Konverzace (logika) - Converse (logic)

v logika a matematika, konverzovat kategorického nebo implikačního tvrzení je výsledkem obrácení jeho dvou základních tvrzení. Pro implikace P → Q, obráceně je Q → P. Pro kategorický návrh Všechna S jsou P, obráceně je Všichni P jsou S.. Ať tak či onak, pravda konverzace je obecně nezávislá na pravdě původního tvrzení.^[1][2]

Implikační konverzace

Vennův diagram z ${ displaystyle A leftarrow B}$
(bílá oblast ukazuje, kde je tvrzení nepravdivé)

Nechat S být výpisem formuláře P znamená Q (P → Q). Pak konverzovat z S je prohlášení Q znamená P (Q → P). Obecně platí, že pravda S neříká nic o pravdě svého obrácení,^[1][3] pokud předchůdce P a následný Q jsou logicky ekvivalentní.

Zvažte například pravdivé tvrzení „Pokud jsem člověk, jsem smrtelný.“ Opak tohoto tvrzení zní: „Pokud jsem smrtelný, pak jsem člověk,“ což není nutně pravda.

Na druhou stranu, obrácení výroku se vzájemně se zahrnujícími termíny zůstává pravdivé, vzhledem k pravdivosti původního návrhu. To odpovídá tvrzení, že obrácení definice je pravdivé. Tedy tvrzení „Pokud jsem trojúhelník, pak jsem trojstranný polygon“ je logicky ekvivalentní „Pokud jsem trojstranný polygon, pak jsem trojúhelník“, protože definice „trojúhelníku“ je „ třístranný mnohoúhelník ".

Pravdivá tabulka to jasně ukazuje S a naopak S nejsou logicky ekvivalentní, pokud se oba pojmy navzájem neznamenají:

${ displaystyle P}$	${ displaystyle Q}$	${ displaystyle P rightarrow Q}$	${ displaystyle P leftarrow Q}$ (konverzovat)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

Přechod od prohlášení k jeho obrácení je klam potvrzující důsledky. Pokud však prohlášení S a jeho konverzace jsou ekvivalentní (tj. P je pravda kdyby a jen kdyby Q je také pravda), pak potvrzení následného bude platné.

Konverzní implikace je logicky ekvivalentní disjunkci ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle neg Q}$

${ displaystyle P leftarrow Q}$	${ displaystyle Leftrightarrow}$	${ displaystyle P}$	${ displaystyle lor}$	${ displaystyle neg Q}$
	${ displaystyle Leftrightarrow}$		${ displaystyle lor}$

V přirozeném jazyce by to bylo možné vykreslit „ne Q bez P".

Konverze věty

V matematice je obrácenou větou o formě P → Q bude Q → P. Konverzace může, ale nemusí být pravdivá, ai když je pravdivá, důkaz může být obtížný. Například Věta o čtyřech vrcholech byl prokázán v roce 1912, ale jeho obrácení bylo prokázáno až v roce 1997.^[4]

V praxi lze při určování obrácení matematické věty brát aspekty předchůdce jako kontext. To znamená obráceně „Dáno P, pokud Q, pak R" bude „Dáno P, pokud R pak Q". Například Pythagorova věta lze uvést jako:

Dáno trojúhelník se stranami délky ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, a ${ displaystyle c}$, -li úhel naproti straně délky ${ displaystyle c}$ je pravý úhel, pak ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$.

Konverzace, která se také objevuje v Euklidova Elementy (Kniha I, Proposition 48), lze konstatovat jako:

Dáno trojúhelník se stranami délky ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, a ${ displaystyle c}$, -li ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$, pak úhel naproti straně délky ${ displaystyle c}$ je pravý úhel.

Konverze vztahu

Li ${ displaystyle R}$ je binární relace s ${ displaystyle R subseteq A krát B,}$ pak konverzní vztah ${ displaystyle R ^ {T} = {(b, a) :( a, b) v R }}$ se také nazývá přemístit.^[5]

Zápis

Opak implikace P → Q lze psát Q → P, ${ displaystyle P leftarrow Q}$, ale může být také notován ${ displaystyle P podmnožina Q}$nebo „Bpq" (v Bocheńského zápis ).^{[Citace je zapotřebí ]}

Kategorie konverzace

V tradiční logice je proces přechodu od „Vše S jsou P " na jeho konverzaci „Vše P jsou S " je nazýván konverze. Podle slov Asa Mahan:

„Původní návrh se nazývá exposita; při převodu se označuje jako konverzace. Konverze je platná tehdy a pouze tehdy, když se v konverzaci neuplatňuje nic, co není potvrzeno ani implikováno v expozici.“^[6]

„Exposita“ se obvykle nazývá „konvertendní“. V jednoduché formě je převod platný pouze pro E a Já návrhy:^[7]

Platnost jednoduché konverze pouze pro E a Já návrhy lze vyjádřit omezením, že „v konverzaci, která není distribuována v konvertendu, nesmí být distribuován žádný výraz.“^[8] Pro E výroky, jak předmět, tak predikát distribuováno, zatímco pro Já nabídky, ani není.

Pro A propozice, předmět je distribuován, zatímco predikát není, a tak je odvozen z an A prohlášení k jeho konverzaci není platné. Jako příklad pro A tvrzení „Všechny kočky jsou savci“, konverzace „Všichni savci jsou kočky“ je zjevně falešná. Slabší výrok „Někteří savci jsou kočky“ je však pravdivý. Logici definují převod za nehody být procesem výroby tohoto slabšího prohlášení. Odvození od prohlášení k jeho obrácení za nehody je obecně platný. Stejně jako u sylogismy, tento přechod z univerzálního na konkrétní způsobí problémy s prázdnými kategoriemi: „Všichni jednorožci jsou savci“ je často považován za pravdivý, zatímco obrácený za nehody „Někteří savci jsou jednorožci“ je zjevně falešný.

v predikátový počet prvního řádu, Všechna S jsou P lze reprezentovat jako ${ Displaystyle for all x.S (x) to P (x)}$.^[9] Je tedy zřejmé, že kategorický konverzace úzce souvisí s implikační konverzací, a to S a P nelze vyměnit Všechna S jsou P.

Viz také

• Aristoteles
• Kategorie # Konverze
• Kontrapozice
• Konverzovat (sémantika)
• Odvození
• Inverzní (logika)
• Logické pojivo
• Obversion
• Sylogismus
• Termínová logika
• Transpozice (logika)

Reference

Další čtení

• Aristoteles. Organon.
• Copi, Irving. Úvod do logiky. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolická logika. MacMillan, 1979, páté vydání.
• Stebbing, Susan. Moderní úvod do logiky. Cromwell Company, 1931.