Hamiltonova optika - Hamiltonian optics

Hamiltonova optika^[1] a Lagrangeova optika^[2] jsou dvě formulace geometrická optika které sdílejí většinu matematického formalismu s Hamiltoniánská mechanika a Lagrangian mechanika.

Hamiltonův princip

v fyzika, Hamiltonův princip uvádí, že vývoj systému ${ displaystyle left (q_ {1} left ( sigma right), cdots, q_ {N} left ( sigma right) right)}$ popsal ${ displaystyle N}$ zobecněné souřadnice mezi dvěma zadanými stavy při dvou zadaných parametrech σ_A a σ_B je stacionární bod (bod, kde variace je nula), z akce funkční nebo

${ displaystyle delta S = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} L left (q_ {1}, cdots, q_ {N}, { dot { q}} _ {1}, cdots, { dot {q}} _ {N}, sigma right) , d sigma = 0}$

kde ${ displaystyle { dot {q}} _ {k} = dq_ {k} / d sigma}$. Stav ${ displaystyle delta S = 0}$ platí tehdy a jen tehdy, pokud jsou splněny Euler-Lagrangeovy rovnice

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné q_ {k}}} - { frac {d} {d sigma}} { frac { částečné L} { částečné { dot {q} } _ {k}}} = 0}$

s ${ displaystyle k = 1, cdots, N}$.

Hybnost je definována jako

${ displaystyle p_ {k} = { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}} _ {k}}}}$

a Euler-Lagrangeovy rovnice lze poté přepsat na

${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = { frac { částečné L} { částečné q_ {k}}}}$

kde ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d sigma}$.

Jiný přístup k řešení tohoto problému spočívá v definování hamiltoniánu (přijetí a Legendární transformace z Lagrangian ) tak jako

${ displaystyle H = sum _ {k} {{ dot {q}} _ {k}} p_ {k} -L}$

pro které je nová sada diferenciálních rovnic lze odvodit při pohledu na to, jak celkový rozdíl z Lagrangian záleží na parametru σ, pozice ${ displaystyle q_ {i} ,}$ a jejich deriváty ${ displaystyle { dot {q}} _ {i}}$ ve vztahu k σ. Tato derivace je stejná jako v Hamiltonovské mechanice, pouze s časem t nyní nahrazeno obecným parametrem σ. Tyto diferenciální rovnice jsou Hamiltonovy rovnice

${ displaystyle { frac { částečné H} { částečné q_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { částečné H} { částečné p_ {k}}} = { dot {q}} _ {k} ,, quad { frac { částečná H} { částečná sigma}} = - { částečná L nad částečná sigma} ,.}$

s ${ displaystyle k = 1, cdots, N}$. Hamiltonovy rovnice jsou prvního řádu diferenciální rovnice, zatímco Euler-Lagrangeovy rovnice jsou druhého řádu.

Lagrangeova optika

Obecné výsledky uvedené výše pro Hamiltonův princip lze použít na optiku.^[3][4] v 3D euklidovský prostor the zobecněné souřadnice jsou nyní souřadnice euklidovský prostor.

Fermatův princip

Fermatův princip uvádí, že optická délka dráhy následovaná světlem mezi dvěma pevnými body, A a B, je stacionární bod. Může to být maximum, minimum, konstanta nebo inflexní bod. Obecně platí, že jak se světlo pohybuje, pohybuje se v médiu proměnné index lomu což je skalární pole polohy ve vesmíru, tj. ${ displaystyle n = n left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right)}$ v 3D euklidovský prostor. Za předpokladu, že nyní světlo postupuje podél X₃ osu lze dráhu světelného paprsku parametrizovat jako ${ displaystyle s = left (x_ {1} left (x_ {3} right), x_ {2} left (x_ {3} right), x_ {3} right)}$ počínaje bodem ${ displaystyle mathbf {A} = left (x_ {1} left (x_ {3A} right), x_ {2} left (x_ {3A} right), x_ {3A} right)}$ a končí v bodě ${ displaystyle mathbf {B} = vlevo (x_ {1} vlevo (x_ {3B} vpravo), x_ {2} vlevo (x_ {3B} vpravo), x_ {3B} vpravo)}$. V tomto případě ve srovnání s Hamiltonův princip výše, souřadnice ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ převzít roli zobecněných souřadnic ${ displaystyle q_ {k}}$ zatímco ${ displaystyle x_ {3}}$ přebírá roli parametru ${ displaystyle sigma}$, tj. parametr σ =X₃ a N=2.

V kontextu variační počet toto lze zapsat jako^[2]

${ displaystyle delta S = delta int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = delta int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} n { frac {ds} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = delta int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} L vlevo (x_ {1}, x_ { 2}, { dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, x_ {3} right) , dx_ {3} = 0}$

kde ds je infinitezimální posunutí podél paprsku daného ${ displaystyle ds = { sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ a

${ displaystyle L = n { frac {ds} {dx_ {3}}} = n left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right) { sqrt {1 + { dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2}}}}$

je optická Lagrangeova a ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$.

The délka optické dráhy (OPL) je definován jako

${ displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} L , dx_ {3}}$

kde n je lokální index lomu jako funkce polohy podél cesty mezi body A a B.

Euler-Lagrangeovy rovnice

Obecné výsledky uvedené výše pro Hamiltonův princip lze použít na optiku pomocí Lagrangeova definovaného v Fermatův princip. Euler-Lagrangeovy rovnice s parametrem σ =X₃ a N= 2 aplikováno na Fermatův princip výsledku

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné x_ {k}}} - { frac {d} {dx_ {3}}} { frac { částečné L} { částečné { dot {x }} _ {k}}} = 0}$

s k= 1,2 a kde L je optická Lagrangeova a ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$.

Optická hybnost

Optická hybnost je definována jako

${ displaystyle p_ {k} = { frac { částečné L} { částečné { tečka {x}} _ {k}}}}$

a z definice optického Lagrangeova ${ displaystyle L = n { sqrt {1 + { dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2}}}}$ tento výraz lze přepsat jako

${ displaystyle p_ {k} = n { frac {{ dot {x}} _ {k}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x }} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} { sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} {ds}}}$

Optická hybnost

nebo ve vektorové podobě

${ displaystyle mathbf {p} = n { frac { mathbf {ds}} {ds}} = left (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3} right)}$

${ displaystyle = left (n cos alpha _ {1}, n cos alpha _ {2}, n cos alpha _ {3} right) = n mathbf { hat {e}} }$

kde ${ displaystyle mathbf { hat {e}}}$ je jednotkový vektor a úhly α₁, α₂ a α₃ jsou úhly str dělá na osu X₁, X₂ a X₃ , jak je znázorněno na obrázku „optická hybnost“. Proto je optická hybnost vektorem norma

${ displaystyle | mathbf {p} | = { sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2}}} = n}$

kde n je index lomu, při kterém str se vypočítá. Vektor str body ve směru šíření světla. Pokud se světlo šíří v a přechodový index optický dráha světelného paprsku je zakřivená a vektorová str je tečna ke světelnému paprsku.

Výraz pro délku optické dráhy lze také zapsat jako funkci optické hybnosti. S ohledem na to ${ displaystyle { dot {x}} _ {3} = dx_ {3} / dx_ {3} = 1}$ výraz pro optického Lagrangeova lze přepsat jako

${ displaystyle L = n { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = { dot {x}} _ {1} { frac {n { dot {x}} _ {1}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {2} { frac {n { dot {x}} _ {2}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ { 2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { frac {n { dot {x}} _ {3}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}}}$

${ displaystyle = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ {3 } = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}}$

a výraz pro délku optické dráhy je

${ displaystyle S = int L , dx_ {3} = int mathbf {p} cdot d mathbf {s}}$

Hamiltonovy rovnice

Podobně jako v případě Hamiltoniánská mechanika, také v optice je Hamiltonian definován daným výrazem výše pro N= 2 odpovídající funkcím ${ displaystyle x_ {1} left (x_ {3} right)}$ a ${ displaystyle x_ {2} left (x_ {3} right)}$ být odhodlán

${ displaystyle H = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} -L}$

Porovnání tohoto výrazu s ${ displaystyle L = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}}$ pro Lagrangeovy výsledky v

${ displaystyle H = -p_ {3} = - { sqrt {n ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}}}$

A odpovídající Hamiltonovy rovnice s parametrem σ =X₃ a k= 1,2 aplikované na optiku jsou^[5][6]

${ displaystyle { frac { částečné H} { částečné x_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { částečné H} { částečné p_ {k}}} = { dot {x}} _ {k}}$

s ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$ a ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}$.

Aplikace

Předpokládá se, že světlo prochází podél X₃ osa, v Hamiltonův princip výše, souřadnice ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ převzít roli zobecněných souřadnic ${ displaystyle q_ {k}}$ zatímco ${ displaystyle x_ {3}}$ přebírá roli parametru ${ displaystyle sigma}$, tj. parametr σ =X₃ a N=2.

Lom a odraz

Pokud letadlo X₁X₂ odděluje dvě média indexu lomu n_A níže a n_B nad ním je index lomu dán a kroková funkce

${ displaystyle n (x_ {3}) = { begin {cases} n_ {A} & { mbox {if}} x_ {3} <0 n_ {B} & { mbox {if}} x_ {3}> 0 end {cases}}}$

a od Hamiltonovy rovnice

${ displaystyle { frac { částečné H} { částečné x_ {k}}} = - { frac { částečné} { částečné x_ {k}}} { sqrt {n (x_ {3}) ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}} = 0}$

a proto ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = 0}$ nebo ${ displaystyle p_ {k} = { text {konstantní}}}$ pro k=1,2.

Příchozí světelný paprsek má hybnost str_A před lomem (pod rovinou X₁X₂) a hybnost str_B po lomu (nad rovinou X₁X₂). Světelný paprsek svírá úhel θ_A s osou X₃ (kolmá k lomu povrchu) před lomem a úhel θ_B s osou X₃ po lomu. Protože str₁ a str₂ složky hybnosti jsou pouze konstantní str₃ změny od str_3A na str_3B.

Lom světla

Obrázek „lom“ ukazuje geometrii tohoto lomu, od kterého ${ displaystyle d = | mathbf {p} _ {A} | sin theta _ {A} = | mathbf {p} _ {B} | sin theta _ {B}}$. Od té doby ${ displaystyle | mathbf {p} _ {A} | = n_ {A}}$ a ${ displaystyle | mathbf {p} _ {B} | = n_ {B}}$, tento poslední výraz lze zapsat jako

${ displaystyle n_ {A} sin theta _ {A} = n_ {B} sin theta _ {B}}$

který je Snellov zákon z lom světla.

Na obrázku „lom“ ukazuje kolmá plocha k lomu povrchu ve směru osy X₃, a také vektoru ${ displaystyle mathbf {v} = mathbf {p} _ {A} - mathbf {p} _ {B}}$. Normální jednotka ${ displaystyle mathbf {n} = mathbf {v} / | mathbf {v} |}$ na lomový povrch pak lze získat z hybnosti příchozích a odchozích paprsků pomocí

${ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {p} _ {A} - mathbf {p} _ {B}} { | mathbf {p} _ {A} - mathbf {p } _ {B} |}} = { frac {n_ {A} mathbf {i} -n_ {B} mathbf {r}} { | n_ {A} mathbf {i} -n_ {B } mathbf {r} |}}}$

kde i a r jsou jednotkové vektory ve směrech dopadajících a lomených paprsků. Také odchozí paprsek (ve směru ${ displaystyle mathbf {p} _ {B}}$) je obsažen v rovině definované příchozím paprskem (ve směru ${ displaystyle mathbf {p} _ {A}}$) a normální ${ displaystyle mathbf {n}}$ na povrch.

Podobný argument lze použít pro odraz při odvozování zákona z zrcadlový odraz, teprve teď s n_A=n_B, což má za následek θ_A=θ_B. Také pokud i a r jsou jednotkové vektory ve směrech dopadajícího a lomeného paprsku, příslušná normála k povrchu je dána stejným výrazem jako u lomu, pouze s n_A=n_B

${ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {i} - mathbf {r}} { | mathbf {i} - mathbf {r} |}}}$

Ve vektorové formě, pokud i je jednotkový vektor směřující ve směru dopadajícího paprsku a n je jednotka kolmá k povrchu, směru r lomeného paprsku je dán vztahem:^[3]

${ displaystyle mathbf {r} = { frac {n_ {A}} {n_ {B}}} mathbf {i} + left (- left ( mathbf {i} cdot mathbf {n} right) { frac {n_ {A}} {n_ {B}}} + { sqrt { Delta}} right) mathbf {n}}$

s

${ displaystyle Delta = 1- left ({ frac {n_ {A}} {n_ {B}}} right) ^ {2} left (1- left ( mathbf {i} cdot mathbf {n} right) ^ {2} right)}$

Li i·n<0 pak -n by měl být použit ve výpočtech. Když ${ displaystyle Delta <0}$, světlo trpí celková vnitřní reflexe a výraz pro odražený paprsek je odrazem:

${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {i} -2 left ( mathbf {i} cdot mathbf {n} right) mathbf {n}}$

Paprsky a přední strany

Z definice délky optické dráhy ${ displaystyle S = int L , dx_ {3}}$

${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné x_ {k}}} = int { frac { částečné L} { částečné x_ {k}}} , dx_ {3} = int { frac {dp_ {k}} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = p_ {k}}$

Paprsky a přední strany

s k= 1,2 kde Euler-Lagrangeovy rovnice ${ displaystyle částečné L / částečné x_ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}$ s k= 1,2 byly použity. Také od posledního z Hamiltonovy rovnice ${ displaystyle částečné H / částečné x_ {3} = - částečné L / částečné x_ {3}}$ a od ${ displaystyle H = -p_ {3}}$ výše

${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné x_ {3}}} = int { frac { částečné L} { částečné x_ {3}}} , dx_ {3} = int { frac {dp_ {3}} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = p_ {3}}$

kombinace rovnic pro složky hybnosti str výsledky v

${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$

Od té doby str je tečna vektoru ke světelným paprskům, povrchům S= Konstanta musí být kolmá na tyto světelné paprsky. Tyto povrchy se nazývají vlnová čela. Obrázek „paprsky a přední vlny“ ilustruje tento vztah. Zobrazena je také optická hybnost str, tečna ke světelnému paprsku a kolmá k vlnoploše.

Vektorové pole ${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$ je konzervativní vektorové pole. The gradientní věta pak lze aplikovat na délku optické dráhy (jak je uvedeno výše ) což má za následek

${ displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} nabla S cdot d mathbf {s} = S ( mathbf {B}) -S ( mathbf {A})}$

a délka optické dráhy S vypočítané podél křivky C mezi body A a B je funkcí pouze jeho koncových bodů A a B a ne tvar křivky mezi nimi. Zejména je-li křivka uzavřená, začíná a končí ve stejném bodě, nebo A=B aby

${ displaystyle S = mast nabla S cdot d mathbf {s} = 0}$

Tento výsledek lze použít na uzavřenou cestu ABCDA jako na obrázku „délka optické dráhy“

${ displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {B}} ^ { mathbf {C}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {C}} ^ { mathbf {D}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {D}} ^ { mathbf {A}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} = 0}$

Délka optické dráhy

pro segment křivky AB optická hybnost str je kolmá na posunutí ds podél křivky ABnebo ${ displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = 0}$. Totéž platí pro segment CD. Pro segment před naším letopočtem optická hybnost str má stejný směr jako posunutí ds a ${ displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = nds}$. Pro segment DA optická hybnost str má opačný směr než posunutí ds a ${ displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = -n , ds}$. Inverzní směr integrace však tak, že integrál je převzat z A na D, ds obrátí směr a ${ displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = n , ds}$. Z těchto úvah

${ displaystyle int _ { mathbf {B}} ^ { mathbf {C}} n , ds = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {D}} n , ds}$

nebo

${ displaystyle S _ { mathbf {BC}} = S _ { mathbf {AD}}}$

a délka optické dráhy S_{před naším letopočtem} mezi body B a C podél paprsku, který je spojuje, je stejná jako délka optické dráhy S_INZERÁT mezi body A a D podél paprsku, který je spojuje. Délka optické dráhy je konstantní mezi vlnovými frontami.

Fázový prostor

Obrázek „2D fázový prostor“ ukazuje nahoře některé světelné paprsky v dvourozměrném prostoru. Tady X₂= 0 a str₂= 0, takže světlo cestuje po rovině X₁X₃ ve směrech zvyšování X₃ hodnoty. V tomto případě ${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}$ a směr světelného paprsku je zcela specifikován str₁ složka hybnosti ${ displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {3})}$ od té doby str₂= 0. Li str₁ je dáno, str₃ lze vypočítat (vzhledem k hodnotě indexu lomu n) a proto str₁ stačí k určení směru světelného paprsku. Index lomu média, kterým paprsek cestuje, je určen ${ displaystyle | mathbf {p} | = n}$.

2D fázový prostor

Například paprsek r_C protíná osu X₁ na souřadnici X_B s optickým momentem str_C, který má špičku v kruhu o poloměru n na střed X_B. Koordinovat X_B a vodorovná souřadnice str_1C hybnosti str_C úplně definovat paprsek r_C jak protíná osu X₁. Tento paprsek pak může být definován bodem r_C=(X_B,str_1C) ve vesmíru X₁str₁ jak je znázorněno ve spodní části obrázku. Prostor X₁str₁ je nazýván fázový prostor a různé světelné paprsky mohou být reprezentovány různými body v tomto prostoru.

Jako takový, paprsek r_D zobrazené nahoře představuje bod r_D ve fázovém prostoru dole. Všechny paprsky protínající osu X₁ na souřadnici X_B obsažené mezi paprsky r_C a r_D jsou reprezentovány svislou čarou spojovacích bodů r_C a r_D ve fázovém prostoru. V souladu s tím všechny paprsky procházející osou X₁ na souřadnici X_A obsažené mezi paprsky r_A a r_B jsou reprezentovány svislou čárou spojovacích bodů r_A a r_B ve fázovém prostoru. Obecně platí, že všechny paprsky procházejí osou X₁ mezi X_L a X_R jsou reprezentovány objemem R ve fázovém prostoru. Paprsky na hranici ∂R objemu R se nazývají hranové paprsky. Například na pozici X_A osy X₁paprsky r_A a r_B jsou hranové paprsky, protože všechny ostatní paprsky jsou obsaženy mezi těmito dvěma paprsky. (Paprsek rovnoběžný s x1 by nebyl mezi dvěma paprsky, protože hybnost není mezi těmito dvěma paprsky)

V trojrozměrné geometrii je optická hybnost dána vztahem ${ displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})}$ s ${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}$. Li str₁ a str₂ jsou uvedeny, str₃ lze vypočítat (vzhledem k hodnotě indexu lomu n) a proto str₁ a str₂ stačí určit směr světelného paprsku. Paprsek pohybující se podél osy X₃ je pak definováno bodem (X₁,X₂) v letadle X₁X₂ a směr (str₁,str₂). To pak může být definováno bodem ve čtyřrozměrném fázový prostor X₁X₂str₁str₂.

Zachování etendue

Obrázek „variace objemu“ ukazuje objem PROTI vázán oblastí A. Postupem času, pokud hranice A pohyby, objem PROTI se může lišit. Zejména nekonečně malá oblast dA s ven směřující jednotkou normální n pohybuje se rychlostí proti.

Objemová variace

To vede k objemové změně ${ displaystyle dV = dA ( mathbf {v} cdot mathbf {n}) dt}$. Využití Gaussova věta, časová změna celkového objemu PROTI objem pohybující se v prostoru je

${ displaystyle { frac {dV} {dt}} = int _ {A} mathbf {v} cdot mathbf {n} , dA = int _ {V} nabla cdot mathbf {v } , dV}$

Termín zcela vpravo je a objemový integrál přes hlasitost PROTI a střednědobý termín je povrchový integrál přes hranici A objemu PROTI. Taky, proti je rychlost, s jakou body v PROTI se pohybují.

V souřadnici optiky ${ displaystyle x_ {3}}$ přebírá roli času. Ve fázovém prostoru je světelný paprsek identifikován bodem ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, p_ {1}, p_ {2})}$ který se pohybuje s "rychlost " ${ displaystyle mathbf {v} = ({ dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {p}} _ {1}, { dot { p}} _ {2})}$ kde tečka představuje derivaci vzhledem k ${ displaystyle x_ {3}}$. Sada světelných paprsků se šíří ${ displaystyle dx_ {1}}$ v souřadnici ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle dx_ {2}}$ v souřadnici ${ displaystyle x_ {2}}$, ${ displaystyle dp_ {1}}$ v souřadnici ${ displaystyle p_ {1}}$ a ${ displaystyle dp_ {2}}$ v souřadnici ${ displaystyle p_ {2}}$ zabírá svazek ${ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2}}$ ve fázovém prostoru. Obecně platí, že velká sada paprsků zabírá velký objem ${ displaystyle V}$ ve fázovém prostoru Gaussova věta mohou být použity

${ displaystyle { frac {dV} {dx_ {3}}} = int _ {V} nabla cdot mathbf {v} , dV}$

a pomocí Hamiltonovy rovnice

${ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = { frac { částečné { tečka {x}} _ {1}} { částečné x_ {1}}} + { frac { částečné { tečka {x}} _ {2}} { částečné x_ {2}}} + { frac { částečné { dot {p}} _ {1}} { částečné p_ {1}}} + { frac { částečné { dot {p}} _ {2}} { částečné p_ {2}}} = { frac { částečné} { částečné x_ {1}}} { frac { částečné H} { částečné p_ {1}}} + { frac { částečné} { částečné x_ {2}}} { frac { částečné H} { částečné p_ {2}}} - { frac { částečné} { částečné p_ {1}}} { frac { částečné H} { částečné x_ {1}}} - { frac { částečné} { částečné p_ {2}}} { frac { částečné H } { částečné x_ {2}}} = 0}$

nebo ${ displaystyle dV / dx_ {3} = 0}$ a ${ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2} = { text {konstantní}}}$ což znamená, že objem fázového prostoru je zachován, jak světlo postupuje optickým systémem.

Volá se objem obsazený sadou paprsků ve fázovém prostoru etendue, která je zachována, jak paprsky světla postupují v optickém systému ve směru X₃. To odpovídá Liouvilleova věta, což platí i pro Hamiltoniánská mechanika.

Význam Liouvilleovy věty v mechanice se však poněkud liší od věty o zachování étendue. Liouvilleova věta má v zásadě statistickou povahu a odkazuje na vývoj v čase souboru mechanických systémů se stejnými vlastnostmi, ale s odlišnými počátečními podmínkami. Každý systém je reprezentován jediným bodem ve fázovém prostoru a teorém uvádí, že průměrná hustota bodů ve fázovém prostoru je konstantní v čase. Příkladem mohou být molekuly dokonalého klasického plynu v rovnováze v nádobě. Každý bod ve fázovém prostoru, který má v tomto příkladu 2N dimenze, kde N je počet molekul, představuje jeden ze souboru identických nádob, soubor dostatečně velký na to, aby umožňoval statistický průměr hustoty reprezentativních bodů. Liouvilleova věta uvádí, že pokud všechny nádoby zůstanou v rovnováze, průměrná hustota bodů zůstane konstantní.^[3]

Zobrazovací a nezobrazovací optika

Obrázek „Zachování etendue“ ukazuje vlevo schematický dvourozměrný optický systém, ve kterém X₂= 0 a str₂= 0, takže světlo cestuje po rovině X₁X₃ ve směrech zvyšování X₃ hodnoty.

Zachování etendue

Světelné paprsky procházející vstupní aperturou optiky v bodě X₁=X_Já jsou obsaženy mezi hranovými paprsky r_A a r_B představuje svislou čáru mezi body r_A a r_B ve fázovém prostoru vstupní clony (pravý dolní roh obrázku). Všechny paprsky procházející vstupní clonou jsou ve fázovém prostoru reprezentovány oblastí R_Já.

Také světelné paprsky procházející v bodě výstupním otvorem optiky X₁=X_Ó jsou obsaženy mezi hranovými paprsky r_A a r_B představuje svislou čáru mezi body r_A a r_B ve fázovém prostoru výstupní clony (pravý horní roh obrázku). Všechny paprsky protínající výstupní otvor jsou ve fázovém prostoru reprezentovány oblastí R_Ó.

Zachování etendue v optickém systému znamená, že objem (nebo plocha v tomto dvojrozměrném případě) ve fázovém prostoru obsazeném R_Já na vstupní cloně musí být stejná jako hlasitost ve fázovém prostoru obsazeném R_Ó na výstupní cloně.

V zobrazovací optice všechny světelné paprsky procházející vstupní clonou v X₁=X_Já jsou přesměrovány na výstupní otvor v X₁=X_Ó kde X_Já=m x_Ó. Tím je zajištěno, že se na vstupu vytvoří obraz vstupu se zvětšením m. Ve fázovém prostoru to znamená, že svislé čáry ve fázovém prostoru na vstupu jsou transformovány na svislé čáry na výstupu. To by byl případ svislé čáry r_A r_B v R_Já transformována na svislou čáru r_A r_B v R_Ó.

v zobrazovací optika, cílem není vytvořit obraz, ale jednoduše přenést veškeré světlo ze vstupní clony do výstupní clony. Toho je dosaženo transformací hranových paprsků ∂R_Já z R_Já k hranovým paprskům ∂R_Ó z R_Ó. Toto je známé jako princip hranového paprsku.

Zobecnění

Nahoře se předpokládalo, že světlo prochází podél X₃ osa, v Hamiltonův princip výše, souřadnice ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ převzít roli zobecněných souřadnic ${ displaystyle q_ {k}}$ zatímco ${ displaystyle x_ {3}}$ přebírá roli parametru ${ displaystyle sigma}$, tj. parametr σ =X₃ a N= 2. Jsou však možné různé parametrizace světelných paprsků, stejně jako použití zobecněné souřadnice.

Obecná parametrizace paprsku

Lze uvažovat o obecnější situaci, ve které je dráha světelného paprsku parametrizována jako ${ displaystyle s = left (x_ {1} left ( sigma right), x_ {2} left ( sigma right), x_ {3} left ( sigma right) right)}$ ve kterém σ je obecný parametr. V tomto případě ve srovnání s Hamiltonův princip výše, souřadnice ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ a ${ displaystyle x_ {3}}$ převzít roli zobecněných souřadnic ${ displaystyle q_ {k}}$ s N= 3. Přihlašování Hamiltonův princip k optice v tomto případě vede k

${ displaystyle delta S = delta int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} n { frac {ds} {d sigma}} , d sigma}$

${ displaystyle = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} L vlevo (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, { dot {x }} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {x}} _ {3}, sigma right) , d sigma = 0}$

kam teď ${ displaystyle L = nds / d sigma}$ a ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$ a pro které Euler-Lagrangeovy rovnice aplikované na tuto formu Fermatova principu vedou

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné x_ {k}}} - { frac {d} {d sigma}} { frac { částečné L} { částečné { dot {x} } _ {k}}} = 0}$

s k= 1,2,3 a kde L je optický Lagrangian. Také v tomto případě je optická hybnost definována jako

${ displaystyle p_ {k} = { frac { částečné L} { částečné { tečka {x}} _ {k}}}}$

a Hamiltonian P je definován daným výrazem výše pro N= 3 odpovídající funkcím ${ displaystyle x_ {1} left ( sigma right)}$, ${ displaystyle x_ {2} left ( sigma right)}$ a ${ displaystyle x_ {3} left ( sigma right)}$ být odhodlán

${ displaystyle P = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ { 3} -L}$

A odpovídající Hamiltonovy rovnice s k= 1,2,3 použité optiky jsou

${ displaystyle { frac { částečné H} { částečné x_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { částečné H} { částečné p_ {k}}} = { dot {x}} _ {k}}$

s ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$ a ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d sigma}$.

Optický Lagrangian je dán vztahem

${ displaystyle L = n { frac {ds} {d sigma}} = n left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right) { sqrt {{ dot {x} } _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = L vlevo (x_ { 1}, x_ {2}, x_ {3}, { dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {x}} _ {3} vpravo )}$

a výslovně nezávisí na parametru σ. Z tohoto důvodu ne všechna řešení Euler-Lagrangeových rovnic budou možné světelné paprsky, protože jejich odvození předpokládalo explicitní závislost L na σ což se v optice nestává.

Složky optické hybnosti lze získat z

${ displaystyle p_ {k} = n { frac {{ dot {x}} _ {k}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x }} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} { sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} {ds}}}$

kde ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$. Výraz pro Lagrangeovu lze přepsat jako

${ displaystyle L = n { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = { dot {x}} _ {1} { frac {n { dot {x}} _ {1}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {2} { frac {n { dot {x}} _ {2}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ { 2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {3} { frac {n { dot {x}} _ {3}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3 } ^ {2}}}}}$

${ displaystyle = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ {3 }}$

Porovnání tohoto výrazu pro L s tím pro Hamiltonian P lze dojít k závěru, že

${ displaystyle P = 0}$

Z výrazů pro komponenty ${ displaystyle p_ {k}}$ výsledků optické hybnosti

${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} left (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3} vpravo) = 0}$

Optický Hamiltonian je vybrán jako

${ displaystyle P = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} vpravo) = 0}$

ačkoli by bylo možné učinit i jiné volby.^[3][4] Hamiltonovy rovnice s k= 1,2,3 definované výše společně s ${ displaystyle P = 0}$ definovat možné světelné paprsky.

Zobecněné souřadnice

Jako v Hamiltoniánská mechanika, je také možné napsat rovnice hamiltonovské optiky ve smyslu zobecněné souřadnice ${ displaystyle left (q_ {1} left ( sigma right), q_ {2} left ( sigma right), q_ {3} left ( sigma right) right)}$, generalizovaná hybnost ${ displaystyle left (u_ {1} left ( sigma right), u_ {2} left ( sigma right), u_ {3} left ( sigma right) right)}$ a Hamiltonian P tak jako^[3][4]

${ displaystyle { frac {dq_ {1}} {d sigma}} = { frac { částečné P} { částečné u_ {1}}} quad quad { frac {du_ {1}} { d sigma}} = - { frac { částečné P} { částečné q_ {1}}}}$

${ displaystyle { frac {dq_ {2}} {d sigma}} = { frac { částečné P} { částečné u_ {2}}} quad quad { frac {du_ {2}} { d sigma}} = - { frac { částečné P} { částečné q_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dq_ {3}} {d sigma}} = { frac { částečné P} { částečné u_ {3}}} quad quad { frac {du_ {3}} { d sigma}} = - { frac { částečné P} { částečné q_ {3}}}}$

${ displaystyle P = mathbf {p} cdot mathbf {p} -n ^ {2} = 0}$

kde je optická hybnost dána vztahem

${ displaystyle mathbf {p} = u_ {1} nabla q_ {1} + u_ {2} nabla q_ {2} + u_ {3} nabla q_ {3}}$

${ displaystyle = u_ {1} | nabla q_ {1} | { frac { nabla q_ {1}} { | nabla q_ {1} |}} + u_ {2} | nabla q_ {2} | { frac { nabla q_ {2}} { | nabla q_ {2} |}} + u_ {3} | nabla q_ {3} | { frac { nabla q_ {3}} { | nabla q_ {3} |}}}$

${ displaystyle = u_ {1} a_ {1} mathbf { hat {e}} _ {1} + u_ {2} a_ {2} mathbf { hat {e}} _ {2} + u_ { 3} a_ {3} mathbf { hat {e}} _ {3}}$

a ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {2}}$ a ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {3}}$ jsou jednotkové vektory. Zvláštní případ se získá, když tyto vektory tvoří ortonormální základ, to znamená, že jsou všechny navzájem kolmé. V tom případě, ${ displaystyle u_ {k} a_ {k} / n}$ je kosinus úhlu optická hybnost ${ displaystyle mathbf {p}}$ dělá jednotkovému vektoru ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {k}}$.

Viz také

• Učební materiály související s jednoduchá jednorozměrná derivace hamiltonovské optiky na Wikiversity
• Hamiltoniánská mechanika
• Variační počet

Reference