Ekelandsův variační princip - Ekelands variational principle - Wikipedia

v matematická analýza, Ekelandův variační princip, objeveno uživatelem Ivar Ekeland,^[1][2][3] je věta, která tvrdí, že pro některé existují téměř optimální řešení optimalizační problémy.

Ekelandův variační princip lze použít, když je nižší nastavena úroveň minimalizačních problémů není kompaktní, takže Bolzano – Weierstrassova věta nelze použít. Ekelandův princip se opírá o úplnost z metrický prostor.^[4]

Ekelandův princip vede k rychlému důkazu Caristiho věta o pevném bodě.^[4][5]

Ukázalo se, že Ekelandův princip je ekvivalentní úplnosti metrických prostorů.^[6]

Ekeland byl spojován s Paris Dauphine University když navrhl tuto větu.^[1]

Ekelandův variační princip

Předkola

Nechat ${ displaystyle f: X až mathbb {R} pohár {- infty, + infty }}$ být funkcí. Pak,

• ${ displaystyle operatorname {dom} f: = left {x v X: f (x) neq + infty right }}$.
• F je správně -li ${ displaystyle operatorname {dom} f neq emptyset}$ (tj. pokud F není identicky ${ displaystyle + infty}$).
• F je ohraničený níže -li ${ displaystyle inf _ {x v X} f (x)> - infty}$.
• daný ${ displaystyle x_ {0} v X}$, říkají, že F je nižší polokontinuální na ${ displaystyle x_ {0}}$ pokud pro každého ${ displaystyle y$ existuje a sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle x_ {0}}$ takhle ${ displaystyle f (x)> y}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle U}$.
• F je nižší polokontinuální pokud je nižší polokontinuální v každém bodě X.
  • Funkce je nižší polokontinuální právě tehdy ${ displaystyle {x v X: ~ f (x)> y }}$ je otevřená sada pro každého ${ displaystyle y in mathbb {R}}$; alternativně je funkce nižší polokontinuální právě tehdy, když je její nižší sady úrovní ${ displaystyle {x v X: ~ f (x) leq y }}$ jsou Zavřeno.

Výrok věty

Teorém (Ekeland):^[7] Nechat ${ displaystyle (X, d)}$ být kompletní metrický prostor a ${ displaystyle f: X až mathbb {R} pohár {+ infty }}$ vlastní (tj. ne totožně ${ displaystyle + infty}$) nižší polokontinuální funkce, která je omezena níže. Výběr ${ displaystyle epsilon> 0}$ a ${ displaystyle x_ {0} v X}$ takhle ${ displaystyle f (x_ {0}) neq + infty}$ (nebo ekvivalentně, ${ displaystyle f (x_ {0}) in mathbb {R}}$). Některé existují ${ displaystyle v v X}$ takhle

${ displaystyle f (v) leq f vlevo (x_ {0} vpravo) - epsilon d vlevo (x_ {0}, v vpravo)}$

a pro všechny ${ displaystyle x neq v}$,

${ Displaystyle f (v)$.

Důkaz věty

Definujte funkci ${ displaystyle G: X krát X až mathbb {R} pohár {+ infty }}$ podle

${ displaystyle G left (x, y right): = f (x) + epsilon d (x, y)}$

a všimněte si toho G je nižší polokontinuální (je součtem dolní polokontinuální funkce F a spojitá funkce ${ displaystyle (x, y) mapsto epsilon d (x, y)}$). Uvedeno ${ displaystyle z v X}$, definovat funkce ${ displaystyle G_ {z}: = G (z, cdot): X až mathbb {R} pohár {+ infty }}$ a ${ displaystyle G ^ {z}: = G ( cdot, z): X až mathbb {R} pohár {+ infty }}$ a definovat množinu

${ displaystyle F (z): = vlevo {y v Y: G_ {z} (y) leq f (z) vpravo } = vlevo {y v Y: f (z) + epsilon d (z, y) leq f (z) doprava }}$.

Je jednoduché to ukázat všem ${ displaystyle x v X}$,

1. ${ displaystyle F (x)}$ je uzavřen (protože ${ displaystyle G_ {x}: = G (x, cdot): X až mathbb {R} pohár {+ infty }}$ je nižší polokontinuální);
2. -li ${ displaystyle x not in operatorname {dom} f}$ pak ${ displaystyle F (x) = X}$;
3. -li ${ displaystyle x in operatorname {dom} f}$ pak ${ displaystyle x v F (x) subseteq operatorname {dom} f}$; zejména, ${ displaystyle x_ {0} in F (x_ {0}) subseteq operatorname {dom} f}$;
4. -li ${ displaystyle y v F (x)}$ pak ${ displaystyle F (y) subseteq F (x)}$.

Nechat ${ displaystyle s_ {0} = inf _ {x v F (x_ {0})} f (x)}$, což je od té doby skutečné číslo F se předpokládalo, že bude ohraničen níže. Výběr ${ displaystyle x_ {1} in F left (x_ {0} right)}$ takhle ${ displaystyle f left (x_ {1} right)$. Po definování ${ displaystyle s_ {n-1}}$ a ${ displaystyle x_ {n}}$, definovat ${ displaystyle s_ {n}: = inf _ {x v F vlevo (x_ {n} vpravo)} f (x)}$ a vybrat ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$ takhle ${ displaystyle f left (x_ {n + 1} right)$.

Dodržujte následující:

• pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$, ${ displaystyle F left (x_ {n + 1} right) subseteq F left (x_ {n} right)}$ (protože ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$, z čehož to nyní vyplývá ${ displaystyle s_ {n + 1} geq s_ {n}}$;
• pro všechny ${ displaystyle n geq 1}$, protože ${ displaystyle x_ {n + 1} in F left (x_ {n} right)}$

${ displaystyle epsilon d left (x_ {n + 1}, x_ {n} right) leq f left (x_ {n} right) -f left (x_ {n + 1} right) leq f left (x_ {n} right) -s_ {n} leq f left (x_ {n} right) -s_ {n-1} <2 ^ {- n}}$

Z toho vyplývá, že pro všechny ${ displaystyle n, p geq 1}$, ${ displaystyle d left (x_ {n + 1}, x_ {n} right) leq epsilon 2 ^ {1-n}}$, což ukazuje, že ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ je Cauchyova sekvence. Od té doby X je úplný metrický prostor, nějaké existují ${ displaystyle v v X}$ takhle ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ konverguje k proti. Od té doby ${ displaystyle x_ {m} v F vlevo (x_ {n} vpravo)}$ pro všechny ${ displaystyle m geq n}$, my máme ${ displaystyle v in operatorname {cl} F (x_ {n}) = F (x_ {n})}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$, kde zejména ${ displaystyle v in F (x_ {0})}$.

To ukážeme ${ displaystyle F left (v right) = left {v right }}$ z čehož bude vyplývat závěr věty. Nechat ${ displaystyle x ve F (v)}$ a všimněte si, že od té doby ${ displaystyle x in F (x_ {n})}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$, máme to výše ${ displaystyle epsilon d left (x, x_ {n} right) leq 2 ^ {- n}}$ a všimněte si, že to z toho vyplývá ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ konverguje k X. Od limitu ${ displaystyle left (x_ {n} right) _ {n = 0} ^ { infty}}$ je jedinečný, musíme mít ${ displaystyle x = v}$. Tím pádem ${ displaystyle F left (v right) = left {v right }}$, podle přání. Q.E.D.

Dodatky

Důsledek:^[8] Nechť (X, d) být a kompletní metrický prostor a nechte F: X → R ∪ {+ ∞} být nižší polokontinuální funkční na X to je ohraničeno níže a ne shodně se rovná + ∞. Opravit ε > 0 a bod ${ displaystyle x_ {0}}$ ∈ X takhle

${ displaystyle f left (x_ {0} right) leq varepsilon + inf _ {x in X} f (x).}$

Pak pro každého λ > 0, existuje bod proti ∈ X takhle

${ displaystyle f (v) leq f vlevo (x_ {0} vpravo),}$

${ displaystyle d left (x_ {0}, v right) leq lambda,}$

a pro všechny X ≠ proti,

${ displaystyle f (x)> f (v) - { frac { varepsilon} { lambda}} d (v, x).}$

Pamatujte, že je třeba přijmout dobrý kompromis ${ displaystyle lambda: = { sqrt { epsilon}}}$ v předchozím výsledku.^[8]

Reference

Další čtení

• Ekeland, Ivar (1979). „Nekonvexní problémy s minimalizací“. Bulletin of the American Mathematical Society. Nová řada. 1 (3): 443–474. doi:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. PAN  0526967.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kirk, William A .; Goebel, Kazimierz (1990). Témata v metrické teorii pevných bodů. Cambridge University Press. ISBN  0-521-38289-0.
• Zalinescu, C (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. River Edge, NJ London: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.CS1 maint: ref = harv (odkaz)