Věta o horském průsmyku - Mountain pass theorem

The věta o horském průsmyku je věta o existenci z variační počet, původně kvůli Antonio Ambrosetti a Paul Rabinowitz.^[1] Za určitých podmínek funkce dokazuje věta existenci a sedlový bod. Věta je neobvyklá v tom, že existuje mnoho dalších vět o existenci extrémy, ale jen málo ohledně sedlových bodů.

Prohlášení

Předpoklady věty jsou:

• ${displaystyle I}$ je funkční od a Hilbertův prostor H do realita,
• ${displaystyle Iin C ^ {1} (H, mathbb {R})}$ a ${displaystyle I '}$ je Lipschitz kontinuální na omezené podmnožiny H,
• ${displaystyle I}$ uspokojuje Stav kompaktnosti Palais – Smale,
• ${displaystyle I [0] = 0}$,
• existují kladné konstanty r a A takhle ${displaystyle I [u] geq a}$ -li ${displaystyle Vert uVert = r}$, a
• tady existuje ${displaystyle vin H}$ s ${displaystyle Vert vVert> r}$ takhle ${displaystyle I [v] leq 0}$.

Pokud definujeme:

${displaystyle Gamma = {mathbf {g} v C ([0,1]; H), vert, mathbf {g} (0) = 0, mathbf {g} (1) = v}}$

a:

${displaystyle c = inf _ {mathbf {g} v gama} max _ {0leq tleq 1} I [mathbf {g} (t)],}$

závěr věty je tedy takový C je kritická hodnota Já.

Vizualizace

Intuice za teorémem je ve jménu „horský průsmyk“. Zvážit Já jak popisuje nadmořskou výšku. Pak známe dvě nízká místa v krajině: původ, protože ${displaystyle I [0] = 0}$a vzdálené místo proti kde ${displaystyle I [v] leq 0}$. Mezi nimi leží řada hor (v ${displaystyle Vert uVert = r}$) kde je nadmořská výška vysoká (vyšší než A> 0). Aby bylo možné cestovat po stezce G od původu do proti, musíme projít horami - to znamená, že musíme jít nahoru a potom dolů. Od té doby Já je poněkud plynulý, někde mezi tím musí existovat kritický bod. (Přemýšlejte v duchu věta o střední hodnotě.) Horský průsmyk leží podél cesty, která prochází v nejnižší nadmořské výšce horami. Všimněte si, že tento horský průsmyk je téměř vždy a sedlový bod.

Důkaz viz část 8.5 Evans.

Slabší formulace

Nechat ${displaystyle X}$ být Banachův prostor. Předpoklady věty jsou:

• ${displaystyle Phi v C (X, mathbf {R})}$ a mít Gateaux derivát ${displaystyle Phi 'dvojtečka X o X ^ {*}}$ který je spojitý, když ${displaystyle X}$ a ${displaystyle X ^ {*}}$ jsou obdařeni silná topologie a slabá * topologie resp.
• Tady existuje ${displaystyle r> 0}$ tak, že lze najít jisté ${displaystyle | x '|> r}$ s

${displaystyle max, (Phi (0), Phi (x '))$.

• ${displaystyle Phi}$ uspokojuje slabé Stav Palais – Smale na ${displaystyle {xin Xmid m (r) leq Phi (x)}}$.

V tomto případě existuje kritický bod ${displaystyle {overline {x}} v X}$ z ${displaystyle Phi}$ uspokojující ${displaystyle m (r) leq Phi ({overline {x}})}$. Navíc, pokud definujeme

${displaystyle Gamma = {cin C ([0,1], X) střední c, (0) = 0,, c, (1) = x '}}$

pak

${displaystyle Phi ({overline {x}}) = inf _ {c, in, Gamma} max _ {0leq tleq 1} Phi (c, (t)).}$

Důkaz viz část 5.5 Aubina a Ekelanda.

Reference

Další čtení

• Aubin, Jean-Pierre; Ekeland, Ivar (2006). Aplikovaná nelineární analýza. Dover Books. ISBN  0-486-45324-3.
• Bisgard, James (2015). „Horské pasy a sedlové body“. Recenze SIAM. 57 (2): 275–292. doi:10.1137/140963510.
• Evans, Lawrence C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-0772-2.
• Jabri, Youssef (2003). Věta o horském průsmyku, varianty, zobecnění a některé aplikace. Encyklopedie matematiky a její aplikace. Cambridge University Press. ISBN  0-521-82721-3.
• Mawhin, Jean; Willem, Michel (1989). „Věta o horském průsmyku a periodická řešení superlineárních konvexních autonomních hamiltonovských systémů“. Teorie kritických bodů a Hamiltonovské systémy. New York: Springer-Verlag. str. 92–97. ISBN  0-387-96908-X.
• McOwen, Robert C. (1996). „Horské pasy a sedlové body“. Parciální diferenciální rovnice: Metody a aplikace. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 206–208. ISBN  0-13-121880-8.