Otočný referenční rám - Rotating reference frame
Část série na |
Klasická mechanika |
---|
Klíčová témata |
Kategorie ► Klasická mechanika |
A otočný referenční rámec je speciální případ a neinerciální referenční rámec to je rotující ve vztahu k setrvačný referenční rámec. Každodenním příkladem rotujícího referenčního rámu je povrch Země. (Tento článek uvažuje pouze o rámech rotujících kolem pevné osy. Obecnější rotace viz Eulerovy úhly.)

Fiktivní síly
Všechno neinerciální referenční rámce exponát fiktivní síly; rotující referenční rámy se vyznačují třemi:[1]
- the odstředivá síla,
- the Coriolisova síla,
a pro nerovnoměrně se otáčející referenční rámce
- the Eulerova síla.
Vědci v rotačním boxu mohou měřit rychlost a směr jejich rotace měřením těchto fiktivních sil. Například, Léon Foucault byl schopen ukázat Coriolisovu sílu, která je výsledkem rotace Země pomocí Foucaultovo kyvadlo. Pokud by se Země otáčela mnohokrát rychleji, mohli by tyto fiktivní síly pociťovat lidé, jako když jsou na rotující kolotoč.
Vztahování rotujících rámů ke stacionárním rámům
Následuje odvození vzorců pro zrychlení i fiktivní síly v rotujícím rámu. Začíná to vztahem mezi souřadnicemi částice v rotujícím rámci a jeho souřadnicemi v inerciálním (stacionárním) rámci. Poté, tím, že vezmeme časové derivace, jsou odvozeny vzorce, které se týkají rychlosti částice, jak je vidět ve dvou rámcích, a zrychlení vzhledem ke každému rámu. Pomocí těchto zrychlení jsou fiktivní síly identifikovány porovnáním druhého Newtonova zákona formulovaného ve dvou různých rámcích.
Vztah mezi pozicemi ve dvou rámcích
Pro odvození těchto fiktivních sil je užitečné převádět mezi souřadnicemi rotujícího referenčního rámce a souřadnic z setrvačný referenční rámec se stejným původem. Pokud je rotace kolem osa s konstantou úhlová rychlost nebo a dva referenční rámce se časově shodují , lze zapsat transformaci z rotujících souřadnic na inerciální souřadnice
zatímco reverzní transformace je
Tento výsledek lze získat z a rotační matice.
Představte jednotkové vektory představující standardní jednotkové bazické vektory v rotujícím rámci. Časové deriváty těchto jednotkových vektorů se nacházejí dále. Předpokládejme, že rámy jsou zarovnány na t = 0 a z-osa je osa otáčení. Pak pro otáčení proti směru hodinových ručiček o úhel Ωt:
Kde (X, y) komponenty jsou vyjádřeny ve stacionárním rámu. Rovněž,
Časová derivace těchto vektorů, které se otáčejí beze změny velikosti, tedy je
kde .Tento výsledek je stejný jako při použití a vektorový křížový produkt s vektorem rotace ukázal podél osy otáčení , jmenovitě
kde je buď nebo .
Časové derivace ve dvou rámcích
Představte jednotkové vektory představující standardní jednotkové bazické vektory v rotujícím rámci. Při otáčení zůstanou normalizované. Pokud je necháme otáčet rychlostí kolem osy pak každý jednotkový vektor rotujícího souřadnicového systému se řídí následující rovnicí:
Pokud tedy máme vektorovou funkci ,
a chceme prozkoumat jeho první derivaci, kterou máme (pomocí produktové pravidlo diferenciace):[2][3]
kde je rychlost změny jak je pozorováno v rotujícím souřadném systému. Jako zkratka je diferenciace vyjádřena jako:
Tento výsledek je také známý jako Transport Theorem v analytické dynamice a někdy se také označuje jako základní kinematická rovnice.[4]
Vztah mezi rychlostmi ve dvou rámcích
Rychlost objektu je časová derivace polohy objektu, nebo
Časová derivace polohy v rotujícím referenčním rámci má dvě složky, jednu z explicitní časové závislosti v důsledku pohybu samotné částice a druhou z vlastní rotace rámu. Aplikování výsledku předchozího podsekce na posunutí , rychlosti ve dvou referenčních rámcích souvisí rovnice
kde dolní index i znamená setrvačný referenční rámec a r znamená otočný referenční rámec.
Vztah mezi zrychleními ve dvou rámcích
Zrychlení je druhá časová derivace polohy nebo první časová derivace rychlosti
kde dolní index i znamená setrvačný referenční rámec. Provádění diferenciace a přeuspořádáním některých výrazů se získá zrychlení vzhledem k rotaci referenční rámec,
kde je zjevné zrychlení v rotujícím referenčním rámci, termín představuje odstředivé zrychlení a termín je Coriolisovo zrychlení. Poslední termín () je Eulerovo zrychlení a je nula v rovnoměrně rotujících rámcích.
Newtonův druhý zákon ve dvou rámcích
Když je výraz pro zrychlení vynásoben hmotou částice, výsledkem tří dalších výrazů na pravé straně je fiktivní síly v rotujícím referenčním rámci, tj. zjevné síly, které jsou výsledkem působení v a neinerciální referenční rámec, spíše než z jakékoli fyzické interakce mezi těly.
Použitím Newtonův druhý zákon pohybu , získáváme:[1][2][3][5][6]
- the Coriolisova síla
- the odstředivá síla
kde je hmotnost objektu, na který tyto působí fiktivní síly. Všimněte si, že všechny tři síly zmizí, když se rám neotáčí, tedy když
Pro úplnost, setrvačné zrychlení v důsledku působících vnějších sil lze určit z celkové fyzické síly v setrvačném (nerotujícím) rámci (například síla z fyzických interakcí jako elektromagnetické síly ) použitím Newtonův druhý zákon v setrvačném rámu:
Newtonův zákon v rotujícím rámu se pak stává
Jinými slovy, zvládnout zákony pohybu v rotujícím referenčním rámci:[6][7][8]
Zacházejte s fiktivními silami jako se skutečnými silami a předstírejte, že jste v setrvačném rámci.
— Louis N. Hand, Janet D. Finch Analytická mechanika, str. 267
Je zřejmé, že rotující referenční rámec je případem neinerciálního rámce. Na částici kromě skutečné síly tedy působí fiktivní síla ... Částice se bude pohybovat podle druhého Newtonova zákona pohybu, pokud bude celková síla působící na ni brána jako součet skutečných a fiktivních sil.
— HS Hans & SP Pui: Mechanika; str. 341
Tato rovnice má přesně podobu druhého Newtonova zákona, až na že kromě F, součet všech sil identifikovaných v setrvačném rámci, je zde další člen vpravo ... To znamená, že můžeme i nadále používat druhý Newtonův zákon v neinerciálním rámci pokud souhlasíme s tím, že v neinertiálním rámci musíme přidat další silový člen, který se často nazývá setrvačná síla.
— John R. Taylor: Klasická mechanika; str. 328
Odstředivá síla
v klasická mechanika, odstředivá síla je vnější síla spojená s otáčení. Odstředivá síla je jednou z několika tzv pseudosíly (také známý jako setrvačné síly ), tak pojmenovaný, protože na rozdíl od skutečné síly, nepocházejí z interakcí s jinými těly umístěnými v prostředí částice, na kterou působí. Místo toho odstředivá síla vzniká v rotaci referenčního rámce, ve kterém se provádí pozorování.[9][10][11][12][13][14]
Coriolisův efekt

Matematický výraz pro Coriolisovu sílu se objevil v dokumentu francouzského vědce z roku 1835 Gaspard-Gustave Coriolis ve spojení s hydrodynamika, a také v přílivové rovnice z Pierre-Simon Laplace v roce 1778. Na počátku 20. století se v souvislosti s začal používat termín Coriolisova síla meteorologie.
Snad nejčastěji se setkávajícím rotujícím referenčním rámem je Země. Pohybující se objekty na povrchu Země zažívají Coriolisovu sílu a zdá se, že se otáčejí doprava v Severní polokoule a nalevo v jižní. Pohyby vzduchu v atmosféře a vody v oceánu jsou pozoruhodnými příklady tohoto chování: spíše než proudění přímo z oblastí s vysokým tlakem na nízký tlak, jako by to bylo na nerotující planetě, větry a proudy mají tendenci proudit doprava tohoto směru severně od rovník, a nalevo od tohoto směru jižně od rovníku. Tento efekt je zodpovědný za rotaci velkých cyklóny (vidět Coriolisovy efekty v meteorologii ).
Eulerova síla
v klasická mechanika, Eulerovo zrychlení (pojmenováno pro Leonhard Euler ), také známý jako azimutální zrychlení[15] nebo příčné zrychlení[16] je akcelerace , který se objeví, když se pro analýzu pohybu použije nerovnoměrně se otáčející referenční snímek a v úhlová rychlost z referenční rámec osa. Tento článek je omezen na referenční rámec, který se otáčí kolem pevné osy.
The Eulerova síla je fiktivní síla na těle, které souvisí s Eulerovým zrychlením o F = mA, kde A je Eulerovo zrychlení a m je hmotnost těla.[17][18]
Použití v magnetické rezonanci
Je vhodné zvážit magnetická rezonance v rámu, který se otáčí na Larmorova frekvence otočení. To je znázorněno v animaci níže. The aproximace rotujících vln lze také použít.

Viz také
- Absolutní rotace
- Odstředivá síla (rotující referenční rám) Odstředivá síla při pohledu ze systémů rotujících kolem pevné osy
- Mechanika pohybu rovinných částic Fiktivní síly, které částice vykazuje v rovinném pohybu, jak je vidí samotná částice, a pozorovatelé v souběžně se otáčejícím referenčním rámci
- Coriolisova síla Vliv Coriolisovy síly na Zemi a další rotující systémy
- Inerciální referenční rámec
- Neinerciální rám
- Fiktivní síla Obecnější pojednání o předmětu tohoto článku
Reference
- ^ A b Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Matematické metody klasické mechaniky (2. vyd.). Springer. str. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
- ^ A b Cornelius Lanczos (1986). Variační principy mechaniky (Dotisk čtvrtého vydání z roku 1970, ed.). Dover Publications. Kapitola 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
- ^ A b John R Taylor (2005). Klasická mechanika. University Science Books. str. 342. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ Corless, Martine. "Kinematika" (PDF). Poznámky k předmětu Aeromechanika I. Purdue University. str. 213. Archivovány od originál (PDF) dne 24. října 2012. Citováno 18. července 2011.
- ^ LD Landau a LM Lifshitz (1976). Mechanika (Třetí vydání.). str. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
- ^ A b Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytická mechanika. Cambridge University Press. str. 267. ISBN 0-521-57572-9.
- ^ HS Hans & SP Pui (2003). Mechanika. Tata McGraw-Hill. str. 341. ISBN 0-07-047360-9.
- ^ John R Taylor (2005). Klasická mechanika. University Science Books. str. 328. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ Robert Resnick a David Halliday (1966). Fyzika. Wiley. str.121. ISBN 0-471-34524-5.
- ^ Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Úvod do mechaniky a symetrie: Základní výklad klasických mechanických systémů. Springer. str. 251. ISBN 0-387-98643-X.
- ^ John Robert Taylor (2005). Klasická mechanika. University Science Books. str. 343. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ Stephen T. Thornton a Jerry B. Marion (2004). „Kapitola 10“. Klasická dynamika částic a systémů (5. vydání). Belmont CA: Brook / Cole. ISBN 0-534-40896-6. OCLC 52806908.
- ^ David McNaughton. „Odstředivé a Coriolisovy účinky“. Citováno 2008-05-18.
- ^ David P. Stern. „Referenční rámce: Odstředivá síla“. Citováno 2008-10-26.
- ^ David Morin (2008). Úvod do klasické mechaniky: s problémy a řešením. Cambridge University Press. str.469. ISBN 0-521-87622-2.
zrychlení azimutální Morin.
- ^ Grant R. Fowles a George L. Cassiday (1999). Analytická mechanika (6. vydání). Vydavatelé Harcourt College. str. 178.
- ^ Richard H. Battin (1999). Úvod do matematiky a metod astrodynamiky. Reston, VA: Americký institut pro letectví a astronautiku. str. 102. ISBN 1-56347-342-9.
- ^ Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Úvod do mechaniky a symetrie: Základní výklad klasických mechanických systémů. Springer. str. 251. ISBN 0-387-98643-X.
externí odkazy
- Animační klip zobrazování scén při pohledu z setrvačného i rotujícího referenčního rámce, vizualizace Coriolisovy a odstředivé síly.