Nehari potrubí - Nehari manifold

Odrůda Nehari

V variační počet, pobočka matematika, a Nehari potrubí je množina funkcí, jejichž definice je motivována prací Zeev Nehari  (1960, 1961 ). Je to diferenciální potrubí spojené s Dirichletův problém pro semilineární eliptická parciální diferenciální rovnice

${ displaystyle - trojúhelník u = | u | ^ {p-1} u, { text {with}} u mid _ { částečné Omega} = 0.}$

Zde Δ je Laplacian na ohraničené doméně Ω v Rⁿ.

Existuje nekonečně mnoho řešení tohoto problému. Řešení jsou přesně kritickými body pro energie funkční

${ displaystyle J (v) = { frac {1} {2}} int _ { Omega} {| nabla v | ^ {2} , d mu} - { frac {1} {p +1}} int _ { Omega} {| v | ^ {p + 1} , d mu}}$

na Sobolevův prostor H¹
₀(Ω). Rozdělovač Nehari je definován jako množina proti ∈ H¹
₀(Ω) takhle

${ displaystyle | nabla v | _ {L ^ {2} ( Omega)} ^ {2} = | v | _ {L ^ {p + 1} ( Omega)} ^ {p + 1}> 0.}$

Řešení původního variačního problému, který leží v potrubí Nehari, jsou (omezené) minimalizátory energie, a tak přímé metody v variačním počtu lze přinést.

Obecněji řečeno, vzhledem k vhodné funkci J, přidružené potrubí Nehari je definováno jako sada funkcí u ve vhodném funkčním prostoru, pro který

${ displaystyle langle J '(u), u rangle = 0.}$

Tady J' je funkční derivace z J.

Reference

• A. Bahri a P. L. Lions (1988), Morseův index některých kritických bodů Min-Max. I. Aplikace na výsledky multiplicity. Sdělení o čisté a aplikované matematice. (XLI) 1027–1037.
• Nehari, Zeev (1960), „O třídě nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu“, Transakce Americké matematické společnosti, 95: 101–123, doi:10.2307/1993333, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993333, PAN  0111898
• Nehari, Zeev (1961), „Charakteristické hodnoty spojené s třídou nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu“, Acta Mathematica, 105 (3–4): 141–175, doi:10.1007 / BF02559588, ISSN  0001-5962, PAN  0123775
• Willem, Michel (1996), Věty o minimaxuPokrok v nelineárních diferenciálních rovnicích a jejich aplikacích, 24, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-3913-6, PAN  1400007

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.