Perfektní set - Perfect set

v obecná topologie, podmnožina a topologický prostor je perfektní Pokud to je Zavřeno a nemá izolované body. Ekvivalentně: sada ${displaystyle S}$ je perfektní, pokud ${displaystyle S = S '}$, kde ${displaystyle S '}$ označuje množinu všech mezní body z ${displaystyle S}$, také známý jako odvozená množina z ${displaystyle S}$.

V dokonalé množině lze každý bod libovolně dobře aproximovat jinými body ze sady: vzhledem k libovolnému bodu ${displaystyle S}$ a jakékoli sousedství bodu, existuje další bod ${displaystyle S}$ která leží v sousedství. Kromě toho jakýkoli bod prostoru, který lze tak aproximovat body ${displaystyle S}$ patří ${displaystyle S}$.

Všimněte si, že termín dokonalý prostor se také nekompatibilně používá k označení jiných vlastností topologického prostoru, jako je a G_δ prostor.

Příklady

Příklady dokonalých podmnožin souboru skutečná linie ${displaystyle mathbb {R}}$ jsou: prázdná sada, Všechno uzavřené intervaly samotná skutečná linie a Cantor set. To druhé je pozoruhodné tím, že je úplně odpojen.

Souvislost s jinými topologickými vlastnostmi

Každý topologický prostor lze zapsat jedinečným způsobem jako disjunktní spojení dokonalé množiny a roztroušená sada.^[1][2]

Cantor dokázal, že každou uzavřenou podmnožinu reálné linie lze jednoznačně zapsat jako disjunktní spojení dokonalé množiny a spočetná sada. To platí také obecněji pro všechny uzavřené podmnožiny Polské prostory, v takovém případě je věta známá jako Cantor – Bendixsonova věta.

Cantor také ukázal, že každá neprázdná dokonalá podmnožina skutečné linie má mohutnost ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$, mohutnost kontinua. Tyto výsledky jsou rozšířeny v deskriptivní teorie množin jak následuje:

• Li X je kompletní metrický prostor bez izolovaných bodů, pak Cantorův prostor 2^ω může být nepřetržitě vloženo do X. Tím pádem X má alespoň mohutnost ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$. Li X je oddělitelný, úplný metrický prostor bez izolovaných bodů, mohutnost X je přesně ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$.
• Li X je místně kompaktní Hausdorffův prostor bez ojedinělých bodů existuje injekční funkce (nemusí nutně nepřetržitě) z Cantorova prostoru do Xa tak X má alespoň mohutnost ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$.

Viz také

• Hustý sám o sobě
• Vlastnost konečné křižovatky
• Topologie podprostoru

Poznámky

Reference

• Engelking, Ryszard, Obecná topologie, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Kechris, A. S. (1995), Klasická deskriptivní teorie množin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3540943749
• Levy, A. (1979), Teorie základní množiny, Berlín, New York: Springer-Verlag
• editoval Elliott Pearl. (2007), Pearl, Elliott (ed.), Otevřené problémy v topologii. II, Elsevier, ISBN  978-0-444-52208-5, PAN  2367385CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)