Problém s překážkou - Obstacle problem

The problém s překážkou je klasický motivační příklad v matematický studie variační nerovnosti a problémy s volnými hranicemi. Problém je najít rovnováha pozice an elastická membrána jehož hranice je pevně stanovena a která je nucena ležet nad danou překážkou. To hluboce souvisí se studiem minimální povrchy a kapacita sady v teorie potenciálu také. Mezi aplikace patří studium filtrace tekutin v porézních médiích, omezené zahřívání, elasto-plasticita, optimální kontrola a finanční matematika.^[1]

Matematickou formulací problému je hledat minimalizátory Dirichletova energie funkční,

{displaystyle J = int _ {D} | abla u | ^ {2} mathrm {d} x}

v nějaké doméně ${displaystyle D}$ kde funkce ${displaystyle u}$ představují vertikální posunutí membrány. Kromě uspokojení Dirichletovy okrajové podmínky odpovídající pevné hranici membrány, funkce ${displaystyle u}$ jsou navíc omezeny tak, aby byly větší než některé překážka funkce ${displaystyle phi}$ ${displaystyle (x)}$ . Řešení se rozpadá na oblast, kde se řešení rovná funkci překážky, známé jako sada kontaktů, a region, kde je řešení nad překážkou. Rozhraní mezi těmito dvěma regiony je volná hranice.

Obecně je řešení kontinuální a má Lipschitz kontinuální první derivace, ale že řešení je obecně diskontinuální v druhé derivaci přes volnou hranici. Volná hranice je charakterizována jako a Hölder kontinuální povrchu s výjimkou určitých singulárních bodů, které jsou umístěny na hladkém potrubí.

Historická poznámka

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo semper dalla sua disequazione variazionale, aperse un nuovo campo di ricerche che si rivelò importante e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il problema dell'ostacolo.^[2]
— Sandro Faedo, (Faedo 1986, str. 107)

Motivující problémy

Tvar membrány nad překážkou

Problém s překážkou nastává, když se vezme v úvahu tvar, který má mýdlový film v doméně, jejíž okrajová poloha je pevná (viz Problém náhorní plošiny ), s přidaným omezením, že membrána je nucena ležet nad nějakou překážkou ${displaystyle phi}$ ${displaystyle (x)}$ i uvnitř domény.^[3] V tomto případě je energií, která má být minimalizována, integrál povrchu, nebo

{displaystyle J (u) = int _ {D} {sqrt {1+ | abla u | ^ {2}}}, mathrm {d} x.}

Tento problém může být linearizovaný v případě malých poruch roztažením funkční energie z hlediska jejího Taylor série a vezmeme-li pouze první člen, v takovém případě je standardem energie, která má být minimalizována Dirichletova energie

{displaystyle J (u) = int _ {D} | abla u | ^ {2} mathrm {d} x.}

Optimální zastavení

Problém s překážkami také vyvstává v teorie řízení, konkrétně otázka nalezení optimální doby zastavení pro a stochastický proces s funkcí výplaty ${displaystyle phi}$ ${displaystyle (x)}$ .

V jednoduchém případě, kdy proces je Brownův pohyb, a proces je nucen zastavit po opuštění domény, řešení ${displaystyle u (x)}$ problému překážky lze charakterizovat jako očekávanou hodnotu výplaty, počínaje procesem v ${displaystyle x}$ , je-li dodržena optimální strategie zastavení. Kritériem zastavení je jednoduše to, že je třeba se zastavit po dosažení sada kontaktů.^[4]

Formální prohlášení

Předpokládejme následující údaje:

an otevřeno ohraničený doména ${displaystyle D}$ ⊂ ℝⁿ s hladký hranice
A plynulá funkce ${displaystyle f (x)}$ na ∂ ${displaystyle D}$ (dále jen hranice z ${displaystyle D}$ )
plynulá funkce ${displaystyle varphi}$ ${displaystyle (x)}$ definované na všech ${displaystyle D}$ takhle ${displaystyle scriptstyle varphi | _ {částečné D}}$ < ${displaystyle f}$ , tj. omezení ${displaystyle varphi}$ ${displaystyle (x)}$ na hranici ${displaystyle D}$ (své stopa ) je méně než ${displaystyle f}$ .

Pak zvažte sadu

{displaystyle K = left {u (x) in H ^ {1} (D): u | _ {částečné D} = f (x) {ext {and}} ugeq varphi ight},}

což je Zavřeno konvexní podmnožina z Sobolevův prostor náměstí integrovatelné funkce se čtvercovou integrovatelností slabé první deriváty, obsahující přesně ty funkce s požadovanými okrajovými podmínkami, které jsou také nad překážkou. Řešením problému s překážkou je funkce, která minimalizuje energii integrální

{displaystyle J (u) = int _ {D} | abla u | ^ {2} mathrm {d} x}

přes všechny funkce ${displaystyle u (x)}$ patřící ${displaystyle K}$ ; existence takového minimalizátoru je zajištěna úvahami o Hilbertův prostor teorie.^[3]^[5]

Alternativní formulace

Variační nerovnost

Problém překážky lze přeformulovat jako standardní problém v teorii variační nerovnosti na Hilbertovy prostory. Hledám minimalizátor energie v sadě ${displaystyle K}$ vhodných funkcí je ekvivalentní hledání

{displaystyle uin K}

takhle

{displaystyle int _ {D} langle {abla u}, {abla (v-u)} angle mathrm {d} xgeq 0qquad forall vin K,}

kde ⟨. , ⟩: ℝⁿ × ℝⁿ → ℝ je běžné skalární součin v konečně-dimenzionální nemovitý vektorový prostor ℝⁿ. Toto je speciální případ obecnější formy variačních nerovností na Hilbertových prostorech, jejichž řešení jsou funkce ${displaystyle u}$ v nějaké uzavřené konvexní podmnožině ${displaystyle K}$ celkového prostoru, takový

{displaystyle a (u, v-u) geq f (v-u) qquad forall vin K.,}

pro donucovací, skutečný, ohraničený bilineární formy ${displaystyle a (u, v)}$ a ohraničený lineární funkcionály ${displaystyle f (v)}$ .^[6]

Nejméně superharmonická funkce

Variační argument ukazuje, že mimo kontaktní skupinu je řešení problému překážky harmonické. Podobný argument, který se omezuje na pozitivní variace, ukazuje, že řešení je na kontaktní sadě superharmonické. Společně tyto dva argumenty naznačují, že řešením je superharmonická funkce.^[1]

Ve skutečnosti aplikace maximální princip pak ukazuje, že řešením problému překážky je nejméně superharmonická funkce v souboru přípustných funkcí.^[6]

Vlastnosti pravidelnosti

Řešení problému jednorozměrné překážky. Všimněte si, jak řešení zůstává superharmonické (konkávní dolů v 1-D) a odpovídá derivacím s překážkou (což je

{displaystyle C ^ {1,1}}

stav)

Optimální pravidelnost

Řešení problému s překážkou má ${displaystyle scriptstyle C ^ {1,1}}$ pravidelnost, nebo ohraničený druhé deriváty, má-li samotná překážka tyto vlastnosti.^[7] Přesněji řečeno, řešení je modul spojitosti a modul spojitosti pro jeho derivát souvisí s překážkami.

Pokud je překážka ${displaystyle scriptstyle phi (x)}$ má modul spojitosti ${displaystyle scriptstyle sigma (r)}$ , to znamená ${displaystyle scriptstyle | phi (x) -phi (y) | leq sigma (| x-y |)}$ , pak řešení ${displaystyle scriptstyle u (x)}$ má modul spojitosti daný ${displaystyle scriptstyle Csigma (2r)}$ , kde konstanta závisí pouze na doméně, nikoli na překážce.
Pokud má první derivace překážky modul spojitosti ${displaystyle scriptstyle sigma (r)}$ , pak první derivace řešení má modul spojitosti daný ${displaystyle scriptstyle Crsigma (2r)}$ , kde konstanta opět závisí pouze na doméně.^[8]

Vyrovnejte povrchy a volnou hranici

S výhradou podmínky degenerace, sady úrovní rozdílu mezi řešením a překážkou, ${displaystyle scriptstyle {x: u (x) -phi (x) = t}}$ pro ${displaystyle scriptstyle t> 0}$ jsou ${displaystyle scriptstyle C ^ {1, alpha}}$ povrchy. Volná hranice, která je hranicí množiny, kde řešení narazí na překážku, je také ${displaystyle scriptstyle C ^ {1, alpha}}$ kromě sady singulární body, které jsou samy izolované nebo místně obsažené v a ${displaystyle scriptstyle C ^ {1}}$ potrubí.^[9]

Zobecnění

Teorie problému překážky je rozšířena na další formy divergence jednotně eliptické operátory,^[6] a jejich přidružené energetické funkcionály. Lze jej zobecnit i na degenerované eliptické operátory.

Zajímavý je také problém s dvojitou překážkou, kde je funkce omezena tak, aby ležela nad jednou překážkovou funkcí a pod druhou.

The Signoriniho problém je varianta problému překážky, kde je energetická funkce minimalizována s výhradou omezení, které žije pouze na povrchu jedné menší dimenze, která zahrnuje problém s hraniční překážkou, kde omezení funguje na hranici domény.

The parabolický Předmětem studia jsou také časově závislé případy problému překážky a jeho variant.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Vidět Caffarelli 1998, str. 384.
^ „Nějaký čas poté, co Stampacchia, počínaje jeho variační nerovností, otevřel nové pole výzkumu, které se ukázalo jako důležité a plodné. problém s překážkou"(Anglický překlad) Kurzíva důraz je kladen na samotného autora.
^ ^A ^b Vidět Caffarelli 1998, str. 383.
^ Viz poznámky k přednášce od Evans a verze 1.2, str. 110–114).
^ Vidět Kinderlehrer & Stampacchia 1980, s. 40–41.
^ ^A ^b ^C Vidět Kinderlehrer & Stampacchia 1980, s. 23–49.
^ Vidět Frehse 1972.
^ Vidět Caffarelli 1998, str. 386.
^ Vidět Caffarelli 1998, str. 394 a 397.

Historické odkazy

Faedo, Sandro (1986), „Leonida Tonelli e la scuola matematica pisana“, Montalenti, G .; Amerio, L.; Acquaro, G .; Baiada, E .; et al. (eds.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985), Atti dei Convegni Lincei (v italštině), 77, Romové: Accademia Nazionale dei Lincei, str. 89–109, archivovány od originál dne 23. 2. 2011, vyvoláno 2013-02-12. "Leonida Tonelli a matematická škola v Pise"je průzkum práce Tonelli v Pisa a jeho vliv na rozvoj školy, představený na Mezinárodní kongres u příležitosti oslav stého výročí narození Mauro Picona a Leonidy Tonelli (zadrženo Řím 6. - 9. května 1985). Autor byl jedním z jeho žáků a po jeho smrti držel židli matematické analýzy na Univerzita v Pise, stal se děkanem přírodovědecké fakulty a poté rektorem: měl výrazný pozitivní vliv na rozvoj univerzity.

Reference

Caffarelli, Luisi (Červenec 1998), „Problém s překážkami se vrátil“, The Journal of Fourier Analysis and Applications, 4 (4–5): 383–402, doi:10.1007 / BF02498216, PAN 1658612, Zbl 0928.49030
Evans, Lawrence, Úvod do stochastických diferenciálních rovnic (PDF), str. 130, vyvoláno 11. července 2011. Sada průzkumných poznámek „bez příliš mnoha přesných detailů, základní teorie pravděpodobnosti, náhodných diferenciálních rovnic a některých aplikací", jak sám autor uvádí.
Frehse, Jens (1972), „O pravidelnosti řešení variační nerovnosti druhého řádu“, Bolletino della Unione Matematica Italiana, Řada IV, 6, str. 312–315, PAN 0318650, Zbl 0261.49021.
Friedman, Avner (1982), Variační principy a problémy s volnými hranicemiČistá a aplikovaná matematika, New York: John Wiley & Sons, str. ix + 710, ISBN 0-471-86849-3, PAN 0679313, Zbl 0564.49002.
Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), Úvod do variačních nerovností a jejich aplikacíČistá a aplikovaná matematika, 88, New York: Akademický tisk, str. xiv + 313, ISBN 0-12-407350-6, PAN 0567696, Zbl 0457.35001
Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Pravidelnost volných hranic v problémech překážkového typu. Postgraduální studium matematikyAmerická matematická společnost, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3

externí odkazy

Caffarelli, Luisi (Srpen 1998), Překážkový problém (PDF), koncept od Fermiho přednášky, str. 45, vyvoláno 11. července 2011, dodáno autorem na Scuola Normale Superiore v roce 1998.

[Caf384-1] A ^b Vidět Caffarelli 1998, str. 384.

[2] „Nějaký čas poté, co Stampacchia, počínaje jeho variační nerovností, otevřel nové pole výzkumu, které se ukázalo jako důležité a plodné. problém s překážkou"(Anglický překlad) Kurzíva důraz je kladen na samotného autora.

[Caf383-3] A ^b Vidět Caffarelli 1998, str. 383.

[4] Viz poznámky k přednášce od Evans a verze 1.2, str. 110–114).

[5] Vidět Kinderlehrer & Stampacchia 1980, s. 40–41.

[KS-chapter2-6] A ^b ^C Vidět Kinderlehrer & Stampacchia 1980, s. 23–49.

[7] Vidět Frehse 1972.

[8] Vidět Caffarelli 1998, str. 386.

[9] Vidět Caffarelli 1998, str. 394 a 397.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]