Newtonův problém s minimálním odporem - Newtons minimal resistance problem - Wikipedia

Newtonův problém s minimálním odporem je problém najít revoluční těleso který zažívá minimální odpor, když se pohybuje homogenní tekutinou s konstantní rychlostí ve směru osy otáčení, pojmenovanou po Isaac Newton, který problém studoval v roce 1685 a publikoval ho v roce 1687 ve svém Principia Mathematica.^{[1][stránka potřebná ]} Toto je první příklad problému vyřešeného v tom, čemu se nyní říká variační počet, objevit se deset let před brachistochrone problém.^[2] Newton publikoval řešení v Principia Mathematica bez jeho odvození a David Gregory byl první člověk, který oslovil Newtona a přesvědčil ho, aby pro něj napsal analýzu. Potom se o odvozeninu podělil se svými studenty a vrstevníky Gregory.^[3]

Podle I. Bernarda Cohena ve svém Průvodci Newtonovými Principiemi „klíč k Newtonovu uvažování byl nalezen v 80. letech 19. století, kdy hrabě z Portsmouthu dal rozsáhlou sbírku Newtonových vědeckých a matematických článků jeho rodině na Cambridgeskou univerzitu. Mezi Newtonovými rukopisy našli návrh textu dopisu,… ve kterém Newton rozpracoval svůj matematický argument. [Tomuto] však nebylo nikdy zcela porozuměno, dokud nebylo zveřejněno hlavní rukopisné dokumenty od DT Whiteside [1974], jehož analytický a historický komentář umožnil studentům Newton nejen plně sledovat Newtonovu cestu k objevu a důkazu, ale také Newtonova pozdější (1694) přepočet povrchu nejmenšího odporu “.^[4][5]

Přestože se Newtonův model tekutiny podle našeho současného chápání mýlil, tekutina, kterou považoval, najde své uplatnění Hypersonický tok teorie jako omezující případ.^[6]

Definice

V Proposition 34 Book 2 of the Principia, Newton napsal: Pokud se ve vzácném médiu skládajícím se ze stejných částic volně rozmístěných ve stejné vzdálenosti od sebe navzájem pohybují zeměkoule a válec popsané na stejném průměru se stejnými rychlostmi ve směru osy válce, bude odpor zeměkoule ale poloviční než u válce.

Po tomto návrhu následuje scholium obsahující slavnou podmínku, že křivka, která při otáčení kolem své osy vytváří těleso, které zažívá menší odpor než jakékoli jiné těleso, které má pevnou délku a šířku.

V moderní podobě je Newtonovým problémem minimalizace následujícího integrálu:^[7][8]

${ displaystyle I = int { frac {y { dot {y}} ^ {3}} {1 + { dot {y}} ^ {2}}} dx}$

kde ${ displaystyle y (x)}$ představuje křivku, která generuje těleso, když se otáčí kolem osy xa ${ displaystyle { dot {y}} = dy / dx}$.

I je snížení odporu způsobené částicemi narážejícími na šikmou plochu DNG, vzniklé otáčením křivky, namísto kolmo na vodorovný průmět DNG na zadní disk DA ze směru pohybu, na obr. 1. Všimněte si, že přední část tělesa je disk BG, trojúhelníky GBC a GBR nejsou jeho součástí, ale jsou používány níže Newtonem k vyjádření minimální podmínky.

Tento integrál souvisí s celkovým odporem, kterému tělo čelí, v následujícím vztahu: ${ displaystyle rho = { frac {H ^ {2}} {2}} + int { frac {y { dot {y}} ^ {3}} {1 + { dot {y}} ^ {2}}} dx}$

Problém je najít křivku, která generuje těleso, které má menší odpor než jakékoli jiné těleso, které má pevnou osovou délku = L a pevnou šířku, H.

Jelikož těleso se musí zužovat ve směru pohybu, H je poloměr kotouče tvořícího zadní povrch křivky otočený kolem osy x. Jednotky jsou voleny tak, aby konstanta proporcionality byla jednota. Všimněte si také, že ${ displaystyle { dot {y}} <0}$a integrál, který je vyhodnocen mezi x = 0 a x = L, je záporný. Nechť y = h, když x = L.

Když je křivka vodorovná čára, DK, takže těleso je válec, ${ displaystyle y = H, { dot {y}} = 0}$, integrál je nula a odpor válce je: ${ displaystyle rho = { frac {H ^ {2}} {2}}}$, což vysvětluje konstantní výraz.

Podmínka pro minimální odpor pevný

Nejjednodušší způsob použití Euler-Lagrangeova rovnice k tomuto problému je přepsat odpor jako:

${ displaystyle rho = { frac {H ^ {2}} {2}} + int { frac {y} {1 + { dot {x}} ^ {2}}} dy}$ kde ${ displaystyle { dot {x}} = dx / dy}$, a integrál, který je vyhodnocen mezi y = H a y = h

Nahrazení integrandu ${ displaystyle F (y, { dot {x}}) = y / (1 + { dot {x}} ^ {2})}$ do Euler-Lagrangeovy rovnice

${ displaystyle { frac {d} {dy}} vlevo ({ frac { částečné F} { částečné { dot {x}}}} pravé) = { frac {d} {dy}} left ({ frac {-2 { dot {x}} y} {(1 + { dot {x}} ^ {2}) ^ {2}}} right) = { frac { částečné F} { částečné x}} = 0}$a z toho vyplývá ${ displaystyle { frac {{ dot {x}} y} {(1 + { dot {x}} ^ {2}) ^ {2}}}}$ je konstantní a lze to napsat jako

${ displaystyle y = K_ {1} { frac {(1 + p ^ {2}) ^ {2}} {p ^ {3}}}}$ (1) kde ${ displaystyle p = - { dot {y}}> 0}$, a kde ${ displaystyle K_ {1}> 0}$ je konstanta.

Ačkoli křivky, které splňují minimální podmínku, nelze popsat jednoduchou funkcí, y = f (x), lze je vykreslit pomocí p jako parametru, aby se získaly odpovídající souřadnice (x, y) křivek. Rovnice x jako funkce p je získána z minimální podmínky (1) a její ekvivalent byl poprvé nalezen Newtonem.

Rozlišení: ${ displaystyle dy = -pdx = K_ {1} (1 - { frac {2} {p ^ {2}}} - { frac {3} {p ^ {4}}}) dp}$a integrace

${ displaystyle x = K_ {2} -K_ {1} left ( ln p + { frac {1} {p ^ {2}}} + { frac {3} {4p ^ {4}}} že jo)}$, kde ${ displaystyle K_ {2}> 0}$ je konstanta.

Od té doby ${ displaystyle y = H}$, když ${ displaystyle x = 0}$, a ${ displaystyle y = h}$, když ${ displaystyle x = L}$, konstanty ${ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ lze určit pomocí H, h a L. Protože y z rovnice (1) nikdy nemůže být nula nebo zápor, přední povrch jakéhokoli tělesa splňujícího minimální podmínku musí být disk, GB.

Jelikož se jednalo o první příklad tohoto typu problému, musel Newton vymyslet zcela novou metodu řešení. Ve své analýze problému šel také mnohem hlouběji, než jen jednoduše zjistil stav (1).

Solidní zkušenosti s nejmenším odporem

Zatímco těleso s nejmenším odporem musí splňovat (1), obrácení není pravdivé. Obr. 2 ukazuje rodinu křivek, které ji uspokojují pro různé hodnoty ${ displaystyle K_ {1}> 0}$. Tak jako ${ displaystyle K_ {1}}$ zvětšuje poloměr, Bg = h, disku při x = L se zmenšuje a křivka se stává strmější.

Přímo před problémem s minimálním odporem Newton uvedl, že pokud se na kterékoli eliptické nebo oválné postavě otočené kolem své osy stane p větší než jednota, lze najít jeden s menším odporem. Toho je dosaženo nahrazením části tělesa, která má p> 1, za frustum kužele, jehož úhel vrcholu je pravý úhel, jak je znázorněno na obr. 2 pro křivku ${ displaystyle D nu phi gamma B}$. To má menší odpor než ${ displaystyle D nu phi Gamma B}$. Newton to neprokazuje, ale dodává, že by to mohlo mít uplatnění při stavbě lodí. Whiteside poskytuje důkaz a tvrdí, že Newton by použil stejnou úvahu.

Na obr. 2, protože těleso generované z křivky Dng splňuje minimální podmínku a má p <1 při g, zažívá menší odpor než u jakékoli jiné křivky se stejným koncovým bodem g. Pro křivku DνΓ s p> 1 v koncovém bodě Γ to však neplatí, ačkoli křivka splňuje minimální podmínku, odpor φγ a γΓ společně je menší než odpor φΓ.

Newton dospěl k závěru, že ze všech pevných látek, které splňují podmínku minimálního odporu, je ten, který má nejmenší odpor, DNG na obr. 2, ten, který má p = 1 na G. To je schematicky znázorněno na obr. 3, kde je celkový odpor těleso se mění proti poloměru disku přední plochy, minimum nastává, když h = BG, což odpovídá p = 1 v G.

V Principia je na obrázku 1 podmínka pro těleso s minimálním odporem převedena do geometrického tvaru takto: nakreslete GR rovnoběžně s tangensou v N, takže ${ displaystyle p = { frac {GB} {BR}}}$a rovnice (1) se stává: ${ displaystyle { frac {NM.GB ^ {3}} {BR ^ {3} (1+ (GB / BR) ^ {2}) ^ {2}}} = { frac {NM.BR.GB ^ {3}} {GR ^ {4}}} = K_ {1}}$

V G, ${ displaystyle NM = BG}$, ${ displaystyle BR = BC = BG}$, a ${ displaystyle GR ^ {2} = 2BG ^ {2}}$, tak ${ displaystyle { frac {NM.BR.GB ^ {3}} {GR ^ {4}}} = { frac {GB} {4}} = K_ {1}}$ který se objeví v Principia ve formě:

${ displaystyle { frac {NM} {GR}} = { frac {GR ^ {3}} {4BR.GB ^ {2}}}}$

Newtonova derivace podmínky minimálního odporu

I když se to zdá docela jednoduché, má to několik jemností, které způsobily mnoho nejasností.

Na obr. 4 předpokládejme, že DNSG je křivka, která při otáčení kolem AB generuje těleso, jehož odpor je menší než jakékoli jiné takové těleso se stejnými výškami, AD = H, BG = h a délka, AB = L.

Obr. 5 ukazuje infinitezimální oblast křivky kolem N a I podrobněji. Ačkoli NI, Nj a NJ jsou skutečně zakřivené, lze je aproximovat přímkami, pokud je NH dostatečně malý.

Nechť HM = y, AM = x, NH = u a HI = w = dx. Nechte tečnu v každém bodě křivky, ${ displaystyle p = - { frac {dy} {dx}} = { frac {u} {w}}}$. Snížení odporu šikmého prstence NI ve srovnání se svislým prstencem NH otočeným kolem AB je ${ displaystyle r = { frac {yp ^ {3}} {1 + p ^ {2}}} dx = { frac {yu ^ {3}} {u ^ {2} + w ^ {2}} }}$ (2)

Nechte minimální odporové těleso nahradit stejným, až na to, že oblouk mezi body I a K je posunut o malou vzdálenost doprava ${ displaystyle IJ = KL = o> 0}$, nebo doleva ${ displaystyle Ij = Kl = o <0}$, jak je podrobněji znázorněno na obr. 5. V obou případech se hodnota HI stane ${ displaystyle HJ, Hj = w + o}$.

Odpor oblouků křivky DN a SG se nemění. Posunutím se také nezmění odpor oblouku IK, protože sklon zůstává po celé délce stejný. Jedinou změnou celkové odolnosti DNSG je změna gradientu oblouků NI a KS. 2 posunutí musí být stejná, aby nebyl ovlivněn sklon oblouku IK, a nová křivka musí končit v G.

Nový odpor způsobený částicemi dopadajícími na NJ nebo Nj, spíše že NI je:

${ displaystyle r + delta r = { frac {yu ^ {3}} {u ^ {2} + (w + o) ^ {2}}} = r - { frac {2ywu ^ {3} o} {(u ^ {2} + w ^ {2}) ^ {2}}}}$ + w. (výrazy ve vzestupných silách ${ displaystyle { frac {o} {w}}}$ počínaje 2.).

Výsledkem je změna odporu: ${ displaystyle - { frac {2NM.HI.HN ^ {3} o} {NI ^ {4}}}}$ + podmínky vyššího řádu, odpor se sníží, pokud o> 0 (NJ méně odolává než NI).

Toto je původní derivace z roku 1685, kde získá výše uvedený výsledek pomocí sériového rozšíření v mocninách o. Ve své revizi z roku 1694 rozlišuje (2) s ohledem na w. Podrobnosti o svém pozdějším přístupu zaslal Davidu Gregorymu a jsou uvedeny jako příloha v Motteově překladu Principia.

Podobně změna odporu způsobená částicemi dopadajícími na SL nebo Sl spíše na to, že SK je: ${ displaystyle + { frac {2TS.OK.OS ^ {3} o} {SK ^ {4}}}}$ + podmínky vyšší objednávky.

Celková změna odporu úplného tělesa, ${ displaystyle delta rho = (- { frac {2NM.HI.HN ^ {3}} {NI ^ {4}}} + { frac {2TS.OK.OS ^ {3}} {SK ^ {4}}}) o}$ + w. (výrazy ve vzestupných silách ${ displaystyle { frac {o} {w}}}$ počínaje 2.).

Obr. 6 představuje celkový odpor DNJLSG nebo DNjlSG jako funkce o. Protože původní křivka DNIKSG má nejmenší odpor, musí každá změna o jakéhokoli znaménka vést ke zvýšení odporu. To je možné pouze v případě, že koeficient o v expanzi ${ displaystyle rho (o)}$ je nula, takže:

${ displaystyle { frac {NM.HI.HN ^ {3}} {NI ^ {4}}} = { frac {TS.OK.OS ^ {3}} {SK ^ {4}}}}$ (2)

Pokud by tomu tak nebylo, bylo by možné v rozporu s původním předpokladem zvolit hodnotu o se znaménkem, které vytvořilo křivku DNJLSG, nebo DNjlSG s menším odporem než původní křivka. Aproximace braní přímek pro konečné oblouky, NI a KS bude v limitu přesná, protože HN a OS se blíží nule. Také NM a HM lze brát jako stejné, stejně jako OT a ST.

N a S na původní křivce jsou však libovolné body, takže pro libovolné 2 body kdekoli na křivce musí platit výše uvedená rovnost. To je možné pouze tehdy, pokud v limitu libovolného nekonečně malého oblouku HI, kdekoli na křivce, výraz,

${ displaystyle { frac {NM.HI.HN ^ {3}} {NI ^ {4}}}}$ je konstanta. (3)

Musí tomu tak být, protože pokud ${ displaystyle { frac {NM.HI.HN ^ {3}} {NI ^ {4}}}}$ Mělo by se měnit po křivce, bylo by možné najít 2 nekonečně malé oblouky NI a KS takové, že (2) byl nepravdivý a koeficient o v expanzi ${ displaystyle delta rho}$ by bylo nenulové. Pak by bylo možné vyrobit těleso s menším odporem výběrem vhodné hodnoty o.

To je důvod pro konstantní člen v minimálním stavu v (3). Jak bylo uvedeno výše, Newton šel dále a tvrdil, že odpor tělesa je menší než odpor jakéhokoli jiného tělesa se stejnou délkou a šířkou, když je sklon v G roven jednotě. Proto se v tomto případě konstanta v (3) rovná jedné čtvrtině poloměru předního disku tělesa, ${ displaystyle { frac {GB} {4}}}$.

Reference