Beltrami identita - Beltrami identity

Eugenio Beltrami

The Beltrami identita, pojmenoval podle Eugenio Beltrami, je zvláštní případ Euler-Lagrangeova rovnice v variační počet.

Euler-Lagrangeova rovnice slouží k extremizaci akce funkcionáři formuláře

${ displaystyle I [u] = int _ {a} ^ {b} L [x, u (x), u '(x)] , dx ,,}$

kde ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou konstanty a ${ displaystyle u '(x) = { frac {du} {dx}}}$.^[1]

Li ${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné x}} = 0}$, pak se Euler-Lagrangeova rovnice redukuje na Beltramiho identitu,

kde C je konstanta.^{[2][poznámka 1]}

Derivace

Následující odvození identity Beltrami začíná Euler-Lagrangeovou rovnicí,

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné u}} = { frac {d} {dx}} { frac { částečné L} { částečné u '}} ,.}$

Vynásobením obou stran u′,

${ displaystyle u '{ frac { částečné L} { částečné u}} = u' { frac {d} {dx}} { frac { částečné L} { částečné u '}} ,. }$

Podle řetězové pravidlo,

${ displaystyle {dL přes dx} = { částečné L přes částečné u} u '+ { částečné L přes částečné u'} u '+ { částečné L přes částečné x} , ,}$

kde ${ displaystyle u '' = { frac {du '} {dx}} = { frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}}}$.

Přeskupení tohoto výnosu

${ displaystyle u '{ částečné L přes částečné u} = {dL přes dx} - { částečné L přes částečné u'} u '- { částečné L přes částečné x} , .}$

Nahrazením tohoto výrazu tedy ${ displaystyle u '{ frac { částečné L} { částečné u}}}$do druhé rovnice této derivace,

${ displaystyle {dL over dx} - { částečné L přes částečné u '} u' - { částečné L přes částečné x} -u '{ frac {d} {dx}} { frac { částečné L} { částečné u '}} = 0 ,.}$

Podle pravidla produktu je poslední člen znovu vyjádřen jako

${ displaystyle u '{ frac {d} {dx}} { frac { částečné L} { částečné u'}} = { frac {d} {dx}} vlevo ({ frac { částečné L} { částečné u '}} u' pravé) - { frac { částečné L} { částečné u '}} u' ' ,,}$

a přeskupení,

${ displaystyle {d over dx} left ({L-u '{ frac { částečné L} { částečné u'}}} right) = { částečné L over částečné x} ,. }$

Pro případ ${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné x}} = 0}$, to se sníží na

${ displaystyle {d over dx} left ({L-u '{ frac { částečné L} { částečné u'}}} right) = 0 ,,}$

takže při primitivní vede k identitě Beltrami,

${ displaystyle L-u '{ frac { částečné L} { částečné u'}} = C ,,}$

kde C je konstanta.^[3]

Aplikace

Řešení problému s brachistochronem

Řešení problému s brachistochronem je cykloid.

Příkladem aplikace identity Beltrami je brachistochrone problém, což zahrnuje nalezení křivky ${ displaystyle y = y (x)}$ který minimalizuje integrál

${ displaystyle I [y] = int _ {0} ^ {a} { sqrt {{1 + y '^ {, 2}} nad y}} dx ,.}$

Integrrand

${ displaystyle L (y, y ') = { sqrt {{1 + y' ^ {, 2}} nad y}}}$

nezávisí výslovně na proměnné integrace ${ displaystyle x}$, takže platí identita Beltrami,

${ displaystyle L-y '{ frac { částečné L} { částečné y'}} = C ,.}$

Střídání za ${ displaystyle L}$ a zjednodušení,

${ displaystyle y (1 + y '^ {, 2}) = 1 / C ^ {2} ~~ { text {(konstanta)}} ,,}$

který lze vyřešit výsledkem ve formě parametrické rovnice

${ displaystyle x = A ( phi - sin phi)}$

${ displaystyle y = A (1- cos phi)}$

s ${ displaystyle A}$ je polovina výše uvedené konstanty, ${ displaystyle { frac {1} {2C ^ {2}}}}$, a ${ displaystyle phi}$ být proměnnou. Toto jsou parametrické rovnice pro a cykloidní.^[4]

Poznámky

Reference