Metoda Euler – Maruyama - Euler–Maruyama method - Wikipedia

v Itô kalkul, Metoda Euler – Maruyama (nazývané také Eulerova metoda) je metoda přibližné numerické řešení a stochastická diferenciální rovnice (SDE). Jedná se o jednoduché zobecnění Eulerova metoda pro obyčejné diferenciální rovnice na stochastické diferenciální rovnice. Je pojmenován po Leonhard Euler a Gisiro Marujama. Stejné zobecnění bohužel nelze provést pro žádnou libovolnou deterministickou metodu.^[1]

Zvažte stochastickou diferenciální rovnici (viz Itô kalkul )

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = a (X_ {t}) , mathrm {d} t + b (X_ {t}) , mathrm {d} W_ {t},}$

s počáteční stav X₀ = X₀, kde Ž_t znamená Wienerův proces, a předpokládejme, že chceme tento SDE vyřešit v určitém časovém intervalu [0,T]. Pak Euler – Marujama aproximace ke skutečnému řešení X je Markovův řetězec Y definováno takto:

• rozdělit interval [0,T] do N stejné podintervaly šířky ${ displaystyle Delta t> 0}$:

${ displaystyle 0 = tau _ {0} < tau _ {1} < cdots < tau _ {N} = T { text {a}} Delta t = T / N;}$

• soubor Y₀ = X₀;
• rekurzivně definovat Y_n pro 1 ≤n ≤ N podle

${ displaystyle , Y_ {n + 1} = Y_ {n} + a (Y_ {n}) , Delta t + b (Y_ {n}) , Delta W_ {n},}$

kde

${ displaystyle Delta W_ {n} = W _ { tau _ {n + 1}} - W _ { tau _ {n}}.}$

The náhodné proměnné ΔŽ_n jsou nezávislé a identicky distribuované normální náhodné proměnné s očekávaná hodnota nula a rozptyl ${ displaystyle Delta t}$.

Příklad

Numerická simulace

Genová exprese modelovaná jako stochastický proces

Oblast, která významně těží z SDE, je biologie nebo přesněji matematická biologie. Zde rostl počet publikací o použití stochastického modelu, protože většina modelů je nelineární a vyžaduje numerická schémata.

Grafika zobrazuje stochastickou diferenciální rovnici řešenou pomocí Eulerova schématu. Rovněž je uveden deterministický protějšek.

Počítačová implementace

Následující Krajta kód implementuje metodu Euler – Maruyama a používá ji k řešení Proces Ornstein – Uhlenbeck definován

${ displaystyle dY_ {t} = theta cdot ( mu -Y_ {t}) , { mathrm {d}} t + sigma , { mathrm {d}} W_ {t}}$

${ displaystyle Y_ {0} = Y _ { mathrm {init}}.}$

Náhodná čísla pro ${ displaystyle { mathrm {d}} W_ {t}}$ jsou generovány pomocí NumPy balíček matematiky.

 1 # - * - kódování: utf-8 - * - 2 import numpy tak jako np 3 import matplotlib.pyplot tak jako plt 4  5 num_sims = 5  # Zobrazit pět běhů 6  7 t_init = 3 8 t_end  = 7 9 N      = 1000  # Vypočítejte 1000 bodů mřížky10 dt     = plovák(t_end - t_init) / N11 y_init = 012 13 c_theta = 0.714 c_mu    = 1.515 c_sigma = 0.0616 17 def mu(y, t):18     "" "Implementovat nástroj Ornstein – Uhlenbeck mu." ""  # =  theta ( mu-Y_t)19     vrátit se c_theta * (c_mu - y)20 21 def sigma(y, t):22     "" "Implementujte sigma Ornstein – Uhlenbeck." ""  # =  sigma23     vrátit se c_sigma24 25 def dW(delta_t):26     "" "Ukázka náhodného čísla při každém hovoru." ""27     vrátit se np.náhodný.normální(loc=0.0, měřítko=np.čtv(delta_t))28 29 ts = np.divný(t_init, t_end + dt, dt)30 ys = np.nuly(N + 1)31 32 ys[0] = y_init33 34 pro _ v rozsah(num_sims):35     pro i v rozsah(1, ts.velikost):36         t = (i - 1) * dt37         y = ys[i - 1]38         ys[i] = y + mu(y, t) * dt + sigma(y, t) * dW(dt)39     plt.spiknutí(ts, ys)40 41 plt.xlabel(„čas“)42 h = plt.ylabel("y")43 h.set_rotation(0)44 plt.ukázat()

Následuje jednoduchý překlad výše uvedeného kódu do MATLAB (R2019b) programovací jazyk:

 1 %% Inicializace a obslužnost 2 zavřít Všechno; 3 Průhledná Všechno; 4  5 numSims = 5;            % zobrazí pět běhů 6 tBounds = [3 7];        % Hranice t 7 N  = 1000;          % Vypočítejte 1 000 bodů mřížky 8 dt  = (tBounds (2) - tBounds (1)) / N ; 9 y_init = 1;             % Počáteční podmínka y 10 11 12 pd = makedista('Normální',0,čtv(dt)); % Inicializovat rozdělení pravděpodobnosti pro naše 13                          % náhodná proměnná s průměrem 0 a 14                          % stdev z sqrt (dt)15 16 C = [0.7, 1.5, 0.06];   % počáteční Theta, Mu a Sigma17 18 ts  = linspace (tBounds (1), tBounds (2), N); % Od t0 -> t1 s N body19 ys  = nuly (1, N);     % 1xN Matice nul20 21 ys(1) = y_init;22 %% výpočet procesu23 pro j = 1:numSims24     pro i = 2: numel (ts)25         t = (i-1) .* dt;26         y = ys(i-1);27         mu  = c (1). * (c (2) - y);28         sigma  = c (3);29         dW  = náhodně (pd);30         31         ys(i) = y + mu .* dt + sigma .* dW;32     konec33 postava()34     držet na;35     spiknutí(ts, ys, 'Ó')36 konec

Viz také

• Milsteinova metoda
• Metoda Runge – Kutta (SDE)

Reference