Základní lemma variačního počtu - Fundamental lemma of calculus of variations

v matematika, konkrétně v variační počet, variace δf funkce F lze soustředit na libovolně malý interval, ale ne na jediný bod. Proto je nutná podmínka extrému (funkční derivace rovná nule) se objeví v a slabá formulace (variační forma) integrovaná s libovolnou funkcí δf. The základní lemma variačního počtu se obvykle používá k transformaci této slabé formulace na silnou formulaci (diferenciální rovnice ), bez integrace s libovolnou funkcí. Důkaz obvykle využívá možnosti volby δf se soustředil na interval, ve kterém F udržuje znaménko (pozitivní nebo negativní). Používá se několik verzí lemmatu. Základní verze lze snadno formulovat a dokázat. V případě potřeby se používají výkonnější verze.

Základní verze

Pokud je spojitá funkce ${ displaystyle f}$ v otevřeném intervalu ${ displaystyle (a, b)}$ uspokojuje rovnost

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) h (x) , operatorname {d} x = 0}$

pro všechny kompaktně podporováno plynulé funkce ${ displaystyle h}$ na ${ displaystyle (a, b)}$, pak ${ displaystyle f}$ je shodně nula.^[1][2]

Zde lze „hladký“ interpretovat jako „nekonečně diferencovatelný“,^[1] ale často se interpretuje jako „dvakrát nepřetržitě diferencovatelné“ nebo „nepřetržitě diferencovatelné“ nebo dokonce jen „nepřetržitě“,^[2] protože tyto slabší výroky mohou být pro daný úkol dostatečně silné. „Kompaktně podporováno“ znamená „zmizí venku ${ displaystyle [c, d]}$ pro některé ${ displaystyle c}$, ${ displaystyle d}$ takhle ${ displaystyle a$";^[1] ale často stačí slabší tvrzení, předpokládáme-li jen to ${ displaystyle h}$ (nebo ${ displaystyle h}$ a řada jejích derivátů) v koncových bodech zmizí ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$;^[2] v tomto případě uzavřený interval ${ displaystyle [a, b]}$ se používá.

Verze pro dvě dané funkce

Pokud dvojice spojitých funkcí F, G v intervalu (A,b) uspokojuje rovnost

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} (f (x) , h (x) + g (x) , h '(x)) , mathrm {d} x = 0}$

pro všechny kompaktně podporované plynulé funkce h na (A,b), pak G je rozlišitelný a G' = F všude.^[3][4]

Zvláštní případ pro G = 0 je pouze základní verze.

Zde je zvláštní případ pro F = 0 (často dostačující).

Pokud je spojitá funkce G v intervalu (A,b) uspokojuje rovnost

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} g (x) , h '(x) , mathrm {d} x = 0}$

pro všechny plynulé funkce h na (A,b) takové, že ${ displaystyle h (a) = h (b) = 0}$, pak G je konstantní.^[5]

Pokud navíc kontinuální diferencovatelnost z G se tedy předpokládá integrace po částech redukuje oba příkazy na základní verzi; tento případ je přičítán Joseph-Louis Lagrange, zatímco důkaz rozlišitelnosti G je to kvůli Paul du Bois-Reymond.

Verze pro diskontinuální funkce

Dané funkce (F, G) mohou být přerušované, pokud jsou místně integrovatelný (v daném intervalu). V tomto případě, Lebesgueova integrace je míněno, závěry platí téměř všude (tedy ve všech bodech spojitosti) a rozlišitelnost G je interpretován jako místní absolutní kontinuita (spíše než nepřetržitá diferencovatelnost).^[6][7] Někdy se předpokládá, že dané funkce jsou po částech spojité, v jakém případě Riemannova integrace postačuje a závěry jsou uvedeny všude kromě konečné sady bodů diskontinuity.^[4]

Vyšší deriváty

Pokud je n-tice spojitých funkcí ${ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, tečky, f_ {n}}$ v intervalu (A,b) uspokojuje rovnost

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} (f_ {0} (x) , h (x) + f_ {1} (x) , h '(x) + tečky + f_ {n} (x) , h ^ {(n)} (x)) , mathrm {d} x = 0}$

pro všechny kompaktně podporované plynulé funkce h na (A,b), pak existují spojitě diferencovatelné funkce ${ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, tečky, u_ {n-1}}$ na (A,b) takové, že

${ displaystyle f_ {0} = u '_ {0}, ; f_ {1} = u_ {0} + u' _ {1}, ; dots, ; f_ {n-1} = u_ { n-2} + u '_ {n-1}, ; f_ {n} = u_ {n-1}}$

všude.^[8]

Tato nezbytná podmínka je také dostatečná, protože integrand se stává ${ displaystyle (u_ {0} h) '+ (u_ {1} h') '+ tečky + (u_ {n-1} h ^ {(n-1)})'.}$

Pouzdro n = 1 je pouze verze pro dvě dané funkce, protože ${ displaystyle f = f_ {0} = u '_ {0}}$ a ${ displaystyle f_ {1} = u_ {0},}$ tím pádem, ${ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} = 0.}$

Naproti tomu případ n= 2 nevede ke vztahu ${ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} + f' _ _ {2} = 0,}$ od funkce ${ displaystyle f_ {2} = u_ {1}}$ nemusí být rozlišitelné dvakrát. Postačující podmínka ${ displaystyle f_ {0} -f '_ {1} + f' _ _ {2} = 0}$ není nutné. Nutnou a dostatečnou podmínku lze spíše zapsat jako ${ displaystyle f_ {0} - (f_ {1} -f '_ {2})' = 0}$ pro n=2, ${ displaystyle f_ {0} - (f_ {1} - (f_ {2} -f '_ {3})') '= 0}$ pro n= 3 atd.; Obecně nelze závorky otevřít z důvodu nerozlišitelnosti.

Funkce s vektorovou hodnotou

Zobecnění na funkce s vektorovou hodnotou ${ displaystyle (a, b) do mathbb {R} ^ {d}}$ je přímočarý; jeden aplikuje výsledky pro skalární funkce na každou souřadnici samostatně,^[9] nebo zachází s případem s vektorovou hodnotou od začátku.^[10]

Funkce s více proměnnými

Pokud kontinuální funkce více proměnných F na otevřené soupravě ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {d}}$ uspokojuje rovnost

${ displaystyle int _ { Omega} f (x) , h (x) , mathrm {d} x = 0}$

pro všechny kompaktně podporované plynulé funkce h tedy na Ω F je shodně nula.

Podobně jako u základní verze lze uvažovat o spojité funkci F na uzavření Ω, za předpokladu, že h zmizí na hranici Ω (spíše než kompaktně podporováno).^[11]

Zde je verze pro diskontinuální funkce s více proměnnými.

Nechat ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {d}}$ být otevřenou sadou a ${ displaystyle f in L ^ {2} ( Omega)}$ uspokojit rovnost

${ displaystyle int _ { Omega} f (x) , h (x) , mathrm {d} x = 0}$

pro všechny kompaktně podporované plynulé funkce h na Ω. Pak F= 0 (v palcích) L², tedy téměř všude).^[12]

Aplikace

Toto lemma to dokazuje extrémy z funkční

${ displaystyle J [y] = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} L (t, y (t), { dot {y}} (t)) , mathrm {d } t}$

jsou slabá řešení ${ displaystyle y: [x_ {0}, x_ {1}] do V}$ (pro vhodný vektorový prostor ${ displaystyle V}$) z Euler-Lagrangeova rovnice

${ displaystyle { částečné L (t, y (t), { tečka {y}} (t)) nad částečné y} = { mathrm {d} nad mathrm {d} t} { parciální L (t, y (t), { dot {y}} (t)) nad částečný { dot {y}}}.}$

Euler-Lagrangeova rovnice hraje významnou roli v klasická mechanika a diferenciální geometrie.

Poznámky

Reference

• Jost, Jürgen; Li-Jost, Xianqing (1998), Variační počet, Cambridge University
• Gelfand, I.M .; Fomin, S.V. (1963), Variační počet, Prentice-Hall (překlad z ruštiny).
• Hestenes, Magnus R. (1966), Variační počet a teorie optimálního řízení, John Wiley
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Variační počet I.Springer