Kovarianční funkce - Covariance function

v teorie pravděpodobnosti a statistika, kovariance je měřítkem toho, jak moc se dvě proměnné mění společně, a kovarianční funkcenebo jádro, popisuje prostorovou nebo dočasnou kovarianci procesu nebo pole s náhodnou proměnnou. Pro náhodné pole nebo stochastický proces Z(X) na doméně D, kovarianční funkce C(X, y) udává kovarianci hodnot náhodného pole na dvou místech X a y:

${displaystyle C (x, y): = operatorname {cov} (Z (x), Z (y)) = mathbb {E} vlevo [{Z (x) -mathbb {E} [Z (x)]} cdot {Z (y) -mathbb {E} [Z (y)]} hned],}}$

Stejný C(X, y) se nazývá autovariance funkce ve dvou případech: v časové řady (k označení přesně stejného konceptu kromě toho X a y odkazovat na umístění v čase spíše než v prostoru) a ve vícerozměrných náhodných polích (odkazovat na kovarianci proměnné sama se sebou, na rozdíl od křížová kovariance mezi dvěma různými proměnnými na různých místech, Cov (Z(X₁), Y(X₂))).^[1]

Přípustnost

Pro umístění X₁, X₂, …, X_N ∈ D rozptyl každé lineární kombinace

${displaystyle X = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} Z (x_ {i})}$

lze vypočítat jako

${displaystyle operatorname {var} (X) = součet _ {i = 1} ^ {N} součet _ {j = 1} ^ {N} w_ {i} C (x_ {i}, x_ {j}) w_ { j}.}$

Funkce je platná kovarianční funkce právě tehdy^[2] tato varianta je nezáporná pro všechny možné volby N a váhy w₁, …, w_N. Funkce s touto vlastností se nazývá pozitivní určitý.

Zjednodušení se stacionárností

V případě slabě stacionární náhodné pole, kde

${displaystyle C (x_ {i}, x_ {j}) = C (x_ {i} + h, x_ {j} + h),}$

pro jakékoli zpoždění h, kovarianční funkce může být reprezentována funkcí s jedním parametrem

${displaystyle C_ {s} (h) = C (0, h) = C (x, x + h),}$

který se nazývá a kovariogram a také a kovarianční funkce. Implicitně C(X_i, X_j) lze vypočítat z C_s(h) od:

${displaystyle C (x, y) = C_ {s} (y-x).,}$

The pozitivní definitivnost této jednoargumentové verze kovarianční funkce lze zkontrolovat pomocí Bochnerova věta.^[2]

Parametrické rodiny kovariančních funkcí

Jednoduchou stacionární parametrickou kovarianční funkcí je „exponenciální kovarianční funkce“

${displaystyle C (d) = exp (-d / V)}$

kde PROTI je parametr měřítka a d = d(X,y) je vzdálenost mezi dvěma body. Ukázkové cesty a Gaussův proces s exponenciální kovarianční funkcí nejsou hladké. "Čtvercová exponenciální kovarianční funkce"

${displaystyle C (d) = exp (- (d / V) ^ {2})}$

je stacionární kovarianční funkce s hladkými cestami vzorkování.

The Matarianova kovarianční funkce a racionální kvadratická kovarianční funkce jsou dvě parametrické rodiny stacionárních kovariančních funkcí. Rodina Matérnů zahrnuje exponenciální a čtvercové exponenciální kovarianční funkce jako speciální případy.

Viz také

• Variogram
• Náhodné pole
• Stochastický proces
• Kriging
• Funkce autokorelace
• Korelační funkce
• Kladně definitivní jádro

Reference