Brachistochronová křivka - Brachistochrone curve

Křivka nejrychlejšího sestupu není přímá nebo polygonální čára (modrá), ale a cykloidní (Červené).

v matematika a fyzika, a brachistochronová křivka (z Starořečtina βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'shortest time'),^[1] nebo křivka nejrychlejšího sestupu je ten, který leží v rovině mezi bodem A a spodní bod B, kde B není přímo níže A, na kterém se sklouzává korálek bez tření pod vlivem rovnoměrného gravitačního pole k danému koncovému bodu v co nejkratším čase. Problém představoval Johann Bernoulli v roce 1696.

Brachistochronová křivka má stejný tvar jako tautochronová křivka; oba jsou cykloidy. Část cykloidu použitého pro každou z těchto dvou látek se však liší. Přesněji řečeno, brachistochron může použít až úplnou rotaci cykloidu (na hranici, když A a B jsou na stejné úrovni), ale vždy začíná na hrot. Naproti tomu problém s tautochronem lze použít pouze do první poloviny otáčení a vždy končí vodorovně.^[2] Problém lze vyřešit pomocí nástrojů z variační počet a optimální ovládání.^[3]

Křivka je nezávislá jak na hmotnosti zkušebního tělesa, tak na místní gravitační síle. Je zvolen pouze parametr, aby křivka odpovídala počátečnímu bodu A a konečný bod B.^[4] Pokud je těleso dáno počáteční rychlostí při A, nebo pokud se vezme v úvahu tření, pak se křivka, která minimalizuje čas, bude lišit od tautochronová křivka.

Dějiny

Johann Bernoulli představil problém brachistochronu čtenářům Acta Eruditorum v červnu 1696.^[5][6] Řekl:

Já, Johann Bernoulli, oslovuji ty nejskvělejší matematiky na světě. Pro inteligentní lidi není nic přitažlivějšího než upřímný a náročný problém, jehož možné řešení získá slávu a zůstane trvalým památníkem. Po příkladu, který uvedli Pascal, Fermat atd., Doufám, že získám vděčnost celé vědecké komunity tím, že před nejlepší matematiky naší doby postavím problém, který otestuje jejich metody a sílu jejich intelektu. Pokud mi někdo sdělí řešení navrhovaného problému, veřejně ho prohlásím za hodného chvály

Bernoulli napsal prohlášení o problému jako:

Vzhledem k tomu, že dva body A a B ve svislé rovině, jaká je křivka vysledovaná bodem, na který působí pouze gravitace, která začíná v A a dosahuje B v nejkratší době.

Johann a jeho bratr Jakob Bernoulli odvodil stejné řešení, ale Johannova derivace byla nesprávná, a pokusil se vydat Jakobovo řešení za své.^[7] Johann publikoval řešení v časopise v květnu následujícího roku a poznamenal, že řešení má stejnou křivku jako Huygens tautochronová křivka. Poté, co níže uvedenou metodou odvodil diferenciální rovnici pro křivku, pokračoval a ukázal, že poskytuje cykloid.^[8][9] Jeho důkaz však kazí jeho použití jedné konstanty namísto tří konstant, proti_m, 2 g a Dníže.

Bernoulli na řešení ponechal šest měsíců, během tohoto období však žádný nebyl přijat. Na žádost Leibnize byla doba veřejně prodloužena o rok a půl.^[10] Ve 16 hodin dne 29. ledna 1697, když dorazil domů z Královské mincovny, Isaac Newton našel výzvu v dopise Johanna Bernoulliho.^[11] Newton zůstal vzhůru celou noc, aby to vyřešil, a řešení poslal anonymně dalším příspěvkem. Po přečtení řešení Bernoulli okamžitě poznal jeho autora a zvolal, že „poznává lva podle své drápové značky“. Tento příběh poskytuje určitou představu o Newtonově moci, protože jeho vyřešení Johanovi Bernoulli trvalo dva týdny.^[4][12] Newton také napsal: „Nemám rád, když mě dunují [otravují] a škádlují cizinci o matematických věcech ...“, a Newton už vyřešil Newtonův problém s minimálním odporem, který je považován za první svého druhu v variační počet.

Nakonec pět matematiků odpovědělo řešením: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus a Guillaume de l'Hôpital. Čtyři z řešení (vyjma l'Hôpital's) byla publikována ve stejném vydání časopisu jako Johann Bernoulli. Jakob Bernoulli ve svém příspěvku prokázal podmínku nejméně po dobu podobnou té níže, než prokázal, že jejím řešením je cykloid.^[8] Podle newtonovského učence Tom Whiteside, ve snaze překonat svého bratra, Jakob Bernoulli vytvořil tvrdší verzi problému brachistochrone. Při jeho řešení vyvinul nové metody, které byly zdokonaleny Leonhard Euler do toho, co druhý jmenoval (v roce 1766) variační počet. Joseph-Louis Lagrange udělal další práci, která vyústila v moderní nekonečně malý počet.

Dříve, v roce 1638, se Galileo pokusil vyřešit podobný problém pro cestu nejrychlejšího sestupu z bodu ke zdi v jeho Dvě nové vědy. Dospěl k závěru, že oblouk kruhu je rychlejší než libovolný počet jeho akordů,^[13]

Z předchozího je možné odvodit, že nejrychlejší cesta ze všech [lationem omnium velocissimam] z jednoho bodu do druhého není nejkratší cestou, totiž přímkou, ale obloukem kruhu.

...

Proto čím blíže se zapsaný polygon blíží ke kruhu, tím kratší je čas potřebný pro sestup z A do C. To, co bylo prokázáno pro kvadrant, platí i pro menší oblouky; úvaha je stejná.

Těsně po větě 6 z Dvě nové vědy, Galileo varuje před možnými klamy a potřebou „vyšší vědy“. V tomto dialogu Galileo hodnotí svou vlastní práci. Skutečné řešení Galileova problému je napůl cykloidní. Galileo studoval cykloid a pojmenoval jej, ale spojení mezi ním a jeho problémem muselo počkat na pokrok v matematice.

Řešení Johanna Bernoulliho

Přímá metoda

V dopise Henrimu Basnageovi, který se konal ve veřejné knihovně Univerzity v Basileji ze dne 30. března 1697, uvedl Johann Bernoulli, že našel dvě metody (vždy označované jako „přímá“ a „nepřímá“), které ukazují, že Brachistochrone byl „společný cykloid“, nazývaný také „ruleta“. Na doporučení Leibnize zahrnul do Acta Eruditorum Lipsidae z května 1697 pouze nepřímou metodu. Napsal, že to bylo částečně proto, že se domníval, že stačí přesvědčit každého, kdo o závěru pochybuje, částečně proto, že také vyřešil dva slavné problémy v optice. kterou „zesnulý pan Huygens“ vznesl ve svém pojednání na světlo. Ve stejném dopise kritizoval Newtona za to, že tajil svou metodu.

Kromě své nepřímé metody zveřejnil také dalších pět odpovědí na problém, který dostal.

Přímá metoda Johanna Bernoulliho je historicky důležitá, protože to byl první důkaz, že brachistochron je cykloid. Metoda spočívá v určení zakřivení křivky v každém bodě. Všechny ostatní důkazy, včetně Newtonových (které v té době nebyly odhaleny) jsou založeny na nalezení gradientu v každém bodě.

Teprve v roce 1718 Bernoulli vysvětlil, jak svou přímou metodou vyřešil problém s brachistochronem.^[14][15]

Vysvětlil, že jej nepublikoval v roce 1697, a to z důvodů, které již neplatily v roce 1718. Tento dokument byl do značné míry ignorován až do roku 1904, kdy hloubku metody poprvé ocenil Constantin Carathéodory, který uvedl, že ukazuje, že cykloid je jedinou možnou křivkou nejrychlejšího sestupu. Podle něj další řešení jednoduše naznačovala, že čas sestupu je pro cykloid stacionární, ale ne nutně minimální možný.

Analytické řešení

Tělo je považováno za klouzající se po jakémkoli malém kruhovém oblouku Ce mezi poloměry KC a Ke, s pevným středem K. První fáze důkazu zahrnuje nalezení konkrétního kruhového oblouku, Mm, kterým tělo prochází v minimálním čase.

Přímka KNC protíná AL v N a přímka Kne ji protíná v n a vytvářejí malý úhel CKe v K. Nechť NK = a a definovat proměnný bod, C na KN prodloužený. Ze všech možných kruhových oblouků Ce je nutné najít oblouk Mm, který vyžaduje minimální čas pro sklouznutí mezi 2 poloměry, KM a Km. Chcete-li najít Mm Bernoulli tvrdí následující.

Nechť MN = x. Definuje m tak, že MD = mx, a n tak, že Mm = nx + na a poznamenává, že x je jediná proměnná a že m je konečné a n je nekonečně malé. Malý čas na cestování po oblouku Mm je ${ displaystyle { frac {Mm} {MD ^ { frac {1} {2}}}} = { frac {n (x + a)} {(mx) ^ { frac {1} {2} }}}}$ což musí být minimum („un plus petit“). Nevysvětluje, že protože Mm je tak malá, lze rychlost předpokládat jako rychlost při M, která je druhou odmocninou MD, vertikální vzdálenost M pod vodorovnou čárou AL.

Z toho vyplývá, že když se to rozlišuje, musí to být

${ displaystyle { frac {(x-a) dx} {2x ^ { frac {3} {2}}}} = 0}$ takže x = a.

Tato podmínka definuje křivku, po které se tělo posouvá v nejkratším možném čase. Pro každý bod, M na křivce, je poloměr zakřivení, MK oříznut na 2 stejné části jeho osou AL. Tato vlastnost, o které Bernoulli říká, že byla známá již dlouhou dobu, je pro cykloid jedinečná.

Nakonec uvažuje o obecnějším případě, kdy je rychlost libovolná funkce X (x), takže čas, který má být minimalizován, je ${ displaystyle { frac {(x + a)} {X}}}$Poté se stane minimální podmínka ${ displaystyle X = { frac {(x + a) dX} {dx}}}$kterou píše jako:${ displaystyle X = (x + a) Delta x}$a která dává MN (= x) jako funkci NK (= a). Z toho lze rovnici křivky získat z integrálního počtu, ačkoli to neprokazuje.

Syntetický roztok

Poté pokračuje tím, co nazval svým Syntetickým řešením, což byl klasický geometrický důkaz, že existuje pouze jedna křivka, kterou může tělo sklouznout za minimální dobu, a touto křivkou je cykloid.

Předpokládejme, že AMmB je součástí cykloidu spojujícího A až B, kterou tělo sklouzne za minimální čas. Nechť ICcJ je součástí jiné křivky spojující A až B, která může být blíže k AL než AMmB. Pokud oblouk Mm svírá úhel MKm ve svém středu zakřivení, K, nechť oblouk na IJ, který svírá stejný úhel, Cc. Kruhový oblouk procházející C s centrem K je Ce. Bod D na AL je svisle nad M. Spojte K s D a bod H je místo, kde CG protíná KD, v případě potřeby je prodlouženo.

Nechat ${ displaystyle tau}$ a t jsou časy, které tělo potřebuje k pádu podél Mm a Ce.

${ displaystyle tau propto { frac {Mm} {MD ^ { frac {1} {2}}}}}$, ${ displaystyle t propto { frac {Ce} {CG ^ { frac {1} {2}}}}}$,

Rozšířit CG do bodu F, kde ${ displaystyle CF = { frac {CH ^ {2}} {MD}}}$ a od té doby ${ displaystyle { frac {Mm} {Ce}} = { frac {MD} {CH}}}$, z toho vyplývá, že

${ displaystyle { frac { tau} {t}} = { frac {Mm} {Ce}}. left ({ frac {CG} {MD}} right) ^ { frac {1} { 2}} = left ({ frac {CG} {CF}} right) ^ { frac {1} {2}}}$

Protože MN = NK, pro cykloid:

${ displaystyle GH = { frac {MD.HD} {DK}} = { frac {MD.CM} {MK}}}$, ${ displaystyle CH = { frac {MD.CK} {MK}} = { frac {MD. (MK + CM)} {MK}}}$, a ${ displaystyle CG = CH + GH = { frac {MD. (MK + 2CM)} {MK}}}$

Pokud je Ce blíže K než Mm, pak

${ displaystyle CH = { frac {MD. (MK-CM)} {MK}}}$ a ${ displaystyle CG = CH-GH = { frac {MD. (MK-2CM)} {MK}}}$

V obou případech

${ displaystyle CF = { frac {CH ^ {2}} {MD}}> CG}$a z toho vyplývá ${ displaystyle tau$

Pokud oblouk, Cc, který je pod úhlem nekonečně malého úhlu MKm na IJ, není kruhový, musí být větší než Ce, protože Cec se stane pravouhlým trojúhelníkem v limitu, když se úhel MKm blíží nule.

Bernoulli dokazuje, že CF> CG podobným, ale odlišným argumentem.

Z toho vyvozuje, že tělo prochází cykloidním AMB za kratší dobu než jakákoli jiná křivka ACB.

Nepřímá metoda

Podle Fermatův princip, skutečná dráha mezi dvěma body paprskem světla je ta, která trvá nejméně času. V roce 1697 Johann Bernoulli použil tento princip k odvození brachistochronové křivky zvážením trajektorie paprsku světla v médiu, kde se rychlost světla zvyšuje po konstantním vertikálním zrychlení (gravitační G).^[16]

Podle uchování energie okamžitá rychlost těla proti po pádu z výšky y v jednotném gravitačním poli je dáno vztahem:

${ displaystyle v = { sqrt {2gy}}}$,

Rychlost pohybu těla podél libovolné křivky nezávisí na vodorovném posunutí.

Bernoulli poznamenal, že zákon lomu udává konstantu pohybu paprsku světla v prostředí s proměnnou hustotou:

${ displaystyle { frac { sin { theta}} {v}} = { frac {1} {v}} { frac {dx} {ds}} = { frac {1} {v_ {m }}}}$,

kde proti_m je konstanta a ${ displaystyle theta}$ představuje úhel trajektorie vzhledem k vertikále.

Výše uvedené rovnice vedou ke dvěma závěrům:

1. Na začátku musí být úhel nulový, když je rychlost částic nulová. Brachistochronová křivka tedy je tečna do svislice v počátku.
2. Rychlost dosáhne maximální hodnoty, když se trajektorie stane vodorovnou a úhel θ = 90 °.

Pro jednoduchost předpokládáme, že částice (nebo paprsek) se souřadnicemi (x, y) odchýlí od bodu (0,0) a dosáhne maximální rychlosti po pádu ze svislé vzdálenosti D:

${ displaystyle v_ {m} = { sqrt {2gD}}}$.

Přeskupení výrazů v zákoně lomu a kvadratury dává:

${ displaystyle v_ {m} ^ {2} dx ^ {2} = v ^ {2} ds ^ {2} = v ^ {2} (dx ^ {2} + dy ^ {2})}$

pro které lze vyřešit dx ve smyslu dy:

${ displaystyle dx = { frac {v , dy} { sqrt {v_ {m} ^ {2} -v ^ {2}}}}}$.

Nahrazení z výrazů pro proti a proti_m výše dává:

${ displaystyle dx = { sqrt { frac {y} {D-y}}} , dy ,,}$

který je diferenciální rovnice obráceného cykloidní generované kruhem o průměru D = 2r, jehož parametrická rovnice je:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = r ( varphi - sin varphi) y & = r (1- cos varphi). end {zarovnáno}}}$

kde φ je skutečný parametr, což odpovídá úhlu, o který se valivá kružnice otáčí. Pro daný φ leží střed kruhu na (X, y) = (rφ, r).

V brachistochronovém problému je pohyb těla dán časovým vývojem parametru:

${ displaystyle varphi (t) = omega t ,, omega = { sqrt { frac {g} {r}}}}$

kde t je doba od uvolnění těla z bodu (0,0).

Řešení Jakoba Bernoulliho

Johannův bratr Jakob ukázal, jak lze použít 2. diferenciály k získání podmínky po co nejkratší dobu. Modernizovaná verze důkazu je následující. Pokud uděláme zanedbatelnou odchylku od dráhy nejmenšího času, pak pro diferenciální trojúhelník tvořený posunem podél cesty a horizontálním a vertikálním posunem,

${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}$.

O diferenciaci s dy opraveno dostaneme

${ displaystyle 2ds d ^ {2} s = 2dx d ^ {2} x}$.

A nakonec přeskupení podmínek dává,

${ displaystyle { frac {dx} {ds}} d ^ {2} x = d ^ {2} s = v d ^ {2} t}$

kde poslední část je posunutí pro danou změnu času pro 2. diferenciály. Nyní zvažte změny podél dvou sousedních cest na obrázku níže, pro které je vodorovné oddělení mezi cestami podél středové čáry d²X (stejné pro horní i dolní diferenciální trojúhelníky). Podél staré a nové cesty se liší části,

${ displaystyle d ^ {2} t_ {1} = { frac {1} {v_ {1}}} { frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} d ^ {2} x}$

${ displaystyle d ^ {2} t_ {2} = { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} d ^ {2} x}$

Pro cestu nejméně krát jsou tyto časy stejné, takže pro jejich rozdíl dostaneme,

${ displaystyle d ^ {2} t_ {2} -d ^ {2} t_ {1} = 0 = { bigg (} { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2 }} {ds_ {2}}} - { frac {1} {v_ {1}}} { frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} { bigg)} d ^ {2} x }$

A podmínkou pro nejméně času je,

${ displaystyle { frac {1} {v_ {2}}} { frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} = { frac {1} {v_ {1}}} { frac { dx_ {1}} {ds_ {1}}}}$

což souhlasí s Johannovým předpokladem založeným na zákon lomu.

Newtonovo řešení

Úvod

V červnu 1696 využil Johann Bernoulli stránky Acta Eruditorum Lipsidae postavit výzvu mezinárodní matematické komunitě: najít tvar křivky spojující dva pevné body tak, aby po ní hmota sklouzla dolů pouze pod vlivem gravitace v minimálním čase. Řešení mělo být původně předloženo do šesti měsíců. Na návrh Leibnize rozšířil Bernoulli výzvu do Velikonoc 1697, a to prostřednictvím tištěného textu s názvem „Programma“, publikovaného v Groningen, V Nizozemsku.

The Program je v gregoriánském kalendáři datován 1. ledna 1697. Bylo to 22. prosince 1696 v juliánském kalendáři, který se používal v Británii. Podle Newtonovy neteře Catherine Conduittové se Newton o výzvě dozvěděl 29. ledna ve 16:00 a následující ráno ji vyřešil. Jeho řešení, sdělené Královské společnosti, je datováno 30. ledna. Toto řešení, později anonymně publikované v Filozofické transakce, je správné, ale neuvádí metodu, kterou Newton dospěl ke svému závěru. Bernoulli, který v březnu 1697 psal Henrimu Basnageovi, naznačil, že i když jeho autor „s přebytkem skromnosti“ neprozradil své jméno, přesto i podle mizejících podrobností jej lze rozpoznat jako Newtonovo dílo, „jako lev drápem “(v latině, tanquam ex ungue leonem).

John Wallis, kterému bylo v té době 80 let, se o problému dozvěděl v září 1696 od nejmladšího bratra Johanna Bernoulliho Hieronyma a strávil tři měsíce pokusem o řešení, než jej v prosinci schválil David Gregory, který to také nedokázal vyřešit. Poté, co Newton předložil své řešení, Gregory se ho zeptal na podrobnosti a udělal si poznámky z jejich rozhovoru. Ty lze nalézt v knihovně University of Edinburgh, rukopis A ${ displaystyle 78 ^ {1}}$, ze dne 7. března 1697. Buď Gregory nerozuměl Newtonově argumentu, nebo Newtonovo vysvětlení bylo velmi krátké. Je však možné s vysokou mírou důvěry vybudovat Newtonův důkaz z Gregoryho poznámek, analogicky s jeho metodou pro stanovení tělesa minimálního odporu (Principia, kniha 2, propozice 34, Scholium 2). Podrobný popis jeho řešení tohoto druhého problému je obsažen v návrhu dopisu z roku 1694, rovněž Davidovi Gregorymu.^[17] Kromě problému s minimální časovou křivkou se objevil i druhý problém, který Newton také současně vyřešil. Obě řešení se objevila anonymně ve Filosofických transakcích královské společnosti z ledna 1697.

Problém Brachistochrone

Obr. 1 ukazuje Gregoryho diagram (kromě toho, že v něm chybí další čára IF a Z byl přidán počáteční bod). Křivka ZVA je cykloid a CHV je její generující kruh. Jelikož se zdá, že se těleso pohybuje vzhůru z e do E, je třeba předpokládat, že malé těleso se uvolní ze Z a bez tření klouže podél křivky k A působením gravitace.

Zvažte malý oblouk eE, kterým tělo stoupá. Předpokládejme, že prochází přímkou ​​eL do bodu L, vodorovně posunutého od E o malou vzdálenost, o, namísto oblouku eE. Všimněte si, že eL není tečna v e a že o bude záporné, když L je mezi B a E. Nakreslete čáru přes E rovnoběžně s CH, řezáním eL v n. Z vlastnosti cykloidu je En kolmá k tečně v E a podobně tečna v E je rovnoběžná s VH.

Protože posunutí, EL je malé, liší se jen málo ve směru od tečny v E, takže úhel EnL je blízký pravému úhlu. V limitu, když se oblouk eE blíží nule, se eL stává rovnoběžným s VH, za předpokladu, že o je malé ve srovnání s eE, díky čemuž jsou trojúhelníky EnL a CHV podobné.

Také en se blíží délce akordu eE a zvýšení délky, ${ displaystyle eL-eE = nL = { frac {o.CH} {CV}}}$, ignorování výrazů v ${ displaystyle o ^ {2}}$ a vyšší, které představují chybu kvůli aproximaci, že eL a VH jsou paralelní.

Rychlost podél eE nebo eL lze brát jako rychlost v E, úměrně k ${ displaystyle { sqrt {CB}}}$ což je jako CH, protože ${ displaystyle CH = { sqrt {CB.CV}}}$

Zdá se, že to je vše, co Gregoryho poznámka obsahuje.

Nechť t je další čas k dosažení L,

${ displaystyle t propto { frac {nL} { sqrt {CB}}} = { frac {o.CH} {CV. { sqrt {CB}}}} = { frac {o} { sqrt {CV}}}}$

Zvýšení času pro průchod malého oblouku posunutého v jednom koncovém bodě proto závisí pouze na posunutí v koncovém bodě a je nezávislé na poloze oblouku. Podle Newtonovy metody je to však pouze podmínka nutná k tomu, aby křivka mohla projet v minimálním možném čase. Proto dochází k závěru, že minimální křivkou musí být cykloid.

Argumentuje následovně.

Za předpokladu, že nyní je obr. 1 minimální křivka dosud neurčená, se svislou osou CV a odstraněnou kružnicí CHV, a obr. 2 ukazuje část křivky mezi nekonečně malým obloukem eE a dalším nekonečně malým obloukem Ff konečnou vzdálenost podél křivka. Čas navíc, t, k procházení eL (spíše než eE) je nL děleno rychlostí při E (úměrně ${ displaystyle { sqrt {CB}}}$), ignoruje výrazy v ${ displaystyle o ^ {2}}$ a vyšší:

${ displaystyle t propto { frac {o.DE} {eE. { sqrt {CB}}}}}$,

V L částice pokračuje po dráze LM, rovnoběžně s původním EF, do libovolného bodu M. Jelikož má stejnou rychlost v L jako v E, čas k průchodu LM je stejný, jako by byl podél původní křivka EF. V M se vrátí na původní cestu v bodě f. Ze stejného důvodu je zkrácení času T k dosažení f z M spíše než z F

${ displaystyle T propto { frac {o.FG} {Ff. { sqrt {CI}}}}}$

Rozdíl (t - T) je čas navíc, který je potřeba po cestě eLMf ve srovnání s původním eEFf:

${ displaystyle (tT) propto left ({ frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} - { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}} right). Ó}$ plus termíny v ${ displaystyle o ^ {2}}$ a vyšší (1)

Protože eEFf je minimální křivka, (t - T) musí být větší než nula, ať už je o kladné nebo záporné. Z toho vyplývá, že koeficient o v (1) musí být nula:

${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}}}$ (2) v limitu jako eE a fF se blíží nule. Všimněte si, že protože eEFf je minimální křivka, je třeba předpokládat, že koeficient ${ displaystyle o ^ {2}}$ je větší než nula.

Je zřejmé, že musí existovat 2 stejná a opačná posunutí, jinak by se tělo nevrátilo do koncového bodu A křivky.

Pokud je e pevné a pokud je f považováno za variabilní bod výše na křivce, pak pro všechny takové body f, ${ displaystyle { frac {FG} {Ff { sqrt {CI}}}}}$ je konstantní (rovná se ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}}}$). Udržováním f fixní a proměnnou e je jasné, že ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}}}$ je také konstantní.

Ale protože body, e a f jsou libovolné, rovnice (2) může být pravdivá, pouze pokud ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { text {constant}}}$, všude a tato podmínka charakterizuje hledanou křivku. Jedná se o stejnou techniku, kterou používá k nalezení formy Solid of Least Resistance.

Pro cykloid, ${ displaystyle { frac {DE} {eE}} = { frac {BH} {VH}} = { frac {CH} {CV}}}$ , aby ${ displaystyle { frac {DE} {eE { sqrt {CB}}}} = { frac {CH} {CV. { sqrt {CB}}}}}$ který se ukázal výše jako konstantní a Brachistochrone je cykloid.

Newton neposkytuje žádné informace o tom, jak zjistil, že cykloid uspokojil tento poslední vztah. Mohlo to být metodou pokusů a omylů, nebo mohl okamžitě rozpoznat, že to znamená, že křivka je cykloid.

Viz také

• Paradox Aristotelova kola
• Beltrami identita
• Variační počet
• Catenary
• Cykloidní
• Newtonův problém s minimálním odporem
• Tautochronová křivka
• Trochoid
• Rovnoměrně zrychlený pohyb

Reference

externí odkazy

• "Brachistochrone", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Problém s brachistochronem“. MathWorld.
• Brachistochrone (na MathCurve, s vynikajícími animovanými příklady)
• Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
• Tabulka IV z Bernoulliho článku v Acta Eruditorum 1697
• Brachistochrones Michael Trott a Brachistochrone problém podle Okay Arik, Demonstrační projekt Wolfram.
• Problém Brachistochrone ve společnosti MacTutor
• Geodesics Revisited - Úvod do geodetika včetně dvou způsobů odvození rovnice geodetické s brachistochrone jako zvláštní případ geodézie.
• Optimální kontrolní řešení k problému Brachistochrone v Pythonu.
• Přímka, řetězovka, brachistochron, kruh a Fermat Jednotný přístup k některé geodetice.