kyvadla

${ displaystyle mathbf {r} = (x ( theta, phi), y ( theta, phi), z ( theta, phi)) ,,}$

ve kterém (θ, φ) jsou sférické polární úhly protože bob se pohybuje na povrchu koule. Pozice r se měří podél bodu zavěšení k bobu, zde se považuje za a bodová částice. Logickou volbou zobecněných souřadnic k popisu pohybu jsou úhly (θ, φ). Místo tří jsou potřeba pouze dvě souřadnice, protože polohu bob lze parametrizovat dvěma čísly a rovnice omezení spojuje tři souřadnice X, y, z takže kterýkoli z nich je určen z ostatních dvou.

Zobecněné souřadnice a virtuální práce

The princip virtuální práce uvádí, že pokud je systém ve statické rovnováze, virtuální práce aplikovaných sil je nulová pro všechny virtuální pohyby systému z tohoto stavu, tj. ${ displaystyle delta}$W = 0 pro jakoukoli variantu ${ displaystyle delta}$r.^[15] Při formulování z hlediska zobecněných souřadnic to odpovídá požadavku, aby zobecněné síly pro jakékoli virtuální posunutí byly nulové, to znamená F_i=0.

Nechť jsou síly v systému F_j, j = 1, ..., m aplikovat na body s kartézskými souřadnicemi r_j, j = 1, ..., m, pak je virtuální práce generovaná virtuálním posunutím z rovnovážné polohy dána vztahem

${ displaystyle delta W = součet _ {j = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {j} cdot delta mathbf {r} _ {j}.}$

kde δr_j, j = 1, ..., m označují virtuální posunutí každého bodu v těle.

Nyní předpokládejme, že každý δr_j závisí na zobecněných souřadnicích q_i, i = 1, ..., n, pak

${ displaystyle delta mathbf {r} _ {j} = { frac { částečné mathbf {r} _ {j}} { částečné q_ {1}}} delta {q} _ {1} + ldots + { frac { částečné mathbf {r} _ {j}} { částečné q_ {n}}} delta {q} _ {n},}$

a

${ displaystyle delta W = left ( sum _ {j = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {j} cdot { frac { parciální mathbf {r} _ {j}} { částečné q_ {1}}} pravé) delta {q} _ {1} + ldots + levé ( sum _ {j = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {j} cdot { frac { částečné mathbf {r} _ {j}} { částečné q_ {n}}} pravé) delta {q} _ {n}.}$

The n podmínky

${ displaystyle F_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {j} cdot { frac { částečné mathbf {r} _ {j}} { částečné q_ {i}}}, quad i = 1, ldots, n,}$

jsou zobecněné síly působící na systém. Kane^[16] ukazuje, že tyto zobecněné síly lze formulovat také z hlediska poměru časových derivací,

${ displaystyle F_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {m} mathbf {F} _ {j} cdot { frac { částečné mathbf {v} _ {j}} { částečné { dot {q}} _ {i}}}, quad i = 1, ldots, n,}$

kde proti_j je rychlost bodu působení síly F_j.

Aby byla virtuální práce nulová pro libovolné virtuální posunutí, musí být každá zobecněná síla nulová, to znamená

${ displaystyle delta W = 0 quad Rightarrow quad F_ {i} = 0, i = 1, ldots, n.}$

Viz také

• Kanonické souřadnice
• Hamiltoniánská mechanika
• Virtuální práce
• Ortogonální souřadnice
• Křivočaré souřadnice
• Hmotnostní matice
• Matice tuhosti
• Zobecněné síly

Poznámky

Reference

Bibliografie citovaných odkazů

• Ginsberg, Jerry H. (2008). Inženýrská dynamika (3. vyd.). Cambridge Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88303-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kibble, T.W.B.; Berkshire, F.H. (2004). Klasická mechanika (5. vydání). River Edge NJ: Imperial College Press. ISBN  1860944248.CS1 maint: ref = harv (odkaz)