Měřítko invariance - Scale invariance

The Wienerův proces je neměnný.

v fyzika, matematika a statistika, škálová invariance je vlastnost objektů nebo zákonů, které se nemění, pokud jsou měřítka délky, energie nebo jiné proměnné vynásobeny společným faktorem, a představují tak univerzálnost.

Technický termín pro toto proměna je dilatace (také známý jako dilatace) a dilatace mohou také tvořit součást většího konformní symetrie.

• V matematice se škálová invariance obvykle týká invariance jednotlivce funkce nebo křivky. Úzce související koncept je sebepodobnost, kde funkce nebo křivka jsou neměnné pod diskrétní podmnožinou dilatací. Je také možné pro rozdělení pravděpodobnosti z náhodné procesy k zobrazení tohoto druhu měřítkové invariance nebo sebepodobnosti.
• v klasická teorie pole, měřítková invariance nejčastěji platí pro invariantnost celé teorie pod dilatacemi. Takové teorie obvykle popisují klasické fyzikální procesy bez charakteristické délkové stupnice.
• v kvantová teorie pole, škálová invariance má výklad v pojmech částicová fyzika. V teorii měřítka-invariantní síla interakcí částic nezávisí na energii zúčastněných částic.
• v statistická mechanika, škálová invariance je funkcí fázové přechody. Klíčovým pozorováním je, že v blízkosti fázového přechodu nebo kritický bod, fluktuace se vyskytují na všech délkových stupnicích, a proto je třeba hledat výslovně teorii invariantní k měřítku, která by je popsala. Takové teorie jsou škálově invariantní teorie statistických polí, a jsou formálně velmi podobné teoriím kvantového pole neměnného rozsahu.
• Univerzálnost je pozorování, že široce odlišné mikroskopické systémy mohou vykazovat stejné chování při fázovém přechodu. Fázové přechody v mnoha různých systémech lze tedy popsat stejnou základní teorií invariantního měřítka.
• Obecně, bezrozměrné množství jsou měřítko neměnné. Analogický koncept v statistika jsou standardizované momenty, což jsou statistické neměnné statistiky proměnné, zatímco nestandardizované momenty nejsou.

Měřítko-neměnné křivky a sebepodobnost

V matematice lze uvažovat o měřítkových vlastnostech a funkce nebo křivka F (X) při změně měřítka proměnné X. To znamená, že člověka zajímá tvar F (λx) pro nějaký faktor měřítka λ, což lze považovat za změnu velikosti délky nebo velikosti. Požadavek na F (X) být invariantní pod všemi změnami měřítka se obvykle považuje za

${ displaystyle f ( lambda x) = lambda ^ { Delta} f (x)}$

pro nějakou volbu exponenta Δa pro všechny dilatace λ. To odpovídá F být homogenní funkce stupně Δ.

Příklady funkcí neměnných měřítka jsou monomials ${ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$, pro který Δ = n, v tom jasně

${ displaystyle f ( lambda x) = ( lambda x) ^ {n} = lambda ^ {n} f (x) ~.}$

Příkladem křivky s neměnnou stupnicí je logaritmická spirála, druh křivky, která se v přírodě často objevuje. v polární souřadnice (r, θ), spirála může být napsána jako

${ displaystyle theta = { frac {1} {b}} ln (r / a) ~.}$

Při zohlednění rotace křivky je invariantní pod všemi změnami měřítka λ; to je θ(λr) je identická s rotovanou verzí θ(r).

Projektivní geometrie

Myšlenka měřítkové invariance monomie se zobecňuje ve vyšších dimenzích na myšlenku a homogenní polynom a obecněji a homogenní funkce. Homogenní funkce jsou přirozenými obyvateli projektivní prostor a homogenní polynomy jsou studovány jako projektivní odrůdy v projektivní geometrie. Projektivní geometrie je obzvláště bohatá oblast matematiky; v jeho nejabstrahujících formách, geometrii schémata, má vazby na různá témata v teorie strun.

Fraktály

A Kochova křivka je podobný.

Někdy se o tom říká fraktály jsou neměnné v měřítku, i když přesněji je třeba říci, že jsou podobný. Fraktál se rovná sobě obvykle pouze pro diskrétní sadu hodnot λ, a dokonce pak bude možná nutné použít translaci a rotaci, aby se fraktál přizpůsobil sám sobě.

Tak například Kochova křivka váhy s ∆ = 1, ale změna měřítka platí pouze pro hodnoty λ = 1/3ⁿ pro celé číslo n. Kromě toho se Kochova křivka škáluje nejen na počátku, ale v určitém smyslu i „všude“: po celé křivce lze najít její miniatury.

Některé fraktály mohou mít současně více faktorů škálování; takové měřítko je studováno s multi-fraktální analýza.

Periodické vnější a vnitřní paprsky jsou neměnné křivky.

Měřítko invariance ve stochastických procesech

Li P(F ) je průměrný, očekávaný výkon při frekvenci F , pak se hluk změní na

${ displaystyle P (f) = lambda ^ {- Delta} P ( lambda f)}$

s Δ = 0 pro bílý šum, Δ = -1 pro růžový šum, a Δ = −2 pro Brownův hluk (a obecněji Brownův pohyb ).

Přesněji řečeno, škálování ve stochastických systémech se týká pravděpodobnosti výběru konkrétní konfigurace ze souboru všech možných náhodných konfigurací. Tato pravděpodobnost je dána rozdělení pravděpodobnosti.

Příklady distribucí neměnných v měřítku jsou Paretova distribuce a Zipfian distribuce.

Škálování invariantních distribucí Tweedie

Tweedie distribuce jsou zvláštním případem modely exponenciálního rozptylu, třída statistických modelů používaných k popisu rozdělení chyb pro zobecněný lineární model a vyznačuje se uzavření za aditivní a reprodukční konvoluce i za transformaci v měřítku.^[1] Mezi ně patří řada běžných distribucí: normální distribuce, Poissonovo rozdělení a gama distribuce, stejně jako neobvyklejší distribuce, jako je složené Poissonovo-gama rozdělení, pozitivní stabilní distribuce a extrémně stabilní distribuce. Důsledkem jejich inherentní invariance v měřítku Tweedie náhodné proměnné Y předvést a rozptyl var (Y) až znamenat E(Y) mocenský zákon:

${ displaystyle { text {var}} , (Y) = a [{ text {E}} , (Y)] ^ {p}}$,

kde A a p jsou kladné konstanty. Tato odchylka ve smyslu zákonu moci je ve fyzikální literatuře známá jako změna fluktuace,^[2] a v ekologické literatuře jako Taylorův zákon.^[3]

Náhodné sekvence, řízené distribucí Tweedie a hodnocené pomocí způsob rozšiřování košů exponát A dvojpodmínečné vztah mezi rozptylem ve smyslu mocenského zákona a mocenského zákona autokorelace. The Věta Wiener – Khinchin dále znamená, že pro každou sekvenci, která vykazuje odchylku, se bude projevovat také mocenský zákon za těchto podmínek 1 / f hluk.^[4]

The Tweedie věta o konvergenci poskytuje hypotetické vysvětlení širokého projevu škálování fluktuace a 1 / f hluk.^[5] Vyžaduje v podstatě to, že jakýkoli model exponenciálního rozptylu, který asymptoticky projevuje rozptyl ve smyslu mocenského zákona, bude vyžadovat vyjádření varianční funkce který je součástí doména přitažlivosti modelu Tweedie. Téměř všechny distribuční funkce jsou konečné funkce generující kumulant kvalifikovat jako modely exponenciálního rozptylu a většina modelů exponenciálního rozptylu projevuje rozptylové funkce této formy. Mnoho distribucí pravděpodobnosti má proto rozptylové funkce, které to vyjadřují asymptotické chování a distribuce Tweedie se staly ohniskem konvergence pro širokou škálu datových typů.^[4]

Stejně jako teorém centrálního limitu vyžaduje, aby určité druhy náhodných proměnných byly zaměřeny na konvergenci Gaussovo rozdělení a vyjádřit bílý šum, Tweedieova věta o konvergenci vyžaduje k vyjádření určité negaussovské náhodné proměnné 1 / f změna měřítka hluku a fluktuace.^[4]

Kosmologie

v fyzikální kosmologie, výkonové spektrum prostorového rozložení kosmické mikrovlnné pozadí je blízko k tomu, že je funkcí neměnného rozsahu. Ačkoli to v matematice znamená, že spektrum je zákonem moci, v kosmologii termín „neměnný rozsah“ naznačuje, že amplituda, P(k), z prvotní výkyvy jako funkce číslo vlny, k, je přibližně konstantní, tj. ploché spektrum. Tento vzorec je v souladu s návrhem kosmická inflace.

Škálová invariance v klasické teorii pole

Teorie klasického pole je obecně popsán polem nebo sadou polí, φ, které závisí na souřadnicích, X. Konfigurace platných polí jsou poté určeny řešením diferenciální rovnice pro φa tyto rovnice jsou známé jako polní rovnice.

Aby teorie byla neměnná podle měřítka, její rovnice pole by měly být neměnné při změně měřítka souřadnic v kombinaci s určitým určením změny měřítka polí,

${ displaystyle x rightarrow lambda x ~,}$

${ displaystyle varphi rightarrow lambda ^ {- Delta} varphi ~.}$

Parametr Δ je známý jako měřítko pole a jeho hodnota závisí na uvažované teorii. Stupnice invariance bude obvykle platit za předpokladu, že se v teorii neobjeví žádná stupnice pevné délky. Naopak přítomnost stupnice pevné délky naznačuje, že teorie je ne scale-invariant.

Důsledkem měřítkové invariance je to, že vzhledem k řešení rovnice pole neměnného měřítka můžeme automaticky najít další řešení odpovídajícím změnou měřítka jak souřadnic, tak polí. Z technického hlediska, vzhledem k řešení, φ(X), vždy existuje jiné řešení formuláře

${ displaystyle lambda ^ { Delta} varphi ( lambda x)}$.

Škálování invariance konfigurací polí

Pro konkrétní konfiguraci pole φ(X), abychom byli invariantní vůči měřítku, vyžadujeme to

${ displaystyle varphi (x) = lambda ^ {- Delta} varphi ( lambda x)}$

kde Δ je opět rozměr měřítka pole.

Poznamenáváme, že tato podmínka je spíše omezující. Obecně platí, že i řešení rovnic pole neměnného rozsahu ne být měřítko-invariantní, a v takových případech se říká, že symetrie je spontánně zlomený.

Klasický elektromagnetismus

Příkladem stupnice neměnné klasické teorie pole je elektromagnetismus bez poplatků nebo proudů. Pole jsou elektrická a magnetická pole, E(X,t) a B(X,t), zatímco jejich polní rovnice jsou Maxwellovy rovnice.

Bez poplatků nebo proudů, tyto polní rovnice mít formu vlnové rovnice

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} mathbf {E}} { částečné t ^ {2}}}}$

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {B} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} mathbf {B}} { částečné t ^ {2}}}}$

kde C je rychlost světla.

Tyto polní rovnice jsou při transformaci neměnné

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t.}$

Navíc, vzhledem k řešení Maxwellových rovnic, E(X, t) a B(X, t), to platí E(λX, λt) a B(λX, λt) jsou také řešení.

Bezhmotná teorie skalního pole

Dalším příkladem stupnice neměnné klasické teorie pole je bezhmotný skalární pole (Všimněte si, že jméno skalární nesouvisí s měřítkovou invariantností). Skalární pole, φ(X, t) je funkcí množiny prostorových proměnných, Xa časová proměnná, t.

Zvažte nejprve lineární teorii. Stejně jako výše uvedené rovnice elektromagnetického pole je pohybová rovnice pro tuto teorii také vlnovou rovnicí,

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2} varphi = 0,}$

a je neměnný pod transformací

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t.}$

Název massless odkazuje na absenci termínu ${ displaystyle propto m ^ {2} varphi}$ v polní rovnici. Takový termín se často označuje jako „hromadný“ termín a podle výše uvedené transformace by narušil invariantnost. v relativistické teorie pole, v masovém měřítku, m je fyzicky ekvivalentní stupnici pevné délky

${ displaystyle L = { frac { hbar} {mc}},}$

a tak by nemělo být překvapující, že masivní teorie skalního pole je ne scale-invariant.

φ⁴ teorie

Polní rovnice v příkladech výše jsou všechny lineární v polích, což znamená, že měřítko, Δ, nebylo tak důležité. Jeden však obvykle vyžaduje, aby skalární pole akce je bezrozměrný, a to opravuje rozměr měřítka z φ. Zejména,

${ displaystyle Delta = { frac {D-2} {2}},}$

kde D je kombinovaný počet prostorových a časových dimenzí.

Vzhledem k této škálovací dimenzi pro φ, existují určité nelineární modifikace teorie nehmotného skalárního pole, které jsou rovněž měřítkově invariantní. Jeden příklad je bezhmotný φ⁴ teorie pro D= 4. Polní rovnice je

${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2} varphi + g varphi ^ {3} = 0.}$

(Všimněte si, že jméno φ⁴ pochází z formy Lagrangian, který obsahuje čtvrtou mocninu φ.)

Když D= 4 (např. Tři prostorové dimenze a jedna časová dimenze), je měřítko měřítka skalárního pole Δ= 1. Polní rovnice je pak pod transformací neměnná

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda t,}$

${ displaystyle varphi (x) rightarrow lambda ^ {- 1} varphi (x).}$

Klíčovým bodem je parametr G musí být bezrozměrný, jinak se do teorie zavede stupnice pevné délky: pro φ⁴ Teorie je to pouze v případě D= 4. Všimněte si, že v rámci těchto transformací argument funkce φ se nemění.

Měřítková invariance v kvantové teorii pole

Závislost měřítka a kvantová teorie pole (QFT) se vyznačuje tím, jak je spojovací parametry závisí na energetickém měřítku daného fyzického procesu. Tuto energetickou závislost popisuje renormalizační skupina a je zakódován v souboru beta funkce teorie.

Aby byl QFT invariantní s měřítkem, musí být jeho vazební parametry nezávislé na energetickém měřítku, což je indikováno mizením beta-funkcí teorie. Takové teorie jsou také známé jako pevné body odpovídajícího toku skupiny renormalizace.^[6]

Kvantová elektrodynamika

Jednoduchým příkladem QFT s neměnnou stupnicí je kvantované elektromagnetické pole bez nabitých částic. Tato teorie ve skutečnosti nemá žádné vazební parametry (od fotony jsou nehmotné a neinteragující), a proto je měřítko-invariantní, podobně jako klasická teorie.

V přírodě je však elektromagnetické pole spojeno s nabitými částicemi, jako je např elektrony. QFT popisující interakce fotonů a nabitých částic je kvantová elektrodynamika (QED) a tato teorie není invariantní vůči měřítku. Vidíme to z QED beta-funkce. To nám říká, že elektrický náboj (což je v teorii parametr vazby) se zvyšuje s rostoucí energií. Proto, zatímco kvantované elektromagnetické pole bez nabitých částic je scale-invariant, QED je ne scale-invariant.

Bezhmotná teorie skalního pole

Zdarma, bez masy kvantovaná teorie skalního pole nemá žádné spojovací parametry. Proto je stejně jako klasická verze invariantní vůči měřítku. V jazyce renormalizační skupiny je tato teorie známá jako Gaussův pevný bod.

Nicméně, i když klasický bezmasý φ⁴ teorie je v měřítku neměnná D= 4, kvantovaná verze je ne scale-invariant. Vidíme to z beta funkce pro parametr spojky, G.

I když kvantované bezhmotné φ⁴ není škálově invariantní, existují kvantově neměnné kvantované teorie skalárních polí jiné než Gaussův pevný bod. Jedním z příkladů je Wilson-Fisherův pevný bodníže.

Konformní teorie pole

Scale-invariantní QFT jsou téměř vždy invariantní pod plnou konformní symetrie a studium takových QFT je teorie konformního pole (CFT). Operátoři v CFT mají dobře definované rozměr měřítka, analogicky k měřítko, ∆klasického pole diskutovaného výše. Dimenze škálování operátorů v CFT se však obvykle liší od dimenzí polí v odpovídající klasické teorii. Další příspěvky, které se objevují na CFT, jsou známé jako anomální rozměry měřítka.

Škálovatelné a konformní anomálie

Hodnota φ⁴ výše uvedený příklad teorie ukazuje, že vazební parametry teorie kvantového pole mohou být závislé na měřítku, i když je odpovídající klasická teorie pole měřítkově invariantní (nebo konformně invariantní). Pokud tomu tak je, říká se, že je to klasická stupnice (nebo konformní) invariance anomální. Klasická stupnice invariantní teorie pole, kde je škálová invariance narušena kvantovými efekty, poskytuje vysvětlení téměř exponenciální expanze raného vesmíru zvané kosmická inflace, dokud lze teorii prozkoumat teorie poruch.^[7]

Fázové přechody

v statistická mechanika, protože systém prochází a fázový přechod, jeho fluktuace jsou popsány invariantem stupnice statistická teorie pole. Pro systém v rovnováze (tj. Nezávislý na čase) v D prostorové dimenze je odpovídající statistická teorie pole formálně podobná a D-rozměrný CFT. Dimenze měřítka se u takových problémů obvykle označují jako kritické exponenty a tyto exponenty lze v zásadě vypočítat v příslušném CFT.

Isingův model

Příkladem, který spojuje mnoho myšlenek v tomto článku, je fázový přechod Isingův model, jednoduchý model feromagnetický látky. Toto je model statistické mechaniky, který má také popis z hlediska teorie konformního pole. Systém se skládá z řady mřížkových míst, která tvoří a D-rozměrná periodická mřížka. S každým místem mřížky je spojeno a magnetický moment nebo roztočit a toto otočení může nabývat hodnoty +1 nebo -1. (Tyto stavy se také nazývají nahoru a dolů.)

Klíčovým bodem je, že Isingův model má interakci spin-spin, díky čemuž je energeticky výhodné vyrovnání dvou sousedních otočení. Na druhou stranu, tepelné výkyvy obvykle zavádějí náhodnost do zarovnání točení. Při určité kritické teplotě T_C , spontánní magnetizace prý dochází. To znamená, že níže T_C začne dominovat interakce spin-spin a v jednom ze dvou směrů dochází k určitému čistému zarovnání točení.

Příkladem druhu fyzikálních veličin, které bychom chtěli vypočítat při této kritické teplotě, je korelace mezi rotacemi oddělenými vzdáleností r. Toto má obecné chování:

${ displaystyle G (r) propto { frac {1} {r ^ {D-2 + eta}}},}$

pro nějakou konkrétní hodnotu ${ displaystyle eta}$, což je příklad kritického exponenta.

Popis CFT

Kolísání teploty T_C jsou měřítko-invariantní, a proto se očekává, že Isingův model v této fázové přeměně bude popsán teorií statistického pole s neměnným měřítkem. Tato teorie je ve skutečnosti Wilson-Fisherův pevný bod, konkrétní měřítko-invariantní teorie skalního pole.

V tomto kontextu, G(r) se chápe jako korelační funkce skalárních polí,

${ displaystyle langle phi (0) phi (r) rangle propto { frac {1} {r ^ {D-2 + eta}}}}$

Nyní můžeme do sebe zapadnout řadu již viděných nápadů.

Z výše uvedeného je vidět, že kritický exponent, η, pro tento fázový přechod, je také anomální dimenze. Je to proto, že klasická dimenze skalárního pole,

${ displaystyle Delta = { frac {D-2} {2}}}$

je upraven tak, aby se stal

${ displaystyle Delta = { frac {D-2 + eta} {2}},}$

kde D je počet rozměrů mřížky modelu Ising.

Takže tohle anomální dimenze v teorii konformního pole je stejný jako zvláštní kritický exponent fázového přechodu Isingova modelu.

Všimněte si, že pro dimenzi D ≡ 4−ε, η lze vypočítat přibližně pomocí epsilon expanzea jeden to zjistí

${ displaystyle eta = { frac { epsilon ^ {2}} {54}} + O ( epsilon ^ {3})}$.

Ve fyzicky zajímavém případě tří prostorových dimenzí máme ε= 1, a proto tato expanze není striktně spolehlivá. Semikvantitativní predikce je však taková η je numericky malý ve třech rozměrech.

Na druhou stranu je v dvourozměrném případě Isingův model přesně rozpustný. Zejména je ekvivalentní jednomu z minimální modely, rodina dobře srozumitelných CFT, a je možné počítat η (a další kritické exponenty) přesně,

${ displaystyle eta _ {_ {D = 2}} = { frac {1} {4}}}$.

Evoluce Schramm – Loewner

Anomální dimenze v určitých dvourozměrných CFT mohou souviset s typickými fraktální rozměry náhodných procházek, kde jsou náhodné procházky definovány pomocí Evoluce Schramm – Loewner (SLE). Jak jsme viděli výše, CFT popisují fyziku fázových přechodů, a tak lze vztahovat kritické exponenty určitých fázových přechodů k těmto fraktálním dimenzím. Mezi příklady patří 2d kritický Isingův model a obecnější 2d kritický Pottsův model. Vztahující se k ostatním 2d CFT pro SLE je aktivní oblastí výzkumu.

Univerzálnost

Fenomén známý jako univerzálnost je vidět v široké škále fyzických systémů. Vyjadřuje myšlenku, že odlišná mikroskopická fyzika může při fázovém přechodu vést ke stejnému měřítkovému chování. Kanonický příklad univerzality zahrnuje následující dva systémy:

• The Isingův model fázový přechod, popsaný výše.
• The kapalný -pára přechod v klasických tekutinách.

I když je mikroskopická fyzika těchto dvou systémů úplně odlišná, jejich kritické exponenty se ukázaly být stejné. Navíc je možné tyto exponenty vypočítat pomocí stejné teorie statistického pole. Klíčovým poznatkem je, že při fázovém přechodu nebo kritický bod, fluktuace se vyskytují na všech délkových stupnicích, a proto je třeba hledat teorii statistického pole s neměnnou stupnicí, která by je popsala. V jistém smyslu je univerzalita pozorováním, že existuje relativně málo takových teorií invariantních v měřítku.

Soubor různých mikroskopických teorií popsaných stejnou teorií invariantního měřítka je znám jako a třída univerzality. Další příklady systémů, které patří do třídy univerzality, jsou:

• Laviny v hromadách písku. Pravděpodobnost laviny je v právním poměru úměrná velikosti laviny a laviny se vyskytují ve všech velikostních stupnicích.
• Četnost výpadky sítě na Internet, jako funkce velikosti a doby trvání.
• Frekvence citací článků v časopisech, uvažovaná v síti všech citací mezi všemi články, jako funkce počtu citací v dané práci.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Tvoření a šíření trhlin a trhlin v materiálech od oceli přes kámen až po papír. Změny směru natržení nebo drsnosti zlomeného povrchu jsou v zákoně mocnině úměrné velikosti.
• The elektrické poruchy z dielektrika, které připomínají praskliny a slzy.
• The perkolace tekutin prostřednictvím neuspořádaných médií, jako je např ropa skrz rozbitá skalní lůžka nebo vodu přes filtrační papír, například v chromatografie. Power-law škálování spojuje rychlost toku s distribucí zlomenin.
• The difúze z molekuly v řešení a fenomén difúzně omezená agregace.
• Distribuce hornin různých velikostí v agregované směsi, která je otřesena (gravitací působící na horniny).

Klíčovým poznatkem je, že pro všechny tyto různé systémy se chování podobá a fázový přechod, a že jazyk statistické mechaniky a škálově invariantní statistická teorie pole mohou být použity k jejich popisu.

Další příklady měřítkové invariance

Newtonovská mechanika tekutin bez aplikovaných sil

Za určitých okolností, mechanika tekutin je stupnice neměnná klasická teorie pole. Pole jsou rychlost proudění tekutiny, ${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}, t)}$hustota tekutin, ${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t)}$a tlak kapaliny, ${ displaystyle P ( mathbf {x}, t)}$. Tato pole musí splňovat obě Navier-Stokesova rovnice a rovnice spojitosti. Pro Newtonova tekutina tyto mají příslušnou podobu

${ displaystyle rho { frac { částečné mathbf {u}} { částečné t}} + rho mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = - nabla P + mu vlevo ( nabla ^ {2} mathbf {u} + { frac {1} {3}} nabla left ( nabla cdot mathbf {u} right) right)}$

${ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot left ( rho mathbf {u} right) = 0}$

kde ${ displaystyle mu}$ je dynamická viskozita.

Abychom mohli odvodit měřítkovou invariantnost těchto rovnic, zadáme an stavová rovnice, který spojuje tlak kapaliny s hustotou kapaliny. Stavová rovnice závisí na typu kapaliny a podmínkách, kterým je vystavena. Například uvažujeme izotermický ideální plyn, což uspokojuje

${ displaystyle P = c_ {s} ^ {2} rho,}$

kde ${ displaystyle c_ {s}}$ je rychlost zvuku v kapalině. Vzhledem k této stavové rovnici jsou Navier-Stokes a rovnice kontinuity invariantní pod transformacemi

${ displaystyle x rightarrow lambda x,}$

${ displaystyle t rightarrow lambda ^ {2} t,}$

${ displaystyle rho rightarrow lambda ^ {- 1} rho,}$

${ displaystyle mathbf {u} rightarrow mathbf {u}.}$

Vzhledem k řešení ${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}, t)}$ a ${ displaystyle rho ( mathbf {x}, t)}$, automaticky to máme${ displaystyle lambda mathbf {u} ( lambda mathbf {x}, lambda ^ {2} t)}$ a ${ displaystyle lambda rho ( lambda mathbf {x}, lambda ^ {2} t)}$ jsou také řešení.

Počítačové vidění

v počítačové vidění a biologické vidění, transformace měřítka vznikají kvůli mapování perspektivního obrazu a kvůli objektům, které mají ve světě různé fyzické velikosti. V těchto oblastech se škálová invariance týká místních deskriptorů obrázků nebo vizuálních reprezentací obrazových dat, které zůstávají invariantní, když se změní místní měřítko v doméně obrázku.^[8] Detekce lokálních maxim na stupnicích normalizovaných derivačních odpovědí poskytuje obecný rámec pro získání invariance měřítka z obrazových dat.^[9][10]Mezi příklady aplikací patří detekce blob, detekce rohů, detekce hřebene a rozpoznávání objektů pomocí měřítko-neměnná transformace funkcí.

Viz také

• Inverzní čtvercový potenciál
• Laurent Nottale, vynálezce relativity měřítka
• Zákon o moci
• Bezškálová síť

Reference

Další čtení

• Zinn-Justin, Jean (2002). Kvantová teorie pole a kritické jevy. Oxford University Press. Rozsáhlá diskuse o škálové invariance v kvantových a statistických polních teoriích, aplikacích na kritické jevy a expanzi epsilonu a souvisejících tématech.
• DiFrancesco, P .; Mathieu, P .; Senechal, D. (1997). Konformní teorie pole. Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010). Teorie statistického pole. Úvod do přesně řešených modelů statistické fyziky. Oxford University Press.