Mladý opatření - Young measure

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematická analýza, a Mladý opatření je parametrizován opatření který je spojen s určitými subsekvencemi dané omezené posloupnosti měřitelných funkcí. Mladá opatření mají uplatnění v EU variační počet a studium nelineární parciální diferenciální rovnice, stejně jako v různých optimalizace (nebo optimální ovládání problémy). Jsou pojmenovány po Laurence Chisholm Young kdo je však vynalezl, pokud jde o lineární funkcionály, již v roce 1937 ještě před teorie míry byl vyvinut.

Definice

Nechali jsme ${displaystyle {f_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty}}$ být omezenou sekvencí v ${displaystyle L ^ {infty} (U, mathbb {R} ^ {m})}$, kde ${displaystyle U}$ označuje otevřenou ohraničenou podmnožinu ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Pak existuje subsekvence ${displaystyle {f_ {k_ {j}}} _ {j = 1} ^ {infty} podmnožina {f_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty}}$ a téměř pro každého ${displaystyle xin U}$ A Borelova míra pravděpodobnosti ${displaystyle u _ {x}}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ takové, že pro každého ${displaystyle Fin C (mathbb {R} ^ {m})}$ my máme ${displaystyle Fcirc f_ {k_ {j}} {přesahující {ast} {ightharpoonup}} int _ {mathbb {R} ^ {m}} F (y) du _ {cdot} (y)}$ v ${displaystyle L ^ {infty} (U)}$. Opatření ${displaystyle u _ {x}}$ se nazývají Youngovy míry generované sekvencí ${displaystyle {f_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty}}$.

Příklad

Pro každou minimalizační sekvenci ${displaystyle u_ {n}}$ z ${displaystyle I (u) = int _ {0} ^ {1} (u_ {x} ^ {2} -1) ^ {2} + u ^ {2} dx}$ podléhá ${displaystyle u (0) = u (1) = 0}$ posloupnost derivátů ${displaystyle u '_ {n}}$ generuje Youngova opatření ${displaystyle u _ {x} = {frac {1} {2}} delta _ {- 1} + {frac {1} {2}} delta _ {1}}$. To zachycuje základní rysy všech minimalizujících sekvencí tohoto problému, jmenovitě vývoj jemnějších a jemnějších svahů ${displaystyle pm 1}$ (nebo blízko${displaystyle pm 1}$).

Reference

• Ball, J. M. (1989). "Verze základní věty pro Young míry". In Rascle, M .; Serre, D .; Slemrod, M. (eds.). PDE a modely kontinua fázového přechodu. Přednášky z fyziky. 344. Berlín: Springer. 207–215.
• C.Castaing, P.Raynaud de Fitte, M.Valadier (2004). Young měří v topologických prostorech. Dordrecht: Kluwer.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• L.C. Evans (1990). Slabé konvergenční metody pro nelineární parciální diferenciální rovnice. Série regionálních konferencí z matematiky. Americká matematická společnost.
• S. Müller (1999). Variační modely pro mikrostrukturu a fázové přechody. Přednášky z matematiky. Springer.
• P. Pedregal (1997). Parametrizovaná opatření a variační principy. Basilej: Birkhäuser. ISBN  978-3-0348-9815-7.
• T. Roubíček (1997). Relaxace v teorii optimalizace a variačním počtu. Berlín: W. de Gruyter. ISBN  3-11-014542-1.

• Valadier, M. (1990). „Mladá opatření“. Metody nekonvexní analýzy. Přednášky z matematiky. 1446. Berlín: Springer. 152–188.
• Young, L. C. (1937), „Zobecněné křivky a existence dosaženého absolutního minima v variačním počtu.“, Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III, XXX (7–9): 211–234, JFM  63.1064.01, Zbl  0019.21901, monografie předložená Stanisław Saks na zasedání 16. prosince 1937 Varšavská společnost věd a dopisů. Volný PDF kopii zpřístupňuje RCIN - digitální úložiště vědeckých ústavů.
• Young, L. C. (1969), Přednášky o variačním počtu a optimální kontrole, Philadelphia – Londýn – Toronto: W. B. Saunders, str. xi + 331, PAN  0259704, Zbl  0177.37801.

externí odkazy

• „Young measure“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]