Legendární transformace - Legendre transformation

v matematika a fyzika, Legendární transformace, pojmenoval podle Adrien-Marie Legendre, je involutivní proměna na nemovitý -hodnota konvexní funkce jedné reálné proměnné. U fyzických problémů se používá k převodu funkcí jedné veličiny (jako je poloha, tlak nebo teplota) na funkce konjugované množství (hybnost, objem a entropie). Tímto způsobem se běžně používá v klasická mechanika odvodit Hamiltonian formalismus z Lagrangian formalismus a dovnitř termodynamika odvodit termodynamické potenciály, stejně jako při řešení diferenciální rovnice několika proměnných.
Pro dostatečně plynulé funkce na skutečné linii se transformuje Legendre F* funkce F lze určit až do aditivní konstanty podmínkou, že první derivace funkcí jsou navzájem inverzní funkce. To lze vyjádřit v Eulerova derivační notace tak jako
nebo ekvivalentně jako a v Lagrangeova notace.
Zobecnění transformace Legendre na afinní prostory a nekonvexní funkce je známé jako konvexní konjugát (také nazývaná transformace Legendre – Fenchel), kterou lze použít ke konstrukci funkce konvexní obal.
Definice
Nechat Já ⊂ ℝ být interval, a F : Já → ℝ A konvexní funkce; pak jeho Legendární transformace je funkce F* : Já * → ℝ definován
Transformace je vždy dobře definována, když je konvexní.
Zobecnění na konvexní funkce F : X → ℝ na konvexní množině X ⊂ ℝn je přímočarý: f * : X* → ℝ má doménu
a je definována
kde označuje Tečkovaný produkt z X* a X.
Funkce F * se nazývá konvexní konjugát funkce F. Z historických důvodů (zakořeněných v analytické mechanice) je konjugovaná proměnná často označována str, namísto X*. Pokud je konvexní funkce F je definován na celém řádku a je všude rozlišitelný, pak
lze interpretovat jako negativ y-intercept z tečna do graf z F který má sklon str.
Legendrova transformace je aplikací dualita vztah mezi body a přímkami. Funkční vztah určený F lze reprezentovat stejně dobře jako soubor (X, y) body nebo jako sada tečných čar určených hodnotami jejich sklonu a průsečíku.
Pochopení transformace z hlediska derivátů
Pro diferencovatelné konvexní funkce na skutečné linii s invertibilní první derivací, Legendreova transformace lze určit až do aditivní konstanty podmínkou, že první derivace funkcí jsou navzájem inverzní funkce.
Nejprve si všimněte, že pokud je rozlišitelný a je kritický bod funkce , pak je supremum dosaženo při (konvexitou). Proto, .
Předpokládejme to je invertibilní a nech označit jeho inverzní. Pak pro každého , bod je jedinečný kritický bod. Vskutku, a tak Proto máme pro každého . Diferenciací s ohledem na shledáváme
Od té doby to zjednodušuje na .Jinými slovy, a jsou inverzní.
Obecně, pokud je inverzní k , pak a tak integrace poskytuje konstantu aby .
Prakticky řečeno F(X), parametrický graf xf '(X) − F(X) proti F '(X) odpovídá grafu G(str) proti str.
V některých případech (např. Termodynamické potenciály níže) se používá nestandardní požadavek, který se rovná alternativní definici F * s znaménko minus,
Vlastnosti
- Legendreova transformace konvexní funkce je konvexní.
- Ukažme si to pro případ dvojnásobně diferencovatelné F s nenulovou (a tedy pozitivní, kvůli konvexitě) dvojitou derivací.
- Pro pevné str, nechť X maximalizovat px − F(X). Pak F *(str) = px − F(X)a upozorňuje na to X záleží na str. Tím pádem,
- Derivát F je sám o sobě diferencovatelný pozitivním derivátem, a proto přísně monotónní a invertibilní.
- Tím pádem X = G(str) kde , znamenající, že G je definován tak, že .
- Všimněte si, že G je také diferencovatelné s následujícím derivátem,
- Tím pádem F *(str) = str(str) − F(G(str)) je složení diferencovatelných funkcí, tedy diferencovatelných.
- Uplatnění produktové pravidlo a řetězové pravidlo výnosy
- dávat
- tak F * je konvexní.
- Z toho vyplývá, že transformace Legendre je involuce, tj., F ** = F:
- Použitím výše uvedených rovností pro G(str), F *(str) a jeho derivát,
Příklady
Příklad 1

The exponenciální funkce má jako transformace Legendre, protože jejich příslušné první deriváty EX a ln str jsou vzájemné inverzní funkce.
Tento příklad ukazuje, že příslušná domén funkce a její legendární transformace nemusí souhlasit.
Příklad 2
Nechat F(X) = cx2 definované na ℝ, kde C > 0 je pevná konstanta.
Pro X* pevná, funkce X, X*X – F(X) = X*X – cx2 má první derivaci X* – 2cx a druhá derivace −2C; v místě je jeden stacionární bod X = X*/2C, což je vždy maximum.
Tím pádem, Já* = ℝ a
První deriváty F, 2cxa F *, X*/(2C), jsou navzájem inverzní funkce. Je zřejmé, že navíc
a to F ** = F.
Příklad 3
Nechat F(X) = X2 pro X ∈ Já = [2, 3].
Pro X* pevný, X*X − F(X) je nepřetržitě zapnuto Já kompaktní, proto to vždy trvá konečné maximum; z toho vyplývá, že Já* = ℝ.
Stacionární bod v X = X*/2 je v doméně [2, 3] kdyby a jen kdyby 4 ≤ X* ≤ 6, jinak se maximum vezme buď v X = 2nebo X = 3. Z toho vyplývá, že
Příklad 4
Funkce F(X) = cx je konvexní, pro každého X (striktní konvexita není nutná, aby byla transformace Legendre dobře definována). Jasně X*X − F(X) = (X* − C)X není nikdy omezen shora jako funkce X, pokud X* − C = 0. Proto F* je definováno na Já* = {C} a F*(C) = 0.
Jeden může zkontrolovat involutivitu: samozřejmě X*X − F*(X*) je vždy omezena jako funkce X* ∈ {C}, proto Já ** = ℝ. Pak pro všechny X jeden má
a tudíž F **(X) = cx = F(X).
Příklad 5: několik proměnných
Nechat
být definováno na X = ℝn, kde A je skutečná, pozitivní určitá matice.
Pak F je konvexní a
má sklon str − 2Sekera a Hesián −2A, což je negativní; tedy stacionární bod X = A−1str/2 je maximum.
My máme X* = ℝn, a
Chování rozdílů v Legendrových transformacích
Legendre transformace je spojena s integrace po částech, pdx = d(px) − xdp.
Nechat F být funkcí dvou nezávislých proměnných X a y, s diferenciálem
Předpokládejme, že je konvexní X pro všechny y, aby bylo možné provést Legendrovu transformaci X, s str proměnná konjugovaná na X. Protože nová nezávislá proměnná je str, diferenciály dx a dy přenést na dp a dy, tj. vytvoříme další funkci s jejím rozdílem vyjádřeným v novém základu dp a dy.
Uvažujeme tedy o funkci G(str, y) = F − px aby
Funkce -G(str, y) je legendární transformace F(X, y), kde pouze nezávislá proměnná X byl nahrazen str. Toto je široce používáno v termodynamice, jak je znázorněno níže.
Aplikace
Analytická mechanika
Legendre transformace se používá v klasická mechanika odvodit Hamiltonova formulace z Lagrangeova formulace a naopak. Typický Lagrangian má formu
kde jsou souřadnice na Rn × Rn, M je pozitivní skutečná matice a
Pro každého q pevný, je konvexní funkce , zatímco hraje roli konstanty.
Odtud tedy legendární transformace jako funkce proti je Hamiltonova funkce,
- .
V obecnějším nastavení jsou lokální souřadnice na tečný svazek potrubí . Pro každého q, je konvexní funkce tečného prostoru PROTIq. Legendre transformace dává Hamiltonian jako funkce souřadnic (str, q) z kotangenský svazek ; vnitřní produkt použitý k definování transformace Legendre je zděděn od příslušného kanonického symplektická struktura. V tomto abstraktním nastavení odpovídá transformace Legendre tautologická jedna forma.
Termodynamika
Strategie za použití Legendrových transformací v termodynamice spočívá v přechodu z funkce, která závisí na proměnné, na novou (konjugovanou) funkci, která závisí na nové proměnné, konjugátu původní. Nová proměnná je částečnou derivací původní funkce vzhledem k původní proměnné. Nová funkce je rozdíl mezi původní funkcí a součinem staré a nové proměnné. Tato transformace je obvykle užitečná, protože posune závislost např. Energie z rozsáhlá proměnná na jeho konjugovanou intenzivní proměnnou, kterou lze obvykle snadněji ovládat fyzickým experimentem.
Například vnitřní energie je explicitní funkcí rozsáhlé proměnné entropie, objem, a chemické složení
který má celkový rozdíl
Použitím (nestandardní) Legendrovy transformace vnitřní energie, U, s ohledem na objem, PROTI, je možné definovat entalpie tak jako
což je explicitní funkce tlaku, P. Entalpie obsahuje všechny stejné informace jako vnitřní energie, ale často se s ní snáze pracuje v situacích, kdy je tlak konstantní.
Rovněž je možné posunout závislost energie z rozsáhlé proměnné entropie, S, na (často pohodlnější) intenzivní proměnnou T, což má za následek Helmholtz a Gibbs volné energie. Helmholtzova volná energie, Aa Gibbsova energie, G, jsou získány provedením Legendrových transformací vnitřní energie, respektive entalpie,
Helmholtzova volná energie je často nejužitečnějším termodynamickým potenciálem, když jsou teplota a objem udržovány konstantní, zatímco Gibbsova energie je často nejužitečnější, když jsou teplota a tlak udržovány konstantní.
Příklad - variabilní kondenzátor
Jako další příklad z fyzika, zvažte paralelní desku kondenzátor, ve kterém se desky mohou vzájemně pohybovat. Takový kondenzátor by umožňoval přenos elektrické energie, která je uložena v kondenzátoru, na externí mechanickou práci prováděnou platnost působící na talíře. Jeden si může myslet, že elektrický náboj je analogický s „nábojem“ a plyn v válec, s výsledným mechanickým platnost působí na a píst.
Vypočítejte sílu na desky jako funkci X, vzdálenost, která je odděluje. Chcete-li najít sílu, spočítejte potenciální energii a poté použijte definici síly jako gradient funkce potenciální energie.
Energie uložená v kondenzátoru o kapacita C(X) a účtovat Q je
kde závislost na ploše desek, dielektrická konstanta materiálu mezi deskami, a separace X jsou abstrahovány pryč jako kapacita C(X). (U paralelního deskového kondenzátoru je to úměrné ploše desek a nepřímo úměrné oddělení.)
Síla F mezi deskami v důsledku elektrického pole je pak
Pokud není kondenzátor připojen k žádnému obvodu, pak poplatky na deskách zůstávají při pohybu konstantní a síla je záporná spád z elektrostatický energie
Předpokládejme však, že Napětí mezi deskami PROTI je udržována konstantní připojením k a baterie, což je zásobník pro nabíjení při konstantním rozdílu potenciálu; nyní poplatek je variabilní místo napětí jeho Legendre konjugát. Chcete-li najít sílu, nejprve spočítejte nestandardní Legendrovu transformaci,
Síla se nyní stává negativním gradientem této legendární transformace, stále směřující stejným směrem,
Obě konjugované energie se staly naproti sobě, jen kvůli linearita z kapacita —Jen teď Q již není konstanta. Odrážejí dvě různé cesty ukládání energie do kondenzátoru, což má za následek například stejný „tah“ mezi deskami kondenzátoru.
Teorie pravděpodobnosti
v teorie velkých odchylek, rychlostní funkce je definována jako Legendreova transformace logaritmu funkce generování momentů náhodné proměnné. Důležitou aplikací funkce rychlosti je výpočet pravděpodobností ocasu součtů i.i.d. náhodné proměnné.
Mikroekonomie
Legendární transformace přirozeně vzniká v mikroekonomie v procesu hledání zásobování S(P) určitého produktu s pevnou cenou P na trhu s vědomím nákladová funkce C(Q), tj. náklady, které má výrobce na výrobu / těžbu / atd. Q jednotky daného produktu.
Jednoduchá teorie vysvětluje tvar křivky nabídky pouze na základě nákladové funkce. Předpokládejme, že tržní cena za jednu jednotku našeho produktu je P. Pro společnost prodávající toto zboží je nejlepší strategií upravit výrobu Q aby byl maximalizován jeho zisk. Můžeme maximalizovat zisk
rozlišováním s ohledem na Q a řešení
Qopt představuje optimální množství Q zboží, které je výrobce ochoten dodat, což je skutečně samotné dodání:
- .
Pokud vezmeme v úvahu maximální zisk jako funkci ceny, , vidíme, že se jedná o Legendrovu transformaci nákladové funkce .
Geometrická interpretace
Pro přísně konvexní funkce lze transformaci Legendre interpretovat jako mapování mezi graf funkce a rodiny tečny grafu. (Pro funkci jedné proměnné jsou tečny vůbec dobře definované, ale nanejvýš nespočetně mnoho body, protože konvexní funkce je rozlišitelný vůbec, ale nanejvýš spočetně mnoho bodů.)
Rovnice přímky s sklon str a y-intercept b darováno y = px + b. Aby byla tato přímka tečná ke grafu funkce F na místě (X0, F(X0)) vyžaduje
a
Funkce je přísně monotónní jako derivát přísně konvexní funkce. Druhá rovnice může být vyřešena pro , umožňující eliminaci X0 od prvního a řešení pro y-intercept b tečny jako funkce jejího sklonu str,
Tady, označuje Legendrovu transformaci F.
The rodina tečen grafu F parametrizováno pomocí str je tedy dána
nebo, implicitně napsáno, řešením rovnice
Graf původní funkce lze z této řady čar rekonstruovat jako obálka této rodiny požadováním
Eliminující str z těchto dvou rovnic dává
Identifikace y s F(X) a rozpoznání pravé strany předchozí rovnice jako Legendrovy transformace F*, výnosy
Legendární transformace ve více než jedné dimenzi
Pro rozlišitelnou funkci se skutečnou hodnotou na otevřeno podmnožina U z Rn konjugát legendy dvojice (U, F) je definován jako dvojice (PROTI, G), kde PROTI je obraz U pod spád mapování Df, a G je funkce zapnuta PROTI dané vzorcem
kde
je skalární součin na Rn. Vícerozměrná transformace může být interpretována jako kódování konvexní obal funkce epigraf pokud jde o jeho podpůrné hyperplány.[1]
Alternativně, pokud X je vektorový prostor a Y je jeho duální vektorový prostor, pak pro každý bod X z X a y z Y, existuje přirozená identifikace kotangensní prostory T *XX s Y a T *Yy s X. Li F je skutečná diferencovatelná funkce X, pak jeho vnější derivace, df, je část kotangenský svazek T *X a jako takovou můžeme vytvořit mapu z X na Y. Podobně, pokud G je skutečná diferencovatelná funkce Y, pak dg definuje mapu z Y na X. Pokud jsou obě mapy vzájemně inverzní, říkáme, že máme Legendrovu transformaci. Pojem tautologická jedna forma se v tomto nastavení běžně používá.
Pokud funkce není diferencovatelná, lze Legendrovu transformaci ještě rozšířit a je známá jako Legendre-Fenchelova transformace. V tomto obecnějším nastavení dojde ke ztrátě několika vlastností: například transformace Legendre již není svou vlastní inverzí (pokud neexistují další předpoklady, jako konvexnost ).
Legendární transformace na potrubích
Nechat M být hladké potrubí a nechte TM označit jeho tečný svazek. Nechat L : TM → R být plynulá funkce, kterou budeme označovat jako Lagrangian. Legendární transformace L je morfismus vektorových svazků FL : TM → T*M definováno následovně. Předpokládejme to n = dim M a to U ⊆ M je graf. Pak U × Rn je graf na TMa pro jakýkoli bod (X, proti) v tomto grafu legendární transformace L je definováno
The přidružená energetická funkce je funkce E : TM → R definován
kde lomené závorky označují přirozené párování vektoru tečny a kotangenty. Legendrovu transformaci lze dále zobecnit na funkci z vektorového svazku M do jeho dvojitého svazku.[2]
Další vlastnosti
Vlastnosti změny měřítka
Legendrova transformace má následující vlastnosti měřítka: Pro A > 0,
Z toho vyplývá, že pokud je funkce homogenní stupně r pak je jeho obraz pod Legendrovou transformací homogenní funkcí stupně s, kde 1/r + 1/s = 1. (Od té doby F(X) = Xr/r, s r > 1, naznačuje F*(str) = strs/s.) Jediný monomiál, jehož stupeň je při transformaci Legendre neměnný, je kvadratický.
Chování při překladu
Chování při inverzi
Chování při lineárních transformacích
Nechat A : Rn → Rm být lineární transformace. Pro jakoukoli konvexní funkci F na Rn, jeden má
kde A* je operátor adjoint z A definován
a Af je tlačit kupředu z F podél A
Uzavřená konvexní funkce F je symetrický vzhledem k dané množině G z ortogonální lineární transformace,
kdyby a jen kdyby F* je symetrický vzhledem k G.
Infimální konvoluce
The infimální konvoluce dvou funkcí F a G je definován jako
Nechat F1, ..., Fm být správné konvexní funkce na Rn. Pak
Fenchelova nerovnost
Pro jakoukoli funkci F a jeho konvexní konjugát F * Fenchelova nerovnost (také známý jako Fenchel – Mladá nerovnost) platí pro všechny X ∈ X a str ∈ X*, tj., nezávislý X, str páry,
Viz také
- Dvojitá křivka
- Projektivní dualita
- Youngova nerovnost pro výrobky
- Konvexní konjugát
- Moreauova věta
- Integrace po částech
- Fenchelova věta o dualitě
Reference
- ^ „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 2015-03-12. Citováno 2011-01-26.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
- ^ Marsden, Jerrod E. a Ratiu, Tudor, Úvod do mechaniky a symetrie: Základní výklad klasických mechanických systémůSpringer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2, doi 10.1007 / 978-0-387-21792-5.
- Courant, Richarde; Hilbert, David (2008). Metody matematické fyziky. 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0471504399.
- Arnol'd, Vladimir Igorevič (1989). Matematické metody klasické mechaniky (2. vyd.). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
- Fenchel, W. (1949). "Na konjugovaných konvexních funkcích", Umět. J. Math 1: 73-77.
- Rockafellar, R. Tyrrell (1996) [1970]. Konvexní analýza. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.
- Zia, R. K. P .; Redish, E. F .; McKay, S. R. (2009). "Dávat smysl transformaci Legendru". American Journal of Physics. 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. Bibcode:2009AmJPh..77..614Z. doi:10.1119/1.3119512.
Další čtení
- Nielsen, Frank (01.09.2010). „Legendární transformace a informační geometrie“ (PDF). Citováno 2016-01-24.
- Touchette, Hugo (2005-07-27). „Legendre-Fenchel se transformuje v kostce“ (PDF). Citováno 2016-01-24.
- Touchette, Hugo (2006-11-21). "Prvky konvexní analýzy" (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 01.02.2016. Citováno 2016-01-24.
externí odkazy
- Legendární transformace s postavami na maze5.net
- Legendre a Legendre-Fenchel se transformují v podrobném vysvětlení na onmyphd.com