Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci - Cauchy formula for repeated integration
The Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci, pojmenoval podle Augustin Louis Cauchy, umožňuje komprimovat n antidiferenciace funkce do jednoho integrálu (srov. Cauchyho vzorec ).
Skalární případ
Nechat F být spojitou funkcí na reálné linii. Pak nth opakovaný integrál z F se sídlem v A,
,
je dána jedinou integrací
.
Důkaz
Důkaz poskytuje indukce. Od té doby F je spojitý, základní případ vyplývá z základní věta o počtu:
;
kde
.
Předpokládejme, že to platí pro na dokážeme to n+1. Nejprve pomocí Leibnizovo integrální pravidlo, Všimněte si, že
.
Poté pomocí indukční hypotézy
![{ displaystyle { begin {aligned} f ^ {- (n + 1)} (x) & = int _ {a} ^ {x} int _ {a} ^ { sigma _ {1}} cdots int _ {a} ^ { sigma _ {n}} f ( sigma _ {n + 1}) , mathrm {d} sigma _ {n + 1} cdots , mathrm {d } sigma _ {2} , mathrm {d} sigma _ {1} & = int _ {a} ^ {x} { frac {1} {(n-1)!}} int _ {a} ^ { sigma _ {1}} left ( sigma _ {1} -t right) ^ {n-1} f (t) , mathrm {d} t , mathrm {d} sigma _ {1} & = int _ {a} ^ {x} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} sigma _ {1}}} vlevo [ { frac {1} {n!}} int _ {a} ^ { sigma _ {1}} left ( sigma _ {1} -t right) ^ {n} f (t) , mathrm {d} t vpravo] , mathrm {d} sigma _ {1} & = { frac {1} {n!}} int _ {a} ^ {x} vlevo ( xt right) ^ {n} f (t) , mathrm {d} t end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db103058193a1e3ecb95f3184030a86de2dba63)
Tím je důkaz dokončen.
Zobecnění a aplikace
Cauchyův vzorec je zobecněn na necelé parametry pomocí Riemann-Liouvilleův integrál, kde
je nahrazen
a faktoriál je nahrazen funkce gama. Tyto dva vzorce se shodují, kdy
.
Jak Cauchyův vzorec, tak Riemann-Liouvilleův integrál jsou generalizovány do libovolné dimenze pomocí Rieszův potenciál.
v zlomkový počet, tyto vzorce lze použít ke konstrukci a odlišný integrovaný, což umožňuje jednomu rozlišit nebo integrovat zlomkový počet opakování. Rozlišování zlomkového počtu opakování lze dosáhnout částečnou integrací a následným rozlišením výsledku.
Reference
- Gerald B. Folland, Pokročilý počet, str. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2
externí odkazy