Variační počet - Calculus of variations
Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
The variační počet je obor matematická analýza který používá variace, což jsou malé změny v funkce a funkcionáři, najít maxima a minima funkcionálů: mapování ze sady funkce do reálná čísla.[A] Funkcionály jsou často vyjádřeny jako určité integrály zahrnující funkce a jejich deriváty. Funkce, které maximalizují nebo minimalizují funkcionály, lze najít pomocí Euler-Lagrangeova rovnice variačního počtu.
Jednoduchým příkladem takového problému je najít křivku nejkratší délky spojující dva body. Pokud neexistují žádná omezení, řešením je přímka mezi body. Pokud je však křivka nucena ležet na povrchu v prostoru, pak je řešení méně zřejmé a možná může existovat mnoho řešení. Taková řešení jsou známá jako geodetika. Související problém představuje Fermatův princip: světlo sleduje cestu nejkratší optické délky spojující dva body, kde optická délka závisí na materiálu média. Jeden odpovídající koncept v mechanika je princip nejmenšího / stacionárního působení.
Mnoho důležitých problémů zahrnuje funkce několika proměnných. Řešení problémy s hraniční hodnotou pro Laplaceova rovnice uspokojit Dirichletův princip. Problém náhorní plošiny vyžaduje nalezení povrchu s minimální plochou, který překlenuje danou konturu v prostoru: řešení lze často najít ponořením rámu do roztoku mýdlové pěny. I když se takové experimenty provádějí relativně snadno, jejich matematická interpretace zdaleka není jednoduchá: může existovat více než jeden lokálně minimalizující povrch a mohou mít netriviální topologie.
Dějiny
Dá se říci, že variační počet začíná Newtonův problém s minimálním odporem v roce 1687, následovaný brachistochronová křivka problém vznesen Johann Bernoulli (1696).[2] Okamžitě to upoutalo pozornost Jakob Bernoulli a Markýz de l'Hôpital, ale Leonhard Euler nejprve zpracoval předmět, začátek v 1733. Lagrange byl ovlivněn Eulerovou prací významně přispět k teorii. Poté, co Euler viděl dílo 19leté Lagrangeovy práce z roku 1755, Euler upustil od svého vlastního částečně geometrického přístupu ve prospěch Lagrangeova čistě analytického přístupu a přejmenoval předmět na variační počet ve své přednášce z roku 1756 Elementa Calculi Variationum.[3][4][1]
Legendre (1786) stanovili metodu, která není zcela uspokojivá, pro diskriminaci maxim a minim. Isaac Newton a Gottfried Leibniz také tomuto tématu věnoval časnou pozornost.[5] K této diskriminaci Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Michail Ostrogradsky (1834) a Carl Jacobi (1837) byli mezi přispěvateli. Důležitou obecnou prací je práce Sarrus (1842), který byl zkrácen a vylepšen Cauchy (1844). Další cenné pojednání a monografie byly napsány Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) a Carll (1885), ale asi nejdůležitější prací tohoto století je dílo Weierstrass. Jeho slavný kurz teorie je epochální a lze tvrdit, že jej jako první postavil na pevný a nezpochybnitelný základ. The 20 a 23 Hilbertův problém publikováno v roce 1900 podpořilo další vývoj.[5]
Ve 20. století David Hilbert, Emmy Noetherová, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue a Jacques Hadamard mimo jiné významně přispěly.[5] Marston Morse aplikovaný variační počet v tom, co se nyní nazývá Morseova teorie.[6] Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar a F. H. Clarke vyvinuli nové matematické nástroje pro variační počet v teorie optimálního řízení.[6] The dynamické programování z Richard Bellman je alternativou k variačnímu počtu.[7][8][9][b]
Extrema
Variační počet se týká maxim nebo minim (souhrnně nazývaných extrémy) funkcionářů. Funkční mapy funkce na skaláry, takže funkcionály byly popsány jako „funkce funkcí“. Funkcionály mají extrémy vzhledem k prvkům y daného funkční prostor definovaný během daného doména. Funkční J [ y ] má funkci extrémní F -li ΔJ = J [ y ] − J [ F] má to samé podepsat pro všechny y v libovolně malém sousedství F .[C] Funkce F se nazývá extrémní funkce nebo extremal.[d] Extrém J [ F ] se nazývá místní maximum, pokud ΔJ ≤ 0 všude v libovolně malém sousedství F , a místní minimum, pokud ΔJ ≥ 0 tam. Pro funkční prostor spojitých funkcí se nazývají extrémy odpovídajících funkcionálů slabé extrémy nebo silné extrémy, v závislosti na tom, zda jsou první derivace spojitých funkcí všechny spojité nebo ne.[11]
Silné i slabé extrémy funkcionálů jsou pro prostor spojitých funkcí, ale silné extrémy mají další požadavek, aby první derivace funkcí v prostoru byly spojité. Silný extremum je tedy také slabým extremem, ale konverzovat nemusí držet. Najít silné extrémy je obtížnější než najít slabé extrémy.[12] Příklad a nutná podmínka který se používá k nalezení slabých extrémů je Euler-Lagrangeova rovnice.[13][E]
Euler-Lagrangeova rovnice
Hledání extrémů funkcionálů je podobné hledání maxim a minim funkcí. Maxima a minima funkce lze lokalizovat vyhledáním bodů, kde zmizí její derivace (tj. Je rovna nule). Extrémy funkcionálů lze získat vyhledáním funkcí, kde funkční derivace se rovná nule. To vede k řešení přidružených Euler-Lagrangeova rovnice.[F]
Zvažte funkční
kde
- X1, X2 jsou konstanty,
- y (X) je dvakrát spojitě diferencovatelné,
- y ′(X) = dy / dx ,
- L(X, y (X), y ′(X)) je dvakrát kontinuálně diferencovatelný s ohledem na jeho argumenty X, y, y ′.
Pokud je funkční J[y ] dosáhne a místní minimum na F , a η(X) je libovolná funkce, která má alespoň jednu derivaci a zmizí v koncových bodech X1 a X2 , pak pro libovolné číslo ε téměř 0,
Termín εη se nazývá variace funkce F a je označen δf .[1][G]
StřídáníF + εη pro y ve funkčním J[ y ] , výsledkem je funkce ε,
Protože funkční J[ y ] má minimum pro y = F , funkce Φ (ε) má minimum na ε = 0 a tudíž,[h]
Užívání celková derivace z L[X, y, y ′] , kde y = F + ε η a y ′ = F ′ + ε η′ jsou považovány za funkce ε spíše než X, výnosy
a od té dobydy /dε = η a dy ′/dε = η ' ,
Proto,
kde L[X, y, y ′] → L[X, F, F ′] když ε = 0 a my jsme použili integrace po částech na druhé funkční období. Druhý člen na druhém řádku zmizí, protože η = 0 na X1 a X2 podle definice. Jak již bylo zmíněno, levá strana rovnice je nulová, takže
Podle základní lemma variačního počtu, část integrandu v závorkách je nula, tj.
který se nazývá Euler-Lagrangeova rovnice. Levá strana této rovnice se nazývá funkční derivace z J[F] a je označen δJ/δf(X) .
Obecně to dává druhý řád obyčejná diferenciální rovnice které lze vyřešit pro získání extremální funkce F(X) . Euler-Lagrangeova rovnice je a nutné, ale ne dostatečný, podmínka pro extremum J[F]. Dostatečná podmínka pro minimum je uvedena v části Variace a dostatečná podmínka pro minimum.
Příklad
Pro ilustraci tohoto procesu zvažte problém nalezení extremální funkce y = F (X) , což je nejkratší křivka, která spojuje dva body (X1, y1) a (X2, y2) . The délka oblouku křivky je dáno vztahem
s
Euler-Lagrangeova rovnice bude nyní použita k nalezení extremální funkce F (X) který minimalizuje funkčnost A[y ] .
s
Od té doby F se výslovně neobjevuje v L , první člen v Euler-Lagrangeově rovnici zmizí pro všechny F (X) a tudíž,
Střídání za L a převzetí derivátu,
Tím pádem
pro nějakou konstantu C. Pak
kde
Řešení, máme
což z toho vyplývá
je konstanta a proto nejkratší křivka, která spojuje dva body (X1, y1) a (X2, y2) je
a tak jsme našli extremální funkci F(X) který minimalizuje funkčnost A[y] aby A[F] je minimum. Rovnice pro přímku je y = F(X). Jinými slovy, nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je přímka.[j]
Beltramiho identita
Ve fyzických problémech to tak může být , což znamená, že integrand je funkcí a ale nezobrazí se samostatně. V takovém případě lze Euler-Lagrangeovu rovnici zjednodušit na Beltrami identita[16]
kde je konstanta. Levá strana je Legendární transformace z s ohledem na .
Intuice za tímto výsledkem spočívá v tom, že pokud jde o proměnnou X je vlastně čas, pak prohlášení znamená, že Lagrangian je nezávislý na čase. Podle Noetherova věta, existuje související konzervované množství. V tomto případě je tato veličina hamiltoniánská, legendární transformace Lagrangeovy, která se (často) shoduje s energií systému. To je (minus) konstanta v Beltramiho identitě.
Euler-Poissonova rovnice
Li závisí na vyšších derivátech , tedy pokud
pak musí uspokojit Eulera -jed rovnice,
Du Bois-Reymondova věta
Dosavadní diskuse předpokládala, že extremální funkce mají dvě spojité derivace, i když existuje integrál J vyžaduje pouze první derivace zkušebních funkcí. Podmínku, že první variace zmizí u extrému, lze považovat za a Slabá forma Euler-Lagrangeovy rovnice. Věta Du Bois-Reymond tvrdí, že tato slabá forma implikuje silnou formu. Li L má spojité první a druhé derivace s ohledem na všechny své argumenty, a pokud
pak má dva spojité deriváty a splňuje Euler-Lagrangeovu rovnici.
Lavrentievův fenomén
Hilbert byl první, kdo vytvořil dobré podmínky pro Euler-Lagrangeovy rovnice, aby poskytly stacionární řešení. V konvexní oblasti a pozitivně třikrát diferencovatelném Lagrangianovi jsou řešení složena z počitatelné kolekce řezů, které buď procházejí hranicí, nebo splňují Euler-Lagrangeovy rovnice v interiéru.
nicméně Lavrentiev v roce 1926 ukázal, že existují okolnosti, kdy neexistuje optimální řešení, ale k jednomu lze přiblížit libovolně úzce rostoucím počtem sekcí. Fenomén Lavrentiev identifikuje rozdíl v infimu problému minimalizace napříč různými třídami přípustných funkcí. Například následující problém, který předložila Manià v roce 1934:[18]
Jasně, minimalizuje funkčnost, ale najdeme jakoukoli funkci dává hodnotu ohraničenou od infimum!
Příklady (v jednorozměru) se tradičně projevují napříč a , ale Ball a Mizel[19] pořídil první funkcionalitu, která zobrazovala Lavrentievův Fenomén napříč a pro Existuje několik výsledků, které dávají kritéria, podle nichž se jev nevyskytuje - například „standardní růst“, Lagrangeova bez závislosti na druhé proměnné nebo přibližná posloupnost splňující Cesariho podmínku (D) - ale výsledky jsou často konkrétní a použitelné pro malou třídu funkcionářů.
S fenoménem Lavrentiev je spojena vlastnost odpuzování: každá funkce zobrazující fenomén Lavrentiev bude zobrazovat vlastnost slabého odpuzování.[20]
Funkce několika proměnných
Například pokud φ (X,y) označuje posun membrány nad doménou D v X,y rovina, pak je její potenciální energie úměrná její povrchové ploše:
Problém náhorní plošiny spočívá v nalezení funkce, která minimalizuje povrchovou plochu za předpokladu předepsaných hodnot na hranici D; řešení se nazývají minimální povrchy. Euler-Lagrangeova rovnice pro tento problém je nelineární:
Podrobnosti viz Courant (1950).
Dirichletův princip
Často postačuje uvažovat pouze s malými posuny membrány, jejichž energetický rozdíl od žádného posunu se přibližuje o
Funkční PROTI je třeba minimalizovat mezi všemi zkušebními funkcemi φ, které předpokládají předepsané hodnoty na hranici D. Li u je minimalizační funkce a proti je libovolná plynulá funkce, která mizí na hranici D, pak první variace musí zmizet:
Za předpokladu, že u má dva deriváty, můžeme použít divergenční větu k získání
kde C je hranice D, s je podélná délka C a je normální derivát u na C. Od té doby proti zmizí C a první variace zmizí, výsledek je
pro všechny plynulé funkce v, které zmizí na hranici D. Důkaz pro případ jednorozměrných integrálů lze přizpůsobit tomuto případu, aby to ukázal
- v D.
Potíž s tímto uvažováním je v předpokladu, že minimalizační funkce u musí mít dva deriváty. Riemann tvrdil, že existence hladké minimalizační funkce byla zajištěna spojením s fyzickým problémem: membrány skutečně předpokládají konfigurace s minimální potenciální energií. Riemann tuto myšlenku pojmenoval Dirichletův princip na počest svého učitele Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Weierstrass však uvedl příklad variačního problému bez řešení: minimalizovat
mezi všemi funkcemi φ které uspokojují a lze provést libovolně malou volbou po částech lineárních funkcí, které provedou přechod mezi −1 a 1 v malém sousedství počátku. Neexistuje však žádná funkce .[k] Nakonec se ukázalo, že Dirichletův princip je platný, ale vyžaduje sofistikované použití teorie pravidelnosti pro eliptické parciální diferenciální rovnice; viz Jost a Li – Jost (1998).
Zobecnění na jiné okrajové problémy
Obecnější výraz pro potenciální energii membrány je
To odpovídá vnější hustotě síly v D, vnější síla na hranici Ca elastické síly s modulem jednající na C. Funkce, která minimalizuje potenciální energii bez omezení hraničních hodnot bude označen u. Pokud F a G jsou spojité, teorie pravidelnosti znamená, že funkce minimalizace u bude mít dva deriváty. Při převzetí první varianty nemusí být na přírůstek uložena žádná okrajová podmínka proti. První variace darováno
Použijeme-li větu o divergenci, výsledek je
Pokud jsme poprvé nastavili proti = 0 zapnuto C, hraniční integrál mizí a my docházíme k závěru, jako předtím
v D. Pokud to dovolíme proti předpokládat libovolné hraniční hodnoty, to znamená, že u musí splňovat okrajovou podmínku
na C. Tato okrajová podmínka je důsledkem minimalizační vlastnosti u: není uložena předem. Takovým podmínkám se říká přirozené okrajové podmínky.
Předchozí úvaha není platná, pokud zmizí stejně C. V takovém případě bychom mohli povolit zkušební funkci , kde C je konstanta. Pro takovou zkušební funkci
Vhodným výběrem C, PROTI může převzít jakoukoli hodnotu, pokud množství uvnitř závorek nezmizí. Variační problém proto nemá smysl, pokud
Tato podmínka znamená, že čisté vnější síly na systém jsou v rovnováze. Pokud jsou tyto síly v rovnováze, pak má variační problém řešení, ale není ojedinělé, protože lze přidat libovolnou konstantu. Další podrobnosti a příklady jsou v Courant a Hilbert (1953).
Problémy s vlastním číslem
Jednorozměrné i vícerozměrné problémy s vlastním číslem lze formulovat jako variační problémy.
Problémy Sturm – Liouville
Problém vlastní hodnoty Sturm – Liouville zahrnuje obecnou kvadratickou formu
kde je omezeno na funkce, které splňují okrajové podmínky
Nechat R být normalizační integrál
Funkce a musí být všude pozitivní a ohraničení od nuly. Primárním variačním problémem je minimalizace poměru Q/R mezi všemi φ splňujícími podmínky koncového bodu. Níže je ukázáno, že Euler-Lagrangeova rovnice pro minimalizaci u je
kde λ je kvocient
Je možné ukázat (viz Gelfand a Fomin 1963), že minimalizace u má dva deriváty a splňuje Euler-Lagrangeovu rovnici. Přidružené λ bude označeno ; je to nejnižší vlastní hodnota pro tuto rovnici a okrajové podmínky. Přidružená funkce minimalizace bude označena . Tato variační charakterizace vlastních čísel vede k Rayleigh – Ritzova metoda: vyberte přibližný u jako lineární kombinace základních funkcí (například trigonometrické funkce) a provést mezi těmito lineárními kombinacemi konečně-dimenzionální minimalizaci. Tato metoda je často překvapivě přesná.
Další nejmenší vlastní číslo a vlastní funkci lze získat minimalizací Q pod dalším omezením
Tento postup lze rozšířit a získat tak úplnou posloupnost vlastních čísel a vlastních funkcí problému.
Variační problém platí také pro obecnější okrajové podmínky. Místo toho, abychom požadovali, aby φ zmizelo v koncových bodech, nemůžeme vložit do koncových bodů žádnou podmínku a nastavit
kde a jsou libovolné. Pokud jsme nastavili první variace pro poměr je
kde λ je dáno poměrem po integraci po částech,
Pokud to nejprve požadujeme proti zmizí v koncových bodech, první varianta zmizí pro všechny takové proti jen když
Li u splňuje tuto podmínku, pak první variace zmizí pro libovolné proti jen když
Tyto poslední podmínky jsou přirozené okrajové podmínky pro tento problém, protože nejsou uloženy na zkušební funkce pro minimalizaci, ale jsou naopak důsledkem minimalizace.
Problémy s vlastním číslem v několika dimenzích
Problémy vlastních čísel ve vyšších dimenzích jsou definovány analogicky s jednorozměrným případem. Například vzhledem k doméně D s hranicí B můžeme definovat ve třech rozměrech
a
Nechat u být funkcí, která minimalizuje podíl bez podmínky předepsané na hranici B. Euler-Lagrangeova rovnice splněna u je
kde
Minimalizace u musí také splňovat přirozenou okrajovou podmínku
na hranici B. Tento výsledek závisí na teorii pravidelnosti pro eliptické parciální diferenciální rovnice; podrobnosti viz Jost a Li – Jost (1998). Mnoho rozšíření, včetně výsledků úplnosti, asymptotických vlastností vlastních čísel a výsledků týkajících se uzlů vlastních funkcí, jsou v Courant a Hilbert (1953).
Aplikace
Optika
Fermatův princip uvádí, že světlo prochází cestou, která (lokálně) minimalizuje optickou délku mezi svými koncovými body. Pokud X-coordinate je vybrán jako parametr podél cesty a podél dráhy, pak je optická délka dána vztahem
kde index lomu záleží na materiálu. Pokud to zkusíme pak první variace z A (derivát A vzhledem k ε) je
Po integraci částmi prvního členu v závorkách získáme Euler-Lagrangeovu rovnici
Světelné paprsky lze určit integrací této rovnice. Tento formalismus se používá v kontextu Lagrangeova optika a Hamiltonova optika.
Snellov zákon
Když světlo vstupuje do čočky nebo ji opouští, dochází k diskontinuitě indexu lomu. Nechat
kde a jsou konstanty. Pak platí Euler-Lagrangeova rovnice jako dříve v oblasti, kde X<0 nebo X> 0 a ve skutečnosti je tam přímka, protože index lomu je konstantní. Na X=0, F musí být spojitý, ale F' může být přerušovaný. Po integraci po částech v samostatných oblastech a použití Euler-Lagrangeových rovnic má první varianta podobu
Násobení faktoru je sinus úhlu dopadajícího paprsku s X osa a násobící faktor je sinus úhlu lomeného paprsku s X osa. Snellov zákon pro lom vyžaduje, aby tyto pojmy byly stejné. Jak tento výpočet ukazuje, Snellův zákon je ekvivalentní zmizení první variace délky optické dráhy.
Fermatův princip ve třech rozměrech
Je účelné použít vektorovou notaci: let nechat t být parametrem, ať být parametrickým vyjádřením křivky Ca nechte být jeho tečným vektorem. Optická délka křivky je dána vztahem
Všimněte si, že tento integrál je neměnný vzhledem ke změnám v parametrickém znázornění C. Euler-Lagrangeovy rovnice pro minimalizující křivku mají symetrický tvar
kde
Z definice vyplývá, že P splňuje
Proto může být integrál také zapsán jako
Tato forma naznačuje, že pokud můžeme najít funkci ψ, jejíž gradient je dán P, pak integrál A je dáno rozdílem ψ v koncových bodech intervalu integrace. Problém studia křivek, díky nimž je integrál stacionární, tedy může souviset se studiem rovinných ploch ψ. Abychom našli takovou funkci, obrátíme se na vlnovou rovnici, která řídí šíření světla. Tento formalismus se používá v kontextu Lagrangeova optika a Hamiltonova optika.
Souvislost s vlnovou rovnicí
The vlnová rovnice pro nehomogenní médium je
kde C je rychlost, na které obecně závisí X. Vlnové fronty pro světlo jsou charakteristické povrchy pro tuto parciální diferenciální rovnici: splňují
Můžeme hledat řešení ve formě
V takovém případě ψ vyhovuje
kde Podle teorie parciální diferenciální rovnice prvního řádu, pokud pak P splňuje
podél soustavy křivek (světelné paprsky), které jsou dány
Tyto rovnice pro řešení parciální diferenciální rovnice prvního řádu jsou identické s Euler-Lagrangeovými rovnicemi, pokud provedeme identifikaci
Dospěli jsme k závěru, že funkce ψ je hodnotou minimalizačního integrálu A jako funkce horního koncového bodu. To znamená, že když je sestrojena rodina minimalizujících křivek, hodnoty optické délky splňují charakteristickou rovnici odpovídající vlnové rovnici. Řešení související parciální diferenciální rovnice prvního řádu je tedy ekvivalentní hledání rodin řešení variační úlohy. Toto je základní obsah Teorie Hamilton – Jacobi, což platí pro obecnější variační problémy.
Mechanika
V klasické mechanice je akce, S, je definován jako časový integrál Lagrangeovy, L. Lagrangián je rozdíl energií,
kde T je Kinetická energie mechanického systému a U své potenciální energie. Hamiltonův princip (nebo princip akce) uvádí, že pohyb konzervativního holonomického (integrovatelného omezení) mechanického systému je takový, že akce integrální
je stacionární s ohledem na variace v cestě X(tEuler-Lagrangeovy rovnice pro tento systém jsou známé jako Lagrangeovy rovnice:
a jsou ekvivalentní Newtonovým pohybovým rovnicím (pro takové systémy).
Konjugovaná hybnost P jsou definovány
Například pokud
pak
Hamiltoniánská mechanika výsledky, pokud jsou konjugované hybnosti zavedeny místo legendární transformací Lagrangeovy L do Hamiltonian H definován
Hamiltonian je celková energie systému: H = T + UAnalogie s Fermatovým principem naznačuje, že řešení Lagrangeových rovnic (trajektorie částic) lze popsat pomocí rovinných ploch nějaké funkce X. Tato funkce je řešením Hamiltonova-Jacobiho rovnice:
Další aplikace
Mezi další aplikace variačního počtu patří:
- Odvození řetězovka tvar
- Řešení Newtonův problém s minimálním odporem
- Řešení brachistochrone problém
- Řešení izoperimetrický problémy
- Výpočet geodetika
- Nález minimální povrchy a řešení Problém náhorní plošiny
- Optimální ovládání
Variace a dostatečná podmínka pro minimum
Variační počet se týká variací funkcionálů, což jsou malé změny hodnoty funkcionálu kvůli malým změnám ve funkci, která je jeho argumentem. The první variace[l] je definována jako lineární část změny funkční a druhá variace[m] je definována jako kvadratická část.[22]
Například pokud J[y] je funkční s funkcí y = y(X) jako jeho argument a v jeho argumentu je malá změna y na y + h, kde h = h(X) je funkce ve stejném funkčním prostoru jako y, pak je příslušná změna funkčnosti
Funkční J[y] se říká, že je rozlišitelný -li
kde φ[h] je lineární funkční,[Ó] || h || je normou h,[p] a ε → 0 tak jako || h || → 0. Lineární funkční φ[h] je první variantou J[y] a je označen,[26]
Funkční J[y] se říká, že je dvakrát diferencovatelné -li
kde φ1[h] je lineární funkce (první varianta), φ2[h] je kvadratická funkce,[q] a ε → 0 tak jako || h || → 0. Kvadratická funkce φ2[h] je druhou variantou J[y] a je označen,[28]
Druhá variace δ2J[h] se říká, že je silně pozitivní -li
pro všechny h a pro nějakou konstantu k > 0 .[29]
Pomocí výše uvedených definic, zejména definic první variace, druhé variace a silně pozitivních, lze určit následující dostatečnou podmínku pro minimum funkcionálu.
Viz také
- První variace
- Izoperimetrická nerovnost
- Variační princip
- Variační dvojkomplex
- Fermatův princip
- Zásada nejméně akce
- Nekonečně dimenzionální optimalizace
- Funkční analýza
- Ekelandův variační princip
- Inverzní problém pro Lagrangeovy mechaniky
- Problém s překážkou
- Poruchové metody
- Mladý opatření
- Optimální ovládání
- Přímá metoda variačního počtu
- Noetherova věta
- De Donder – Weylova teorie
- Variační Bayesovské metody
- Chaplyginův problém
- Nehari potrubí
- Princip Hu – Washizu
- Lukův variační princip
- Věta o horském průsmyku
- Kategorie: Variační analytici
- Opatření centrální tendence jako řešení variačních problémů
- Medaile Stampacchia
- Fermatova cena
- Pohodlný vektorový prostor
Poznámky
- ^ Zatímco elementární počet je o nekonečně malé změny hodnot funkcí beze změn samotné funkce, variační počet je o nekonečně malých změnách samotné funkce, které se nazývají variace.[1]
- ^ Vidět Harold J. Kushner (2004): týkající se dynamického programování, „Variační počet měl související myšlenky (např. dílo Caratheodory, Hamiltonova-Jacobiho rovnice). To vedlo ke konfliktům s komunitou variačního počtu.“
- ^ Sousedství F je část daného funkčního prostoru, kde | y − F|
přes celou doménu funkcí, s h kladné číslo, které určuje velikost okolí.[10] - ^ Všimněte si rozdílu mezi pojmy extremální a extremum. Extrém je funkce, díky níž je funkčnost extrémem.
- ^ Pro dostatečnou podmínku viz část Variace a dostatečná podmínka pro minimum.
- ^ Následující derivace Euler-Lagrangeovy rovnice odpovídá derivaci na stranách 184–185 Courant & Hilbert (1953).[14]
- ^ Všimněte si, že η (x) a f (x) jsou hodnoceny na stejný hodnoty X, což neplatí obecněji ve variačním počtu s neholonomními omezeními.
- ^ Produkt εΦ ′ (0) se nazývá první variace funkcionálu J a je označen δJ. Některé odkazy definují první variace differently by leaving out the ε faktor.
- ^ Note that assuming y is a function of x loses generality; ideally both should be a function of some other parameter. This approach is good solely for instructive purposes.
- ^ As a historical note, this is an axiom of Archimedes. Viz např. Kelland (1843).[15]
- ^ The resulting controversy over the validity of Dirichlet's principle is explained by Turnbull.[21]
- ^ The first variation is also called the variation, differential, or first differential.
- ^ The second variation is also called the second differential.
- ^ Všimněte si, že Δ J[h] and the variations below, depend on both y a h. Argument y has been left out to simplify the notation. Například, Δ J[h] could have been written Δ J[y ; h].[23]
- ^ Funkční φ[h] se říká, že je lineární -li φ[αh] = α φ[h] a φ[h1 +h2] = φ[h1] + φ[h2] , kde h, h1, h2 are functions and α je skutečné číslo.[24]
- ^ Pro funkci h = h(X) that is defined for A ≤ X ≤ b, kde A a b are real numbers, the norm of h is its maximum absolute value, i.e. ||h|| = max |h(X)| pro A ≤ X ≤ b.[25]
- ^ A functional is said to be kvadratický if it is a bilinear functional with two argument functions that are equal. A bilinear functional is a functional that depends on two argument functions and is linear when each argument function in turn is fixed while the other argument function is variable.[27]
- ^ For other sufficient conditions, see in Gelfand & Fomin 2000,
- Kapitola 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum" – Sufficient conditions for a weak minimum are given by the theorem on p. 116.
- Kapitola 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum" – Sufficient conditions for a strong minimum are given by the theorem on p. 148.
- ^ One may note the similarity to the sufficient condition for a minimum of a function, where the first derivative is zero and the second derivative is positive.
Reference
- ^ A b Courant & Hilbert 1953, str. 184
- ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Variační počet (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 3. ISBN 978-0486414485.
- ^ A b Thiele, Rüdiger (2007). "Euler and the Calculus of Variations". In Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: Život, práce a dědictví. Elsevier. p. 249. ISBN 9780080471297.
- ^ Goldstine, Herman H. (2012). A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Springer Science & Business Media. p. 110. ISBN 9781461381068.
- ^ A b C van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.
- ^ A b Ferguson, James (2004). "Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications". arXiv:math/0402357.
- ^ Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
- ^ Bellman, Richard E. (1954). "Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations". Proc. Natl. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. Bibcode:1954PNAS...40..231B. doi:10.1073/pnas.40.4.231. PMC 527981. PMID 16589462.
- ^ „Richard E. Bellman Control Heritage Award“. Americká rada pro automatické řízení. 2004. Citováno 2013-07-28.
- ^ Courant, R; Hilbert, D (1953). Metody matematické fyziky. Já (První anglické vydání.). New York: Interscience Publishers, Inc. p. 169. ISBN 978-0471504474.
- ^ Gelfand & Fomin 2000, s. 12–13
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 13
- ^ Gelfand & Fomin 2000, s. 14–15
- ^ Courant, R.; Hilbert, D. (1953). Metody matematické fyziky. Já (První anglické vydání.). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
- ^ Kelland, Philip (1843). Lectures on the principles of demonstrative mathematics. p. 58 – via Google Books.
- ^ Weisstein, Eric W. "Euler–Lagrange Differential Equation". mathworld.wolfram.com. Wolfram. Rov. (5).
- ^ Kot, Mark (2014). „Kapitola 4: Základní zobecnění“. První kurz variačního počtu. Americká matematická společnost. ISBN 978-1-4704-1495-5.
- ^ Manià, Bernard (1934). "Sopra un esempio di Lavrentieff". Bollenttino dell'Unione Matematica Italiana. 13: 147–153.
- ^ Ball & Mizel (1985). "One-dimensional Variational problems whose Minimizers do not satisfy the Euler-Lagrange equation". Archiv pro racionální mechaniku a analýzu. 90 (4): 325–388. Bibcode:1985ArRMA..90..325B. doi:10.1007/BF00276295. S2CID 55005550.
- ^ Ferriero, Alessandro (2007). "The Weak Repulsion property". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 88 (4): 378–388. doi:10.1016/j.matpur.2007.06.002.
- ^ Turnbull. "Riemann biography". UK: U. St. Andrew.
- ^ Gelfand & Fomin 2000, pp. 11–12, 99
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 12, footnote 6
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 8
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 6
- ^ Gelfand & Fomin 2000, s. 11–12
- ^ Gelfand & Fomin 2000, s. 97–98
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 99
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 100
- ^ Gelfand & Fomin 2000, str. 100, Theorem 2
Další čtení
- Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". Recenze SIAM 59(4) (2017), 703–766.
- Bolza, O.: Přednášky o variačním počtu. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
- Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
- Clegg, J.C.: Variační počet, Interscience Publishers Inc., 1968.
- Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
- Dacorogna, Bernard: "Úvod " Introduction to the Calculus of Variations, 3. vydání. 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0.
- Elsgolc, L.E.: Variační počet, Pergamon Press Ltd., 1962.
- Forsyth, A.R.: Variační počet, Dover, 1960.
- Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
- Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 a ISBN 978-3-662-06201-2
- Jost, J. and X. Li-Jost: Variační počet. Cambridge University Press, 1998.
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
- Logan, J. David: Aplikovaná matematika, 3. vydání. Wiley-Interscience, 2006
- Pike, Ralph W. "Chapter 8: Calculus of Variations". Optimalizace pro inženýrské systémy. Louisianská státní univerzita. Archivovány od originál on 2007-07-05.
- Roubicek, T.: "Variační počet ". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp. 551–588.
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
- Weinstock, Robert: Variační počet s aplikacemi ve fyzice a inženýrství, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).
externí odkazy
- Variační počet. Encyclopedia of Mathematics.
- variační počet. PlanetMath.
- Variační počet. MathWorld.
- Variační počet. Example problems.
- Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Přednášky na Youtube.
- Selected papers on Geodesic Fields. Část I., Část II.