Integrální formulace cesty - Path integral formulation - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

The cesta integrální formulace je popis v kvantová mechanika který zobecňuje princip akce z klasická mechanika. Nahrazuje klasický pojem jediné jedinečné klasické trajektorie pro systém součtem, nebo funkční integrál, přes nekonečno kvantově mechanicky možných trajektorií k výpočtu a kvantová amplituda.

Tato formulace se ukázala jako zásadní pro následný vývoj teoretická fyzika, protože manifest Lorentzova kovariance (časové a prostorové složky veličin vstupují do rovnic stejným způsobem) je snazší dosáhnout než ve formalizátoru operátoru kanonická kvantizace. Na rozdíl od předchozích metod integrace cesty umožňuje snadno měnit souřadnice mezi velmi odlišnými kanonický popisy stejného kvantového systému. Další výhodou je, že je v praxi snazší uhodnout správnou formu souboru Lagrangian teorie, která přirozeně vstupuje do cesty integrály (pro interakce určitého typu to jsou souřadnicový prostor nebo Feynmanovy integrály cest), než Hamiltonian. Mezi možné nevýhody tohoto přístupu patří jednotnost (to souvisí se zachováním pravděpodobnosti; pravděpodobnosti všech fyzicky možných výsledků musí být součtem jednoho) z S-matice je ve formulaci nejasný. Ukázalo se, že cesta-integrální přístup je ekvivalentní ostatním formalismům kvantové mechaniky a kvantové teorie pole. Tak, tím odvození buď přístup z druhého, problémy spojené s jedním nebo druhým přístupem (jak dokládá Lorentzova kovariance nebo unitarita) zmizí.^[1]

Integrace dráhy také souvisí s kvantovými a stochastický a to poskytlo základ pro velkou syntézu 70. let, která se sjednotila kvantová teorie pole s statistická teorie pole kolísavého pole poblíž a fázový přechod druhého řádu. The Schrödingerova rovnice je difúzní rovnice s imaginární difúzní konstantou a integrál dráhy je analytické pokračování metody shrnutí všeho možného náhodné procházky.^[2]

Lze vysledovat základní myšlenku formulace integrace cesty Norbert Wiener, který představil Wienerův integrál pro řešení problémů při difúzi a Brownův pohyb.^[3] Tato myšlenka byla rozšířena na použití Lagrangian v kvantové mechanice od Paul Dirac ve svém článku z roku 1933.^[4][5] Kompletní metoda byla vyvinuta v roce 1948 Richard Feynman. Některé přípravné práce byly dříve zpracovány v jeho doktorské práci pod vedením John Archibald Wheeler. Původní motivace vycházela z touhy získat kvantově-mechanickou formulaci pro Teorie absorbérů Wheeler – Feynman používat Lagrangian (spíše než a Hamiltonian ) jako výchozí bod.

Jedná se o pět z nekonečně mnoha cest dostupných pro pohyb částice z bodu A v čase t do bodu B v čase t '(> t). Cesty, které se samy protínají nebo se vracejí v čase, nejsou povoleny.

Princip kvantové akce

V kvantové mechanice, stejně jako v klasické mechanice, platí Hamiltonian je generátor časových překladů. To znamená, že stav o něco později se liší od stavu v aktuálním čase výsledkem jednání s hamiltonovským operátorem (vynásobený záporným imaginární jednotka, −i). Pro státy s určitou energií se jedná o prohlášení o de Broglieho vztah mezi frekvencí a energií a obecný vztah je v souladu s tím plus princip superpozice.

Hamiltonián v klasické mechanice je odvozen z a Lagrangian, což je ve srovnání s speciální relativita. Hamiltonian naznačuje, jak pochodovat v čase, ale čas se liší v různých referenční snímky. Lagrangian je a Lorentz skalární, zatímco hamiltonián je časovou složkou a čtyři-vektor. Hamiltonián se tedy liší v různých rámcích a tento typ symetrie není v původní formulaci kvantové mechaniky patrný.

Hamiltonián je funkcí polohy a hybnosti najednou a určuje polohu a hybnost o něco později. Lagrangian je funkcí pozice nyní a pozice o něco později (nebo, ekvivalentně pro nekonečně malé časové separace, je funkcí polohy a rychlosti). Vztah mezi těmito dvěma je a Legendární transformace a podmínka, která určuje klasické pohybové rovnice ( Euler-Lagrangeovy rovnice ) je to akce má extrém.

V kvantové mechanice je obtížné interpretovat Legendrovu transformaci, protože pohyb není nad určitou trajektorií. V klasické mechanice s diskretizace časem se transformace Legendre stane

${ displaystyle varepsilon H = p (t) { big (} q (t + varepsilon) -q (t) { big)} - varepsilon L}$

a

${ displaystyle p = { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}}}},}$

kde parciální derivace vzhledem k ${ displaystyle { dot {q}}}$ drží q(t + ε) pevný. Inverzní Legendreova transformace je

${ displaystyle varepsilon L = varepsilon p { dot {q}} - varepsilon H,}$

kde

${ displaystyle { dot {q}} = { frac { částečné H} { částečné p}},}$

a částečná derivace je nyní s ohledem na p na pevnou q.

V kvantové mechanice je stav a superpozice různých stavů s různými hodnotami qnebo jiné hodnoty pa množství p a q lze interpretovat jako operátory bez příkazu. Operátor p je definitivní pouze pro státy, které jsou neurčité s ohledem na q. Zvažte tedy dva stavy oddělené v čase a jednejte s operátorem odpovídajícím Lagrangeově:

${ displaystyle e ^ {i { big [} p { big (} q (t + varepsilon) -q (t) { big)} - varepsilon H (p, q) { big]}}. }$

Pokud jsou multiplikace implicitní v tomto vzorci interpretovány jako matice multiplikace, prvním faktorem je

${ displaystyle e ^ {- ipq (t)},}$

a pokud je to také interpretováno jako násobení matice, součet všech stavů se integruje do všech q(t), a tak to trvá Fourierova transformace v q(t) změnit základ na p(t). To je akce na Hilbertově prostoru - změnit základ na p v čase t.

Další přichází

${ displaystyle e ^ {- i varepsilon H (p, q)},}$

nebo vyvinout nekonečně malý čas do budoucnosti.

Nakonec je posledním faktorem této interpretace

${ displaystyle e ^ {ipq (t + varepsilon)},}$

což znamená změnit základ zpět na q později.

To se příliš neliší od běžné evoluce času: H faktor obsahuje všechny dynamické informace - posune stav v čase vpřed. První část a poslední část jsou jen Fourierovy transformace, které se změní na čistou q na základě meziproduktu p základ.

Jiným způsobem, jak to říci, je, že protože hamiltonián je přirozeně funkcí p a q, umocnění tohoto množství a změna základu z p na q v každém kroku umožňuje maticový prvek H být vyjádřen jako jednoduchá funkce podél každé cesty. Tato funkce je kvantovým analogem klasické akce. Toto pozorování je způsobeno Paul Dirac.^[6]

Dirac dále poznamenal, že by se dalo srovnat operátor evoluce času v S zastoupení:

${ displaystyle e ^ {i varepsilon S},}$

a to dává operátorovi evoluce času mezi časem t a čas t + 2ε. Zatímco v H reprezentace množství, které se sčítá přes mezilehlé stavy, je v prvku S reprezentace je reinterpretována jako veličina spojená s cestou. V limitu, který vezmeme velkou moc tohoto operátora, rekonstruujeme plný kvantový vývoj mezi dvěma stavy, časným s pevnou hodnotou q(0) a pozdější s pevnou hodnotou q(t). Výsledkem je součet přes cesty s fází, což je kvantová akce. Klíčové je, že Dirac v tomto článku identifikoval hluboký kvantově-mechanický důvod pro zásada nejmenší akce ovládání klasického limitu (viz rámeček nabídky).

Feynmanova interpretace

Diracova práce neposkytla přesný předpis pro výpočet součtu přes cesty a neprokázal, že by bylo možné obnovit Schrödingerovu rovnici nebo kanonické komutační vztahy z tohoto pravidla. To udělal Feynman.^{[poznámka 1]} To znamená, že klasická cesta vzniká přirozeně v klasickém limitu.

Feynman ukázal, že Diracova kvantová akce byla pro většinu zajímavých případů prostě stejná jako klasická akce, vhodně diskretizovaná. To znamená, že klasická akce je fáze získaná kvantovým vývojem mezi dvěma pevnými koncovými body. Navrhl získat veškerou kvantovou mechaniku z následujících postulátů:

1. The pravděpodobnost protože událost je dána čtvercovým modulem komplexního čísla zvaného „amplituda pravděpodobnosti“.
2. The amplituda pravděpodobnosti je dáno sečtením příspěvků všech cest v konfiguračním prostoru.
3. Příspěvek cesty je úměrný E^je/ħ, kde S je akce dané integrál času z Lagrangian Podél cesty.

Abychom zjistili celkovou amplitudu pravděpodobnosti pro daný proces, pak se sečte nebo integruje, amplituda 3. postulátu nad prostorem Všechno možné cesty systému mezi počátečním a konečným stavem, včetně těch, které jsou podle klasických standardů absurdní. Při výpočtu amplitudy pravděpodobnosti přechodu jedné částice z jedné časoprostorové souřadnice do druhé je správné zahrnout cesty, ve kterých částice popisuje kudrlinky, křivky, ve kterých částice vystřeluje do vesmíru a letí zpět, atd. The cesta integrální přiřadí všem těmto amplitudám stejná váha ale různé fáze, nebo argument komplexní číslo. Příspěvky z cest divoce odlišných od klasické trajektorie mohou být potlačeny pomocí rušení (viz. níže).

Feynman ukázal, že tato formulace kvantové mechaniky je ekvivalentní s kanonický přístup k kvantové mechanice když je Hamiltonian v hybnosti nanejvýš kvadratický. Amplituda vypočítaná podle Feynmanových principů bude také poslouchat Schrödingerova rovnice pro Hamiltonian odpovídající dané akci.

Cesta integrální formulace kvantové teorie pole představuje amplituda přechodu (odpovídá klasickému korelační funkce ) jako vážený součet všech možných historií systému od počátečního po konečný stav. A Feynmanův diagram je grafické znázornění a rušivé příspěvek k přechodové amplitudě.

Cesta integrální v kvantové mechanice

Derivace časových segmentů

Jedním z běžných přístupů k odvození integrálního vzorce dráhy je rozdělení časového intervalu na malé kousky. Jakmile je to hotovo, Vzorec produktu Trotter nám říká, že nekomutativitu provozovatelů kinetické a potenciální energie lze ignorovat.

U částice s hladkým potenciálem je integrál dráhy aproximován číslem cikcak cesty, která je v jedné dimenzi produktem běžných integrálů. Pro pohyb částice z polohy X_A v čase t_A na X_b v čase t_b, časová posloupnost

${ displaystyle t_ {a} = t_ {0}$

lze rozdělit na n + 1 menší segmenty t_j − t_{j − 1}, kde j = 1, ..., n + 1, s pevnou dobou trvání

${ displaystyle varepsilon = Delta t = { frac {t_ {b} -t_ {a}} {n + 1}}.}$

Tento proces se nazývá krájení času.

Aproximaci integrálu dráhy lze vypočítat jako proporcionální k

${ displaystyle int limity _ {- infty} ^ {+ infty} cdots int limity _ {- infty} ^ {+ infty} exp left ({ frac {i} { hbar}} int _ {t_ {a}} ^ {t_ {b}} L { big (} x (t), v (t) { big)} , dt right) , dx_ {0 } , cdots , dx_ {n},}$

kde L(X, proti) je Lagrangeova z jednorozměrného systému s proměnnou polohy X(t) a rychlost proti = X(t) zváženo (viz níže) a dx_j odpovídá poloze na jth časový krok, je-li časový integrál aproximován součtem n podmínky.^{[pozn. 2]}

V limitu n → ∞, to se stává funkční integrál, který je kromě nepodstatného faktoru přímo součinem amplitud pravděpodobnosti ⟨X_b, t_b|X_A, t_A⟩ (přesněji, protože člověk musí pracovat s kontinuálním spektrem, příslušnými hustotami), aby našel kvantově mechanickou částici na t_A v počátečním stavu X_A a v t_b v konečném stavu X_b.

Vlastně L je klasický Lagrangian uvažovaného jednorozměrného systému,

${ displaystyle L (x, { dot {x}}) = T-V = { frac {1} {2}} m | { dot {x}} | ^ {2} -V (x)}$

a výše uvedené „cikcak“ odpovídá vzhledu výrazů

${ displaystyle exp left ({ frac {i} { hbar}} varepsilon sum _ {j = 1} ^ {n + 1} L left ({ tilde {x}} _ {j} , { frac {x_ {j} -x_ {j-1}} { varepsilon}}, j right) right)}$

v Riemannova suma aproximace časového integrálu, které jsou nakonec integrovány přes X₁ na X_n s integračním opatřením dx₁...dx_n, X_j je libovolná hodnota intervalu odpovídající j, např. jeho střed, X_j + X_j−1/2.

Na rozdíl od klasické mechaniky tedy přispívá nejen stacionární cesta, ale ve skutečnosti také všechny virtuální cesty mezi počátečním a konečným bodem.

Cesta integrální vzorec

Pokud jde o vlnovou funkci v reprezentaci polohy, vzorec integrace dráhy zní takto:

${ displaystyle psi (x, t) = { frac {1} {Z}} int _ { mathbf {x} (0) = x} { mathcal {D}} mathbf {x} , e ^ {iS [ mathbf {x}, { dot { mathbf {x}}}]}} psi _ {0} ( mathbf {x} (t)) ,}$

kde ${ displaystyle { mathcal {D}} mathbf {x}}$ označuje integraci přes všechny cesty ${ displaystyle mathbf {x}}$ s ${ displaystyle mathbf {x} (0) = x}$ a kde ${ displaystyle Z}$ je normalizační faktor. Tady ${ displaystyle S}$ je akce daná

${ displaystyle S [ mathbf {x}, { dot { mathbf {x}}}] = int dt , L ( mathbf {x} (t), { dot { mathbf {x}} } (t))}$

Přehrát média

Diagram ukazuje příspěvek k integrálu dráhy volné částice pro sadu cest.

Volná částice

Integrální vyjádření dráhy udává kvantovou amplitudu pro přechod z bodu X ukazovat y jako integrál na všech cestách. Pro akci s volnými částicemi (pro jednoduchost dovol m = 1, ħ = 1)

${ displaystyle S = int { frac {{ dot {x}} ^ {2}} {2}} , dt,}$

integrál lze hodnotit explicitně.

K tomu je vhodné začít bez faktoru i v exponenciálu, takže velké odchylky jsou potlačeny malým počtem, nikoli rušením oscilačních příspěvků. Amplituda (nebo jádro) zní:

${ displaystyle K (xy; T) = int _ {x (0) = x} ^ {x (T) = y} exp left (- int _ {0} ^ {T} { frac { { dot {x}} ^ {2}} {2}} , dt right) , Dx.}$

Rozdělení integrálu na časové řezy:

${ displaystyle K (x, y; T) = int _ {x (0) = x} ^ {x (T) = y} prod _ {t} exp left (- { tfrac {1} {2}} left ({ frac {x (t + varepsilon) -x (t)} { varepsilon}} right) ^ {2} varepsilon right) , Dx,}$

Kde Dx je interpretován jako konečná kolekce integrací v každém celočíselném násobku ε. Každý faktor v produktu je Gaussian jako funkce X(t + ε) se středem na X(t) s odchylkou ε. Několik integrálů se opakuje konvoluce tohoto Gaussiana G_ε s kopiemi sebe sama v sousedních dobách:

${ displaystyle K (x-y; T) = G _ { varepsilon} * G _ { varepsilon} * cdots * G _ { varepsilon},}$

kde je počet závitů T/ε. Výsledek lze snadno vyhodnotit pomocí Fourierovy transformace obou stran, aby se konvoluce staly multiplikacemi:

${ displaystyle { tilde {K}} (p; T) = { tilde {G}} _ { varepsilon} (p) ^ {T / varepsilon}.}$

Fourierova transformace Gaussian G je další Gaussian reciproční rozptylu:

${ displaystyle { tilde {G}} _ { varepsilon} (p) = e ^ {- { frac { varepsilon p ^ {2}} {2}}},}$

a výsledek je

${ displaystyle { tilde {K}} (p; T) = e ^ {- { frac {Tp ^ {2}} {2}}}.}$

Fourierova transformace dává K., a je to opět Gaussian s reciproční rozptylem:

${ displaystyle K (x-y; T) propto e ^ {- { frac {(x-y) ^ {2}} {2T}}}.}$

Konstanta proporcionality není ve skutečnosti určena přístupem časového segmentu, je určen pouze poměr hodnot pro různé volby koncových bodů. Konstanta proporcionality by měla být zvolena tak, aby bylo zajištěno, že mezi každým dvěma časovými řezy je časový vývoj kvantově-mechanicky jednotný, ale více osvětlujícím způsobem, jak opravit normalizaci, je považovat cestu integrální za popis stochastického procesu.

Výsledek má interpretaci pravděpodobnosti. Součet za všechny cesty exponenciálního faktoru lze považovat za součet za každou cestu pravděpodobnosti výběru této cesty. Pravděpodobnost je součinem každého segmentu pravděpodobnosti výběru tohoto segmentu, takže každý segment je pravděpodobnostně nezávisle vybrán. Skutečnost, že odpověď je Gaussian šířící se lineárně v čase, je teorém centrálního limitu, které lze interpretovat jako první historické vyhodnocení integrálu statistické cesty.

Interpretace pravděpodobnosti dává přirozenou možnost normalizace. Integrál cesty by měl být definován tak, aby

${ displaystyle int K (x-y; T) , dy = 1.}$

Tento stav normalizuje Gaussian a vytváří jádro, které se řídí difuzní rovnicí:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} K (x; T) = { frac { nabla ^ {2}} {2}} K.}$

Pro integrály oscilační cesty, ty s i v čitateli produkuje časový řez spletité Gaussiany, stejně jako dříve. Nyní je však konvoluční produkt okrajově singulární, protože k vyhodnocení oscilačních integrálů vyžaduje pečlivé limity. Aby byly faktory dobře definované, nejjednodušší je přidat malou imaginární část k časovému přírůstku ε. To úzce souvisí s Rotace knotu. Pak stejný konvoluční argument jako dříve dává propagačnímu jádru:

${ displaystyle K (x-y; T) propto e ^ { frac {i (x-y) ^ {2}} {2T}},}$

který se při stejné normalizaci jako dříve (nikoli normalizace součtu čtverců - tato funkce má odlišnou normu), řídí volnou Schrödingerovou rovnicí:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} K (x; T) = i { frac { nabla ^ {2}} {2}} K.}$

To znamená, že jakákoli superpozice K.s bude také dodržovat stejnou rovnici podle linearity. Definování

${ displaystyle psi _ {t} (y) = int psi _ {0} (x) K (xy; t) , dx = int psi _ {0} (x) int _ {x (0) = x} ^ {x (t) = y} e ^ {iS} , Dx,}$

pak ψ_t stejně se řídí volnou Schrödingerovou rovnicí K. dělá:

${ displaystyle i { frac { částečné} { částečné t}} psi _ {t} = - { frac { nabla ^ {2}} {2}} psi _ {t}.}$

Jednoduchý harmonický oscilátor

Lagrangian pro jednoduchý harmonický oscilátor je^[7]

${ displaystyle { mathcal {L}} = { tfrac {1} {2}} m { dot {x}} ^ {2} - { tfrac {1} {2}} m omega ^ {2 } x ^ {2}.}$

Napište jeho trajektorii X(t) jako klasická trajektorie plus nějaké narušení, X(t) = X_C(t) + δx(t) a akce jako S = S_C + δS. Klasickou trajektorii lze zapsat jako

${ displaystyle x _ { text {c}} (t) = x_ {i} { frac { sin omega (t_ {f} -t)} { sin omega (t_ {f} -t_ {i })}} + x_ {f} { frac { sin omega (t-t_ {i})} { sin omega (t_ {f} -t_ {i})}}.}$

Tato trajektorie přináší klasickou akci

${ displaystyle { begin {aligned} S _ { text {c}} & = int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} { mathcal {L}} , dt = int _ { t_ {i}} ^ {t_ {f}} left ({ tfrac {1} {2}} m { dot {x}} ^ {2} - { tfrac {1} {2}} m omega ^ {2} x ^ {2} right) , dt [6pt] & = { frac {1} {2}} m omega left ({ frac {(x_ {i} ^ { 2} + x_ {f} ^ {2}) cos omega (t_ {f} -t_ {i}) - 2x_ {i} x_ {f}} { sin omega (t_ {f} -t_ { i})}} vpravo) ~. end {zarovnáno}}}$

Dále rozšiřte odchylku od klasické cesty jako Fourierovu řadu a vypočítejte příspěvek k akci δS, což dává

${ displaystyle S = S _ { text {c}} + suma _ {n = 1} ^ { infty} { tfrac {1} {2}} a_ {n} ^ {2} { frac {m } {2}} left ({ frac {(n pi) ^ {2}} {t_ {f} -t_ {i}}} - omega ^ {2} (t_ {f} -t_ {i })že jo).}$

To znamená, že propagátor je

${ displaystyle { begin {zarovnané} K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) & = Qe ^ { frac {iS _ { text {c}}} { hbar}} prod _ {j = 1} ^ { infty} { frac {j pi} { sqrt {2}}} int da_ {j} exp { left ({ frac {i} {2 hbar}} a_ {j} ^ {2} { frac {m} {2}} vlevo ({ frac {(j pi) ^ {2}} {t_ {f} -t_ {i }}} - omega ^ {2} (t_ {f} -t_ {i}) right) right)} [6pt] & = e ^ { frac {iS _ { text {c}}} { hbar}} Q prod _ {j = 1} ^ { infty} left (1- left ({ frac { omega (t_ {f} -t_ {i})}} j) } right) ^ {2} right) ^ {- { frac {1} {2}}} end {zarovnáno}}}$

pro nějakou normalizaci

${ displaystyle Q = { sqrt { frac {m} {2 pi i hbar (t_ {f} -t_ {i})}}} ~.}$

Použití reprezentace nekonečného produktu funkce sinc,

${ displaystyle prod _ {j = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {j ^ {2}}} right) = { frac { sin pi x} { pi x}},}$

propagátor lze zapsat jako

${ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = Qe ^ { frac {iS _ { text {c}}} { hbar}} { sqrt { frac { omega (t_ {f} -t_ {i})} { sin omega (t_ {f} -t_ {i})}}} = e ^ { frac {iS_ {c}} { hbar}} { sqrt { frac {m omega} {2 pi i hbar sin omega (t_ {f} -t_ {i})}}}}$

Nechat T = t_F − t_i. Dá se tento propagátor napsat, pokud jde o energetické vlastní stavy, jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) & = left ({ frac {m omega} {2 pi i hbar sin omega T}} vpravo) ^ { frac {1} {2}} exp { left ({ frac {i} { hbar}} { tfrac {1} {2}} m omega { frac {(x_ {i} ^ {2} + x_ {f} ^ {2}) cos omega T-2x_ {i} x_ {f}} { sin omega T}} vpravo )} [6pt] & = sum _ {n = 0} ^ { infty} exp { left (- { frac {iE_ {n} T} { hbar}} right)} psi _ {n} (x_ {f}) psi _ {n} (x_ {i}) ^ {*} ~. end {zarovnáno}}}$

Používání identit i hřích ωT = 1/2E^iωT (1 − E^−2iωT) a cos ωT = 1/2E^iωT (1 + E^−2iωT), to činí

${ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ { frac {1} {2}} e ^ { frac {-i omega T} {2}} vlevo (1-e ^ {- 2i omega T} doprava) ^ {- { frac {1} {2}}} exp { left (- { frac {m omega} {2 hbar}} left ( left (x_ {i} ^ {2} + x_ {f} ^ {2} vpravo) { frac {1 + e ^ {- 2i omega T}} {1-e ^ {- 2i omega T}}} - { frac {4x_ {i} x_ {f} e ^ {- i omega T}} {1-e ^ {- 2i omega T}}} vpravo) vpravo)}.}$

Jeden může absorbovat všechny termíny po prvním E^−iωT/2 do R(T), čímž získá

${ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ { frac {1} {2}} e ^ { frac {-i omega T} {2}} cdot R (T).}$

Jeden se může konečně rozšířit R(T) v pravomoci E^−iωT: Všechny výrazy v této expanzi se vynásobí E^−iωT/2 faktor vpředu, čímž se získá podmínky formuláře

${ displaystyle e ^ { frac {-i omega T} {2}} e ^ {- v omega T} = e ^ {- i omega T vlevo ({ frac {1} {2}} + n right)} quad { text {for}} n = 0,1,2, ldots.}$

Ve srovnání s výše uvedenou vlastní expanzí se získá standardní energetické spektrum pro jednoduchý harmonický oscilátor,

${ displaystyle E_ {n} = left (n + { tfrac {1} {2}} right) hbar omega ~.}$

Coulombův potenciál

Feynmanova časově řízená aproximace však pro nejdůležitější kvantově-mechanické dráhové integrály atomů neexistuje kvůli singularitě Coulombův potenciál E²/r na počátku. Pouze po výměně času t jiným parametrem času závislým na cestě

${ displaystyle s = int { frac {dt} {r (t)}}}$

singularita je odstraněna a existuje časově rozdělená aproximace, která je přesně integrovatelná, protože ji lze harmonickou provést jednoduchou transformací souřadnic, jak ji objevil v roce 1979 İsmail Hakkı Duru a Hagen Kleinert.^[8] Kombinace časově závislé transformace cesty a transformace souřadnic je důležitým nástrojem k řešení mnoha integrálů cest a obecně se nazývá Duru – Kleinertova transformace.

Schrödingerova rovnice

Integrace dráhy reprodukuje Schrödingerovu rovnici pro počáteční a konečný stav, i když je přítomen potenciál. To je nejjednodušší vidět tím, že vezmeme integrál cesty přes nekonečně oddělené časy.

${ displaystyle psi (y; t + varepsilon) = int _ {- infty} ^ { infty} psi (x; t) int _ {x (t) = x} ^ {x (t + varepsilon) = y} e ^ {i int limity _ {t} ^ {t + varepsilon} left ({ frac {{ dot {x}} ^ {2}} {2}} - V (x ) vpravo) , dt} , Dx (t) , dx qquad (1)}$

Protože časová separace je nekonečně malá a rušivé oscilace jsou pro velké hodnoty vážné X, integrál dráhy má největší váhu y blízko k X. V tomto případě je v nejnižším řádu potenciální energie konstantní a pouze příspěvek kinetické energie je netriviální. (Toto oddělení pojmů kinetické a potenciální energie v exponentu je v podstatě Vzorec produktu Trotter.) Exponenciál akce je

${ displaystyle e ^ {- i varepsilon V (x)} e ^ {i { frac {{ dot {x}} ^ {2}} {2}} varepsilon}}$

První člen otáčí fázi ψ(X) lokálně o částku úměrnou potenciální energii. Druhým členem je propagátor volných částic, který odpovídá i krát difuzní proces. Na nejnižší objednávku v ε jsou aditivní; v každém případě jeden má s (1):

${ displaystyle psi (y; t + varepsilon) přibližně int psi (x; t) e ^ {- i varepsilon V (x)} e ^ { frac {i (xy) ^ {2}} {2 varepsilon}} , dx ,.}$

Jak již bylo zmíněno, rozšíření v ψ je difuzní z šíření volných částic, s extra nekonečně malou rotací ve fázi, která se pomalu mění od bodu k bodu od potenciálu:

${ displaystyle { frac { částečné psi} { částečné t}} = i cdot vlevo ({ tfrac {1} {2}} nabla ^ {2} -V (x) vpravo) psi ,}$

a toto je Schrödingerova rovnice. Normalizace dráhového integrálu musí být stanovena přesně stejným způsobem jako v případě volných částic. Libovolný spojitý potenciál neovlivňuje normalizaci, i když singulární potenciály vyžadují pečlivé zacházení.

Pohybové rovnice

Vzhledem k tomu, že se státy řídí Schrödingerovou rovnicí, musí integrál dráhy reprodukovat Heisenbergovy pohybové rovnice pro průměry X a X proměnné, ale je poučné vidět to přímo. Přímý přístup ukazuje, že očekávané hodnoty vypočtené z integrálu dráhy reprodukují obvyklé hodnoty kvantové mechaniky.

Začněte zvážením integrace cesty s nějakým pevným počátečním stavem

${ displaystyle int psi _ {0} (x) int _ {x (0) = x} e ^ {iS (x, { dot {x}})} , Dx ,}$

Nyní X(t) v každém samostatném čase je samostatná integrační proměnná. Je tedy legitimní měnit proměnné v integrálu posunutím: X(t) = u(t) + ε(t) kde ε(t) je pokaždé jiný posun, ale ε(0) = ε(T) = 0, protože koncové body nejsou integrovány:

${ displaystyle int psi _ {0} (x) int _ {u (0) = x} e ^ {iS (u + varepsilon, { dot {u}} + { dot { varepsilon}} )} , Du ,}$

Změna integrálu z posunu je do prvního nekonečně malého řádu ε:

${ displaystyle int psi _ {0} (x) int _ {u (0) = x} vlevo ( int { frac { částečné S} { částečné u}} varepsilon + { frac { částečné S} { částečné { dot {u}}}} { dot { varepsilon}} , dt doprava) e ^ {iS} , Du ,}$

který, integrací po částech v t, dává:

${ displaystyle int psi _ {0} (x) int _ {u (0) = x} - left ( int left ({ frac {d} {dt}} { frac { částečný S} { částečné { dot {u}}}} - { frac { částečné S} { částečné u}} pravé) varepsilon (t) , dt pravé) e ^ {iS} , Du ,}$

Ale to byl jen posun integračních proměnných, který nezmění hodnotu integrálu pro jakoukoli volbu ε(t). Závěrem je, že tato variace prvního řádu je nulová pro libovolný počáteční stav a v libovolném časovém okamžiku:

${ displaystyle left langle psi _ {0} left | { frac { delta S} { delta x}} (t) right | psi _ {0} right rangle = 0}$

toto je Heisenbergova pohybová rovnice.

Pokud akce obsahuje pojmy, které se množí X a X„ve stejnou dobu jsou výše uvedené manipulace pouze heuristické, protože pravidla násobení pro tyto veličiny jsou v cestě integrálu stejně nezvyklá jako ve formalizmu operátoru.

Aproximace stacionární fáze

Pokud variace akce překročí ħ o mnoho řádů obvykle máme destruktivní interference jiné než v blízkosti těch trajektorií, které splňují Euler-Lagrangeova rovnice, který je nyní znovu interpretován jako podmínka pro konstruktivní interference. To lze ukázat pomocí metody stacionární fáze aplikované na propagátor. Tak jako ħ klesá, exponenciál v integrálu rychle osciluje v komplexní doméně pro jakoukoli změnu akce. Tedy v limitu, který ħ jde na nulu, propagátorovi přispívají pouze body, kde se klasická akce nemění.

Kanonické komutační vztahy

Formulace integrálu dráhy nedává na první pohled jasně najevo, že veličiny X a p nedojíždět. V integrálu cesty se jedná pouze o integrační proměnné a nemají zjevné řazení. Feynman zjistil, že nekomutativita je stále přítomna.^[9]

Chcete-li to vidět, zvažte nejjednodušší cestu integrální, Brownian chůze. Toto ještě není kvantová mechanika, takže v cestovém integrálu není akce vynásobena i:

${ displaystyle S = int left ({ frac {dx} {dt}} right) ^ {2} , dt}$

Množství X(t) je kolísavý a derivace je definována jako limit diskrétního rozdílu.

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = { frac {x (t + varepsilon) -x (t)} { varepsilon}}}$

Vzdálenost, kterou se náhodná chůze pohybuje, je úměrná √t, aby:

${ displaystyle x (t + varepsilon) -x (t) přibližně { sqrt { varepsilon}}}$

To ukazuje, že náhodná procházka není diferencovatelná, protože poměr, který definuje derivaci, se liší s pravděpodobností.

Množství xẋ je dvojznačný, má dva možné významy:

${ displaystyle [1] = x { frac {dx} {dt}} = x (t) { frac {x (t + varepsilon) -x (t)} { varepsilon}}}$

${ displaystyle [2] = x { frac {dx} {dt}} = x (t + varepsilon) { frac {x (t + varepsilon) -x (t)} { varepsilon}}}$

V elementárním počtu se oba liší pouze o částku, která jde k 0 jako ε jde na 0. Ale v tomto případě rozdíl mezi těmito dvěma není 0:

${ displaystyle [2] - [1] = { frac {{ big (} x (t + varepsilon) -x (t) { big)} ^ {2}} { varepsilon}} přibližně { frac { varepsilon} { varepsilon}}}$

Nechat

${ displaystyle f (t) = { frac {{ big (} x (t + varepsilon) -x (t) { big)} ^ {2}} { varepsilon}}}$

Pak F(t) je rychle se měnící statistická veličina, jejíž průměrná hodnota je 1, tj. normalizovaný „Gaussův proces“. Kolísání takového množství lze popsat statistickým Lagrangeovým

${ displaystyle { mathcal {L}} = (f (t) -1) ^ {2} ,,}$

a pohybové rovnice pro F odvozen z extremizing akce S souhlasí s L stačí jej nastavit na 1. Ve fyzice je taková veličina „rovná 1 jako identita operátora“. V matematice „slabě konverguje k 1“. V obou případech je to 1 v jakékoli hodnotě očekávání, nebo při průměrování v jakémkoli intervalu, nebo pro všechny praktické účely.

Definování časového pořadí do být objednávka operátora:

${ displaystyle [x, { dot {x}}] = x { frac {dx} {dt}} - { frac {dx} {dt}} x = 1}$

Tomu se říká To lemma v stochastický počet a (euklidovsky vyjádřené) kanonické komutační vztahy ve fyzice.

U obecné statistické akce to ukazuje podobný argument

${ displaystyle left [x, { frac { částečné S} { částečné { dot {x}}}} doprava] = 1}$

a v kvantové mechanice to extra imaginární jednotka v akci převádí na kanonický komutační vztah,

${ displaystyle [x, p] = i}$

Částice v zakřiveném prostoru

U částice v zakřiveném prostoru kinetický člen závisí na poloze a výše uvedený časový řez nelze použít, což je projev notoricky známého problém s objednáváním operátora v Schrödingerově kvantové mechanice. Jeden však může tento problém vyřešit transformací časově řízené cesty plochého prostoru integrální do zakřiveného prostoru pomocí transformace souřadnic s více hodnotami (nehlonomické mapování vysvětleno tady ).

Míra-teoretické faktory

Někdy (např. Částice pohybující se v zakřiveném prostoru) máme také funkční teoretické faktory ve funkčním integrálu:

${ displaystyle int mu [x] e ^ {iS [x]} , { mathcal {D}} x.}$

Tento faktor je nutný k obnovení jednotnosti.

Například pokud

${ displaystyle S = int left ({ frac {m} {2}} g_ {ij} { dot {x}} ^ {i} { dot {x}} ^ {j} -V (x ) vpravo) , dt,}$

pak to znamená, že každý prostorový řez je vynásoben mírou √G. Toto měřítko nelze vyjádřit jako funkci, která vynásobí DX opatření, protože patří do zcela odlišných tříd.

Očekávané hodnoty a prvky matice

Maticové prvky tohoto druhu ${ displaystyle langle x_ {f} | e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} (t-t ')} F ({ hat {x}}) e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} (t ')} | x_ {i} rangle}$ mít formu

${ displaystyle int _ {x (0) = x_ {i}} ^ {x (t) = x_ {f}} { mathcal {D}} [x] F (x (t ')) e ^ { { frac {i} { hbar}} int dtL (x (t), { dot {x}} (t))}}$.

To se zobecňuje například na více operátorů

${ displaystyle langle x_ {f} | e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} (t-t_ {1})} F_ {1} ({ hat { x}}) e ^ {- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} (t_ {1} -t_ {2})} F_ {2} ({ hat {x}} )e^{-{frac {i}{hbar }}{hat {H}}(t_{2})}|x_{i} angle =int _{x(0)=x_{i }}^{x(t)=x_{f}}{mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2})) e^{{frac {i}{hbar }}int dtL(x(t),{dot {x}}(t))}}$,

and to the general expectation value

${displaystyle langle F angle ={frac {int {mathcal {D}}[phi ]F(phi )e^{{frac {i}{hbar }}S[phi ]}}{int {mathcal {D}}[phi ]e^{{frac {i}{hbar }}S[phi ]}}}}$.

Euclidean path integrals

It is very common in path integrals to perform a Rotace knotu from real to imaginary times. In the setting of quantum field theory, the Wick rotation changes the geometry of space-time from Lorentzian to Euclidean; as a result, Wick-rotated path integrals are often called Euclidean path integrals.

Wick rotation and the Feynman–Kac formula

If we replace ${ displaystyle t}$ podle ${displaystyle -it}$, the time-evolution operator ${displaystyle e^{-it{hat {H}}/hbar }}$ je nahrazen ${displaystyle e^{-t{hat {H}}/hbar }}$. (This change is known as a Rotace knotu.) If we repeat the derivation of the path-integral formula in this setting, we obtain^[10]

${displaystyle psi (x,t)={frac {1}{Z}}int _{mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{mathrm {Euclidean} }(mathbf {x} ,{dot {mathbf {x} }})/hbar }psi _{0}(mathbf {x} (t)),{mathcal {D}}mathbf {x} ,}$,

kde ${displaystyle S_{mathrm {Euclidean} }}$ is the Euclidean action, given by

${displaystyle S_{mathrm {Euclidean} }(mathbf {x} ,{dot {mathbf {x} }})=int left[{frac {m}{2}}|{dot {mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(mathbf {x} (t)) ight],dt}$.

Note the sign change between this and the normal action, where the potential energy term is negative. (Termín Euklidovský is from the context of quantum field theory, where the change from real to imaginary time changes the space-time geometry from Lorentzian to Euclidean.)

Now, the contribution of the kinetic energy to the path integral is as follows:

${displaystyle {frac {1}{Z}}int _{mathbf {x} (0)=x}f(mathbf {x} )e^{-{frac {m}{2}}int |{dot {mathbf {x} }}|^{2}dt},{mathcal {D}}mathbf {x} ,}$

kde ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ includes all the remaining dependence of the integrand on the path. This integral has a rigorous mathematical interpretation as integration against the Wienerovo opatření, označeno ${displaystyle mu _{x}}$. The Wiener measure, constructed by Norbert Wiener gives a rigorous foundation to Einstein's mathematical model of Brownian motion. Dolní index ${ displaystyle x}$ indicates that the measure ${displaystyle mu _{x}}$ is supported on paths ${ displaystyle mathbf {x}}$ s ${displaystyle mathbf {x} (0)=x}$.

We then have a rigorous version of the Feynman path integral, known as the Feynman–Kac formula:^[11]

${displaystyle psi (x,t)=int e^{-int V(mathbf {x} (t),dt/hbar },psi _{0}(mathbf {x} (t)),dmu _{x}(mathbf {x} )}$,

where now ${displaystyle psi (x,t)}$ satisfies the Wick-rotated version of the Schrödinger equation,

${displaystyle hbar {frac {partial }{partial t}}psi (x,t)=-{hat {H}}psi (x,t)}$.

Although the Wick-rotated Schrödinger equation does not have a direct physical meaning, interesting properties of the Schrödinger operator ${displaystyle {hat {H}}}$ can be extracted by studying it.^[12]

Much of the study of quantum field theories from the path-integral perspective, in both the mathematics and physics literatures, is done in the Euclidean setting, that is, after a Wick rotation. In particular, there are various results showing that if a Euclidean field theory with suitable properties can be constructed, one can then undo the Wick rotation to recover the physical, Lorentzian theory.^[13] On the other hand, it is much more difficult to give a meaning to path integrals (even Euclidean path integrals) in quantum field theory than in quantum mechanics.^[14]

The path integral and the partition function

The path integral is just the generalization of the integral above to all quantum mechanical problems—

${displaystyle Z=int e^{frac {i{mathcal {S}}[mathbf {x} ]}{hbar }},{mathcal {D}}mathbf {x} quad { ext{where }}{mathcal {S}}[mathbf {x} ]=int _{0}^{T}L[mathbf {x} (t),{dot {mathbf {x} }}(t)],dt}$

je akce of the classical problem in which one investigates the path starting at time t = 0 and ending at time t = T, a ${displaystyle {mathcal {D}}mathbf {x} }$ denotes integration over all paths. In the classical limit, ${displaystyle {mathcal {S}}[mathbf {x} ]gg hbar }$, the path of minimum action dominates the integral, because the phase of any path away from this fluctuates rapidly and different contributions cancel.^[15]

The connection with statistická mechanika follows. Considering only paths which begin and end in the same configuration, perform the Rotace knotu to = τ, i.e., make time imaginary, and integrate over all possible beginning-ending configurations. The Wick-rotated path integral—described in the previous subsection, with the ordinary action replaced by its "Euclidean" counterpart—now resembles the partition function of statistical mechanics defined in a kanonický soubor with inverse temperature proportional to imaginary time, 1/T = k_Bτ/ħ. Strictly speaking, though, this is the partition function for a statistical field theory.

Clearly, such a deep analogy between quantum mechanics and statistical mechanics cannot be dependent on the formulation. In the canonical formulation, one sees that the unitary evolution operator of a state is given by

${displaystyle |alpha ;t angle =e^{-{frac {iHt}{hbar }}}|alpha ;0 angle }$

where the state α is evolved from time t = 0. If one makes a Wick rotation here, and finds the amplitude to go from any state, back to the same state in (imaginary) time iT darováno

${displaystyle Z=operatorname {Tr} left[e^{frac {-HT}{hbar }} ight]}$

which is precisely the partition function of statistical mechanics for the same system at temperature quoted earlier. One aspect of this equivalence was also known to Erwin Schrödinger who remarked that the equation named after him looked like the difúzní rovnice after Wick rotation. Note, however, that the Euclidean path integral is actually in the form of a klasický statistical mechanics model.

Teorie kvantového pole

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Weak force Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Space translation symmetry Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentz symmetry Poincaré symmetry Symetrie měřidla Explicit symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Teorie Yang – Mills Noether charge Topological charge
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Expectation value Ghost fields Faddeev–Popov ghosts Feynmanův diagram Lattice gauge theory LSZ reduction formula Partition function Propagator Kvantování Regularization Renormalizace Stav vakua Wick's theorem Wightman axioms Feynman parametrization
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations Joos–Weinberg equation Weyl equation
Standardní model Stav kvantového vakua Quantum dynamics Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtual particle
Incomplete theories Causal dynamical triangulation Causal fermion systems Kauzální sady Konformní teorie pole Dirac sea Poruchová teorie Two-dimensional conformal field theory Quantum field theory in curved spacetime Thermal quantum field theory Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Semiclassical gravity Spin foam Teorie strun Teorie superstrun M-Theory Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Canonical quantum gravity Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Loop quantum cosmology Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Colemane Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

Both the Schrödinger and Heisenberg approaches to quantum mechanics single out time and are not in the spirit of relativity. For example, the Heisenberg approach requires that scalar field operators obey the commutation relation

${displaystyle [varphi (x),partial _{t}varphi (y)]=idelta ^{3}(x-y)}$

for two simultaneous spatial positions X a y, and this is not a relativistically invariant concept. The results of a calculation jsou covariant, but the symmetry is not apparent in intermediate stages. If naive field-theory calculations did not produce infinite answers in the continuum limit, this would not have been such a big problem – it would just have been a bad choice of coordinates. But the lack of symmetry means that the infinite quantities must be cut off, and the bad coordinates make it nearly impossible to cut off the theory without spoiling the symmetry. This makes it difficult to extract the physical predictions, which require a careful limiting procedure.

The problem of lost symmetry also appears in classical mechanics, where the Hamiltonian formulation also superficially singles out time. The Lagrangian formulation makes the relativistic invariance apparent. In the same way, the path integral is manifestly relativistic. It reproduces the Schrödinger equation, the Heisenberg equations of motion, and the canonical commutation relations and shows that they are compatible with relativity. It extends the Heisenberg-type operator algebra to operator product rules, which are new relations difficult to see in the old formalism.

Further, different choices of canonical variables lead to very different-seeming formulations of the same theory. The transformations between the variables can be very complicated, but the path integral makes them into reasonably straightforward changes of integration variables. For these reasons, the Feynman path integral has made earlier formalisms largely obsolete.

The price of a path integral representation is that the unitarity of a theory is no longer self-evident, but it can be proven by changing variables to some canonical representation. The path integral itself also deals with larger mathematical spaces than is usual, which requires more careful mathematics, not all of which has been fully worked out. The path integral historically was not immediately accepted, partly because it took many years to incorporate fermions properly. This required physicists to invent an entirely new mathematical object – the Grassmann variable – which also allowed changes of variables to be done naturally, as well as allowing constrained quantization.

The integration variables in the path integral are subtly non-commuting. The value of the product of two field operators at what looks like the same point depends on how the two points are ordered in space and time. This makes some naive identities selhat.

The propagator

In relativistic theories, there is both a particle and field representation for every theory. The field representation is a sum over all field configurations, and the particle representation is a sum over different particle paths.

The nonrelativistic formulation is traditionally given in terms of particle paths, not fields. There, the path integral in the usual variables, with fixed boundary conditions, gives the probability amplitude for a particle to go from point X ukazovat y včas T:

${displaystyle K(x,y;T)=langle y;Tmid x;0 angle =int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]},Dx.}$

Tomu se říká propagator. Superposing different values of the initial position X with an arbitrary initial state ψ₀(X) constructs the final state:

${displaystyle psi _{T}(y)=int _{x}psi _{0}(x)K(x,y;T),dx=int ^{x(T)=y}psi _{0}(x(0))e^{iS[x]},Dx.}$

For a spatially homogeneous system, where K.(X, y) is only a function of (X − y), the integral is a konvoluce, the final state is the initial state convolved with the propagator:

${displaystyle psi _{T}=psi _{0}*K(;T).}$

For a free particle of mass m, the propagator can be evaluated either explicitly from the path integral or by noting that the Schrödinger equation is a diffusion equation in imaginary time, and the solution must be a normalized Gaussian:

${displaystyle K(x,y;T)propto e^{frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Taking the Fourier transform in (X − y) produces another Gaussian:

${displaystyle K(p;T)=e^{frac {iTp^{2}}{2m}},}$

a v p-space the proportionality factor here is constant in time, as will be verified in a moment. The Fourier transform in time, extending K.(p; T) to be zero for negative times, gives Green's function, or the frequency-space propagator:

${displaystyle G_{ ext{F}}(p,E)={frac {-i}{E-{frac {{vec {p}}^{2}}{2m}}+ivarepsilon }},}$

which is the reciprocal of the operator that annihilates the wavefunction in the Schrödinger equation, which wouldn't have come out right if the proportionality factor weren't constant in the p-space representation.

The infinitesimal term in the denominator is a small positive number, which guarantees that the inverse Fourier transform in E will be nonzero only for future times. For past times, the inverse Fourier transform contour closes toward values of E where there is no singularity. This guarantees that K. propagates the particle into the future and is the reason for the subscript "F" on G. The infinitesimal term can be interpreted as an infinitesimal rotation toward imaginary time.

It is also possible to reexpress the nonrelativistic time evolution in terms of propagators going toward the past, since the Schrödinger equation is time-reversible. The past propagator is the same as the future propagator except for the obvious difference that it vanishes in the future, and in the Gaussian t je nahrazen −t. In this case, the interpretation is that these are the quantities to convolve the final wavefunction so as to get the initial wavefunction:

${displaystyle G_{ ext{B}}(p,E)={frac {-i}{-E-{frac {i{vec {p}}^{2}}{2m}}+ivarepsilon }}.}$

Given the nearly identical only change is the sign of E a ε, the parameter E in Green's function can either be the energy if the paths are going toward the future, or the negative of the energy if the paths are going toward the past.

For a nonrelativistic theory, the time as measured along the path of a moving particle and the time as measured by an outside observer are the same. In relativity, this is no longer true. For a relativistic theory the propagator should be defined as the sum over all paths that travel between two points in a fixed proper time, as measured along the path (these paths describe the trajectory of a particle in space and in time):

${displaystyle K(x-y,mathrm {T} )=int _{x(0)=x}^{x(mathrm {T} )=y}e^{iint _{0}^{mathrm {T} }{sqrt {{dot {x}}^{2}}}-alpha ,d au }.}$

The integral above is not trivial to interpret because of the square root. Fortunately, there is a heuristic trick. The sum is over the relativistic arc length of the path of an oscillating quantity, and like the nonrelativistic path integral should be interpreted as slightly rotated into imaginary time. Funkce K.(X − y, τ) can be evaluated when the sum is over paths in Euclidean space:

${displaystyle K(x-y,mathrm {T} )=e^{-alpha mathrm {T} }int _{x(0)=x}^{x(mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

This describes a sum over all paths of length Τ of the exponential of minus the length. This can be given a probability interpretation. The sum over all paths is a probability average over a path constructed step by step. The total number of steps is proportional to Τ, and each step is less likely the longer it is. Podle central limit theorem, the result of many independent steps is a Gaussian of variance proportional to Τ:

${displaystyle K(x-y,mathrm {T} )=e^{-alpha mathrm {T} }e^{-{frac {(x-y)^{2}}{mathrm {T} }}}.}$

The usual definition of the relativistic propagator only asks for the amplitude is to travel from X na y, after summing over all the possible proper times it could take:

${displaystyle K(x-y)=int _{0}^{infty }K(x-y,mathrm {T} )W(mathrm {T} ),dmathrm {T} ,}$

kde Ž(Τ) is a weight factor, the relative importance of paths of different proper time. By the translation symmetry in proper time, this weight can only be an exponential factor and can be absorbed into the constant α:

${displaystyle K(x-y)=int _{0}^{infty }e^{-{frac {(x-y)^{2}}{mathrm {T} }}-alpha mathrm {T} },dmathrm {T} .}$

This is the Schwinger representation. Taking a Fourier transform over the variable (X − y) can be done for each value of Τ separately, and because each separate Τ contribution is a Gaussian, gives whose Fourier transform is another Gaussian with reciprocal width. So in p-space, the propagator can be reexpressed simply:

${displaystyle K(p)=int _{0}^{infty }e^{-mathrm {T} p^{2}-mathrm {T} alpha },dmathrm {T} ={frac {1}{p^{2}+alpha }},}$

which is the Euclidean propagator for a scalar particle. Rotující p₀ to be imaginary gives the usual relativistic propagator, up to a factor of −i a nejednoznačnost, která bude objasněna níže:

${ displaystyle K (p) = { frac {i} {p_ {0} ^ {2} - { vec {p}} ^ {2} -m ^ {2}}}.}$

Tento výraz lze interpretovat v nerelativistickém limitu, kde je vhodné jej rozdělit dílčí zlomky:

${ displaystyle 2p_ {0} K (p) = { frac {i} {p_ {0} - { sqrt {{ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}} + { frac {i} {p_ {0} + { sqrt {{ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}}.}$

Ve státech, kde je přítomna jedna nerelativistická částice, má počáteční vlnová funkce distribuci frekvencí soustředěnou blízko p₀ = m. Při jednání s propagátorem, který v p prostor znamená pouze násobení propagátorem, druhý člen je potlačen a první člen je vylepšen. Pro frekvence blízké p₀ = m, dominantní první člen má formu

${ displaystyle 2mK _ { text {NR}} (p) = { frac {i} {(p_ {0} -m) - { frac {{ vec {p}} ^ {2}} {2m} }}}.}$

Toto je výraz pro nerelativistické Greenova funkce volné Schrödingerovy částice.

Druhý člen má také nerelativistický limit, ale tento limit je soustředěn na frekvence, které jsou záporné. Druhému pólu dominují příspěvky z cest, kde správný čas a čas souřadnic tikají v opačném smyslu, což znamená, že druhý člen má být interpretován jako antičástice. Nerelativistická analýza ukazuje, že s touto formou má antičástice stále pozitivní energii.

Správný způsob, jak to matematicky vyjádřit, je ten, že přidáním malého potlačovacího faktoru ve správný čas, hranice kde t → −∞ prvního funkčního období musí zmizet, zatímco t → +∞ hranice druhého funkčního období musí zmizet. Ve Fourierově transformaci to znamená posunutí pólu dovnitř p₀ mírně, aby inverzní Fourierova transformace zachytila ​​malý faktor rozpadu v jednom z časových směrů:

${ displaystyle K (p) = { frac {i} {p_ {0} - { sqrt {{ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}} + i varepsilon}} + { frac {i} {p_ {0} - { sqrt {{ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}} - i varepsilon}}.}$

Bez těchto výrazů by nebylo možné jednoznačně vyhodnotit příspěvek pólu při inverzní Fourierově transformaci p₀. Podmínky lze znovu zkombinovat:

${ displaystyle K (p) = { frac {i} {p ^ {2} -m ^ {2} + i varepsilon}},}$

který při zohlednění produkuje v každém faktoru nekonečně malé výrazy. Toto je matematicky přesná forma relativistického množitele částic bez jakýchkoli nejasností. The ε termín zavádí malou imaginární část do α = m², což je ve verzi Minkowski malé exponenciální potlačení dlouhých cest.

V relativistickém případě tedy Feynmanova integrální reprezentace cesty propagátoru zahrnuje cesty, které se vracejí v čase a které popisují antičástice. Cesty, které přispívají k relativistickému propagátorovi, jdou vpřed a vzad v čase a výklad z toho je to, že amplituda pro pohyb volné částice mezi dvěma body zahrnuje amplitudy pro fluktuaci částice do antičástice, cestování zpět v čase a pak znovu vpřed.

Na rozdíl od nerelativistického případu je nemožné vytvořit relativistickou teorii lokálního šíření částic bez zahrnutí antičástic. Všechny místní operátory diferenciálu mají inverze, které jsou mimo světelný kužel nenulové, což znamená, že je nemožné zabránit tomu, aby částice cestovala rychleji než světlo. Taková částice nemůže mít Greenovu funkci, která je v budoucnu pouze nenulová v relativisticky invariantní teorii.

Funkcionality polí

Integrální formulace cesty je však také nesmírně důležitá v Přímo aplikace na kvantovou teorii pole, ve které uvažované „cesty“ nebo historie nejsou pohyby jediné částice, ale možné časové evoluce pole přes celý prostor. Akce se technicky označuje jako a funkční pole: S[ϕ], kde pole ϕ(X^μ) je sama o sobě funkcí prostoru a času a hranaté závorky připomínají, že akce závisí na všech hodnotách pole všude, nejen na nějaké konkrétní hodnotě. Jeden taková daná funkce ϕ(X^μ) z vesmírný čas se nazývá a konfigurace pole. V zásadě lze integrovat Feynmanovu amplitudu do třídy všech možných konfigurací pole.

Velká část formálního studia QFT je věnována vlastnostem výsledného funkčního integrálu a bylo vyvinuto značné úsilí (dosud ne zcela úspěšné) funkční integrály matematicky přesné.

Takový funkční integrál je extrémně podobný funkce oddílu v statistická mechanika. Ve skutečnosti tomu tak někdy je volala A funkce oddílu a dva jsou v podstatě matematicky identické, kromě faktoru i v exponentu ve Feynmanově postulátu 3. Analyticky pokračování integrál k imaginární časové proměnné (nazývané a Rotace knotu ) činí funkční integrál ještě více funkcí statistické části a také zkrotuje některé matematické potíže práce s těmito integrály.

Očekávané hodnoty

v kvantová teorie pole, pokud akce je dán funkční S konfigurací polí (což závisí pouze místně na polích), pak časově nařízeno hodnota očekávaného vakua z polynomiálně ohraničené funkční F, ⟨F⟩, darováno

${ displaystyle langle F rangle = { frac { int { mathcal {D}} varphi F [ varphi] e ^ {i { mathcal {S}} [ varphi]}} { int { mathcal {D}} varphi e ^ {i { mathcal {S}} [ varphi]}}}}$

Symbol ∫Dϕ zde je výstižný způsob, jak reprezentovat nekonečně dimenzionální integrál ve všech možných konfiguracích polí v celém časoprostoru. Jak je uvedeno výše, nepoškozený integrál cesty ve jmenovateli zajišťuje správnou normalizaci.

Jako pravděpodobnost

Přesně řečeno, jedinou otázkou, kterou lze ve fyzice položit, je: Jaký zlomek stavů splňujících podmínku A také uspokojit podmínku B? Odpověď na toto je číslo mezi 0 a 1, které lze interpretovat jako a podmíněná pravděpodobnost, psáno jako P (B|A). Pokud jde o integraci cest, protože P (B|A) = P (A∩B) / P (A), to znamená

${ displaystyle operatorname {P} (B mid A) = { frac { sum _ {F podmnožina A cap B} left | int { mathcal {D}} varphi O _ { text { in}} [ varphi] e ^ {i { mathcal {S}} [ varphi]} F [ varphi] vpravo | ^ {2}} { sum _ {F podmnožina A} vlevo | int { mathcal {D}} varphi O _ { text {in}} [ varphi] e ^ {i { mathcal {S}} [ varphi]} F [ varphi] doprava | ^ {2} }},}$

kde funkční Ó_v[ϕ] je superpozice všech nastupujících stavů, které by mohly vést ke stavům, které nás zajímají. Mohlo by se jednat zejména o stav odpovídající stavu vesmíru těsně po Velký třesk, ačkoli pro skutečný výpočet to lze zjednodušit pomocí heuristických metod. Protože tento výraz je podílem integrálů cest, je přirozeně normalizován.

Schwinger – Dysonovy rovnice

Jelikož je tato formulace kvantové mechaniky analogická s principem klasické akce, dalo by se očekávat, že identity týkající se akce v klasické mechanice budou mít kvantové protějšky odvozitelné od funkčního integrálu. To se často stává.

V jazyce funkční analýzy můžeme napsat Euler-Lagrangeovy rovnice tak jako

${ displaystyle { frac { delta { mathcal {S}} [ varphi]} { delta varphi}} = 0}$

(levá strana je a funkční derivace; rovnice znamená, že akce je stacionární při malých změnách v konfiguraci pole). Kvantové analogy těchto rovnic se nazývají Schwinger – Dysonovy rovnice.

Pokud funkční opatření Dϕ se ukáže být překladově neměnný (předpokládáme to pro zbytek tohoto článku, ačkoli to, řekněme, neplatí nelineární sigma modely ), a pokud předpokládáme, že po a Rotace knotu

${ displaystyle e ^ {i { mathcal {S}} [ varphi]},}$

který se nyní stává

${ displaystyle e ^ {- H [ varphi]}}$

pro některé H, jde na nulu rychleji než a reciproční ze všech polynomiální pro velké hodnoty φ, pak můžeme integrovat po částech (po Wickově rotaci, následované Wickovou rotací zpět) pro získání následujících Schwingerových-Dysonových rovnic pro očekávání:

${ displaystyle left langle { frac { delta F [ varphi]} { delta varphi}} right rangle = -i left langle F [ varphi] { frac { delta { mathcal {S}} [ varphi]} { delta varphi}} doprava rangle}$

pro jakoukoli polynomiálně ohraničenou funkční skupinu F. V deWittova notace vypadá to^[16]

${ displaystyle left langle F _ {, i} right rangle = -i left langle F { mathcal {S}} _ {, i} right rangle.}$

Tyto rovnice jsou obdobou on-shell EL rovnice. Pořadí času je převzato před časovými deriváty uvnitř S_,i.

Li J (volal zdrojové pole ) je prvkem dvojí prostor konfigurací pole (která má alespoň afinní struktura z důvodu předpokladu překladová invariance pro funkční míru), pak generující funkční Z zdrojových polí je definovaný být

${ displaystyle Z [J] = int { mathcal {D}} varphi e ^ {i left ({ mathcal {S}} [ varphi] + langle J, varphi rangle right)} .}$

Všimněte si, že

${ displaystyle { frac { delta ^ {n} Z} { delta J (x_ {1}) cdots delta J (x_ {n})}} [J] = i ^ {n} , Z [J] , left langle varphi (x_ {1}) cdots varphi (x_ {n}) right rangle _ {J},}$

nebo

${ displaystyle Z ^ {, i_ {1} cdots i_ {n}} [J] = i ^ {n} Z [J] left langle varphi ^ {i_ {1}} cdots varphi ^ { i_ {n}} doprava rangle _ {J},}$

kde

${ displaystyle langle F rangle _ {J} = { frac { int { mathcal {D}} varphi F [ varphi] e ^ {i left ({ mathcal {S}} [ varphi ] + langle J, varphi rangle right)}} { int { mathcal {D}} varphi e ^ {i left ({ mathcal {S}} [ varphi] + langle J, varphi rangle right)}}}.}$

V zásadě, pokud Dφ E^iS[φ] je považována za funkční distribuci (toto by nemělo být bráno příliš doslovně jako interpretace QFT, na rozdíl od jeho Wickova rotace statistická mechanika analogický, protože máme objednávání času komplikace zde!), pak ⟨φ(X₁) ... φ(X_n)⟩ jsou jeho momenty, a Z je jeho Fourierova transformace.

Li F je funkční z φ, pak na operátor K., F[K.] je definován jako operátor, který nahrazuje K. pro φ. Například pokud

${ displaystyle F [ varphi] = { frac { částečné ^ {k_ {1}}} { částečné x_ {1} ^ {k_ {1}}}} varphi (x_ {1}) cdots { frac { částečné ^ {k_ {n}}} { částečné x_ {n} ^ {k_ {n}}}} varphi (x_ {n}),}$

a G je funkční z J, pak

${ displaystyle F left [-i { frac { delta} { delta J}} right] G [J] = (- i) ^ {n} { frac { částečné ^ {k_ {1} }} { částečné x_ {1} ^ {k_ {1}}}} { frac { delta} { delta J (x_ {1})}} cdots { frac { částečné ^ {k_ {n }}} { částečné x_ {n} ^ {k_ {n}}}} { frac { delta} { delta J (x_ {n})}} G [J].}$