De Donder – Weylova teorie - De Donder–Weyl theory - Wikipedia

v matematická fyzika, De Donder – Weylova teorie je zobecněním Hamiltonovský formalizmus v variační počet a klasická teorie pole přes vesmírný čas který zpracovává prostorové a časové souřadnice na stejném základě. V tomto rámci Hamiltonovský formalizmus v mechanika je zobecněn na teorii pole tak, že a pole je reprezentován jako systém, který se mění jak v prostoru, tak v čase. Toto zobecnění se liší od kanonický Hamiltonovský formalizmus v teorii pole, která zachází s prostorovými a časovými proměnnými odlišně a popisuje klasická pole jako nekonečně dimenzionální systémy vyvíjející se v čase.

De Donder – Weylovy rovnice:

De Donder – Weylova formulace teorie pole

Teorie De Donder – Weyl je založena na změně proměnných známých jako Legendární transformace. Nechat Xi být vesmírný čas souřadnice, pro i = 1 až n (s n = 4 představující 3 + 1 rozměry prostoru a času) a yA proměnné pole, pro A = 1 až m, a L the Lagrangeova hustota

S polymomenta piA definováno jako

a De Donder – Weyl Hamiltonovská funkce H definováno jako

the De Donder – Weylovy rovnice jsou:[1]

Tato De Donder-Weyl Hamiltonovská forma polních rovnic je kovariantní a je ekvivalentní s Euler-Lagrangeovy rovnice při transformaci Legendre na proměnné piA a H není singulární. Teorie je formulací a kovarianční Hamiltonovská teorie pole který se liší od kanonický Hamiltonovský formalizmus a pro n = 1 se snižuje na Hamiltoniánská mechanika (viz také akční princip v variačním počtu ).

Hermann Weyl v roce 1935 vyvinula Hamiltonova-Jacobiho teorie pro teorii De Donder – Weyl.[2]

Podobně jako Hamiltonovský formalizmus v mechanice formulované pomocí symplektická geometrie z fázový prostor teorii De Donder-Weyla lze formulovat pomocí multisymplektická geometrie nebo polysymplektická geometrie a geometrie svazky trysek.

Zobecnění Poissonovy závorky k De Donder-Weylově teorii a reprezentaci De Donder-Weylových rovnic z hlediska zobecněného Poissonovy závorky uspokojení Gerstenhaberova algebra byl nalezen Kanatchikovem v roce 1993.[3]

Dějiny

Formalismus, nyní známý jako teorie De Donder – Weyl (DW), vyvinul Théophile De Donder[4][5] a Hermann Weyl. Hermann Weyl přednesl svůj návrh v roce 1934 a byl inspirován prací Constantin Carathéodory, který byl zase založen na díle Vito Volterra. Práce De Donder na druhé straně vycházela z teorie integrálu invarianty z Élie Cartan.[6] Teorie De Donder – Weyl je součástí variačního počtu od 30. let a zpočátku našla jen velmi málo aplikací ve fyzice. Nedávno byl aplikován v teoretické fyzice v kontextu kvantová teorie pole[7] a kvantová gravitace.[8]

V roce 1970 Jedrzej Śniatycki, autor Geometrická kvantizace a kvantová mechanika, vyvinuli invariantní geometrickou formulaci svazky trysek, navazující na práci De Dondera a Weyla.[9] V roce 1999 Igor Kanatchikov ukázal, že Hamiltonovy polní rovnice De Donder-Weylovy kovarianty lze formulovat z hlediska Matice Duffin – Kemmer – Petiau.[10]

Viz také

Další čtení

  • Vybrané příspěvky na GEODESIC FIELDS, Přeložil a upravil D. H. Delphenich. Část 1 [2], Část 2 [3]
  • H.A. Kastrup, Kanonické teorie lagrangeových dynamických systémů ve fyzice, Physics Reports, svazek 101, čísla 1–2, strany 1-167 (1983).
  • Mark J. Gotay, James Isenberg, Jerrold E. Marsden, Richard Montgomery: „Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Část I: Covariant Field Theory“ arXiv:fyzika / 9801019
  • Cornelius Paufler, Hartmann Römer: De Donder – Weylovy rovnice a multisymplektická geometrie, Reports on Mathematical Physics, sv. 49 (2002), č. 5 2–3, s. 325–334
  • Krzysztof Maurin: Riemannovo dědictví: Riemannovy myšlenky v matematice a fyzice, Část II, kapitola 7.16 Polní teorie pro variační počet pro více integrálůKluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-4636-X, 1997, str. 482 a násl.

Reference

  1. ^ Hanno Rund, „Hamiltonova-Jacobiho teorie v variačním počtu: její role v matematice a fyzice“, Van Nostrand, Reinhold, 1966.
  2. ^ Hermann Weyl, „Geodetická pole v variačním počtu pro více integrálů“, Ann. Matematika. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
  3. ^ Igor V. Kanatchikov: O kanonické struktuře De Donder – Weylovské kupiánské hamiltonovské formulace teorie pole I. Stupňované Poissonovy závorky a pohybové rovnice, arXiv: hep-th / 9312162v1 (předloženo 20. prosince 1993).
  4. ^ Théophile De Donder, „Théorie invariantive du calcul des variací“, Gauthier-Villars, 1930. [1]
  5. ^ Frédéric Hélein: Hamiltonovské formalizmy pro vícerozměrný variační počet a poruchovou teorii V Haïm Brézis, Felix E. Browder, Abbas Bahri, Sergiu Klainerman, Michael Vogelius (reklamy): Nekompaktní problémy na křižovatce geometrie, analýzy a topologie, American Mathematical Society, 2004, s. 127–148, str. 131, ISBN  0-8218-3635-8,
  6. ^ Roger Bielawski, Kevin Houston, Martin Speight: Variační problémy v diferenciální geometrii, Série přednášek k matematické společnosti London Mathematical Society, č. 394, University of Leeds, 2009, ISBN  978-0-521-28274-1, str. 104 f.
  7. ^ Igor V. Kanatchikov: De Donder – Weylova teorie a hyperkomplexní rozšíření kvantové mechaniky k teorii pole, arXiv: hep-th / 9810165v1 (předloženo 21. října 1998)
  8. ^ I.V. Kanatchikov: Precanonical Quantum Gravity: quantization without the space-time decomposition, arXiv: gr-qc / 0012074 (předloženo 20. prosince 2000)
  9. ^ Jedrzej Śniatycki, 1970. Citováno po: Yvette Kosmann-Schwarzbach: Noetherovy věty: Zákony o proměně a ochraně v 20. století, Springer, 2011, ISBN  978-0-387-87867-6, str. 111
  10. ^ Igor V. Kanatchikov: Na Duffin – Kemmer – Petiauově formulaci kovarianční hamiltonovské dynamiky v teorii pole, arXiv: hep-th / 9911 / 9911175v1 (předloženo 23. listopadu 1999)