Brownův web - Brownian web - Wikipedia

tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, Brownův web je nespočetná sbírka jednorozměrného splynutí Brownovy pohyby, počínaje každým bodem v prostoru a čase. Vzniká jako difuzní limit časoprostorového měřítka kolekce splynutí náhodné procházky, přičemž pokaždé začíná jedna chůze od každého bodu celočíselné mřížky Z.

Historie a základní popis

Grafická konstrukce voličského modelu s konfigurací ${ displaystyle eta _ {t}: = ( eta _ {t} (x)) _ {x v mathbb {Z}} v {0,1 } ^ { mathbb {Z}} }$ . Šipky určují, kdy volič změní svůj názor na názor souseda, na který šipka ukazuje. Rodokmeny se získávají sledováním šipek zpět v čase, které jsou distribuovány jako spojování náhodných procházek.

To, co je nyní známé jako Brownův web, vzniklo poprvé Arratia v jeho Ph.D. teze ^[1] a následný neúplný a nepublikovaný rukopis.^[2] Arratia studovala model voličů, an interagující částicový systém který modeluje vývoj politických názorů populace. Jednotlivci populace jsou reprezentováni vrcholy grafu a každý jednotlivec má jeden ze dvou možných názorů, reprezentovaných buď jako 0 nebo 1. Nezávisle rychlostí 1 každý jedinec mění svůj názor na názor náhodně vybraného souseda. Je známo, že model voličů má dvojí splynutí náhodné procházky (tj. náhodné procházky se pohybují samostatně, když jsou od sebe, a pohybují se jako jediná procházka, jakmile se setkají) v tom smyslu, že: názor každého jednotlivce lze kdykoli vysledovat zpětně v čase k předkovi v čase 0 a kloub genealogie názorů různých jednotlivců v různých dobách je souborem shlukování náhodných procházek vyvíjejících se zpět v čase. V prostorové dimenzi 1 splývá náhodné procházky počínaje konečným počtem časoprostorových bodů konverguje k konečnému počtu splynutí Brownovy pohyby, pokud je časoprostor rozptýlen difuzně (tj. každý bod časoprostoru (x, t) bude mapován na (εx, ε ^ 2t), s ε ↓ 0). To je důsledek Donskerův princip invariance. Méně zřejmá otázka zní:

Sloučení náhodných procházek po diskrétní časoprostorové mřížce ${ displaystyle mathbb {Z} _ { rm {even}} ^ {2}: = {(x, n) in mathbb {Z} ^ {2}: x + n { mbox {je sudé }} }.}$ Z každého bodu mřížky je nakreslena šipka nahoru-doprava nebo nahoru-vlevo s pravděpodobností 1/2 každý. Náhodné procházky se pohybují v čase nahoru podle šipek a různé náhodné procházky se spojí, jakmile se setkají.

Jaký je limit difúzní škálování společné sbírky jednorozměrných splynutí náhodných procházek počínaje každý bod v časoprostoru?

Arratia se rozhodla zkonstruovat tento limit, který nyní nazýváme Brownovým webem. Formálně vzato je to sbírka jednorozměrných splynutí Brownových pohybů počínaje každým bodem časoprostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Skutečnost, že Brownův web se skládá z nespočet počet Brownových pohybů je to, co činí konstrukci vysoce netriviální. Arratia dal konstrukci, ale nebyl schopen prokázat konvergenci splynutí náhodných procházek k omezujícímu objektu a charakterizovat takový omezující objekt.

Tóth a Werner ve své studii o skutečný odpuzující pohyb^[3] získal mnoho podrobných vlastností tohoto omezujícího objektu a jeho dvojího, ale neprokázal konvergenci splynutí procházek k tomuto omezujícímu objektu nebo jej charakterizoval. Hlavní obtíž při dokazování konvergence pramení z existence náhodných bodů, ze kterých může mít omezující objekt více cest. Arratia a Tóth a Werner byli si vědomi existence takových bodů a poskytli různé konvence, aby se vyhnuli takovéto početnosti. Fontes, Isopi, Nový muž a Ravishankar ^[4] zavedl topologii pro omezující objekt tak, aby byl realizován jako a náhodná proměnná brát hodnoty v a Polský prostor, v tomto případě prostor kompaktních sad cest. Tato volba umožňuje, aby omezující objekt měl více cest z náhodného časoprostoru. Zavedení této topologie jim umožnilo dokázat konvergenci splynutí náhodných procházek k jedinečnému omezujícímu objektu a charakterizovat ho. Pojmenovali tento omezující objekt Brownův web.

Rozšíření Brownova webu, nazvané Brownova síť, představili Sun a Swart ^[5] tím, že se spojující Brownovy pohyby nechají větvit. Alternativní konstrukci Brownovy sítě dali Newman, Ravishankar a Schertzer.^[6]

Pro nedávný průzkum viz Schertzer, Sun a Swart.^[7]

Reference