Itô izometrie - Itô isometry

v matematika, Izometrie, pojmenoval podle Kiyoshi Itô, je zásadní skutečnost Itô stochastické integrály. Jednou z jeho hlavních aplikací je umožnit výpočet odchylky pro náhodné proměnné, které jsou uvedeny jako integrály Itô.

Nechat ${displaystyle W: [0, T] imes Omega o mathbb {R}}$ označit kanonickou skutečnou hodnotu Wienerův proces definováno až do času ${displaystyle T> 0}$a nechte ${displaystyle X: [0, T] imes Omega o mathbb {R}}$ být stochastický proces to je přizpůsobeno do přírodní filtrace ${displaystyle {mathcal {F}} _ {*} ^ {W}}$ Wienerova procesu. Pak

${displaystyle operatorname {E} left [left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) ^ {2} ight] = operatorname {E} left [int _ { 0} ^ {T} X_ {t} ^ {2}, mathrm {d} těsný],}$

kde ${displaystyle operatorname {E}}$ označuje očekávání s ohledem na klasické Wienerovo opatření.

Jinými slovy, integrál Itô, jako funkce z vesmíru ${displaystyle L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)}$ integrovatelný do čtverce přizpůsobené procesy do vesmíru ${displaystyle L ^ {2} (Omega)}$ ze čtvercových integrovatelných náhodných proměnných je izometrie z normované vektorové prostory s ohledem na normy vyvolané vnitřní výrobky

${displaystyle {egin {aligned} (X, Y) _ {L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)} &: = operatorname {E} left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, Y_ {t}, mathrm {d} těsný) konec {zarovnán}}}$

a

${displaystyle (A, B) _ {L ^ {2} (Omega)}: = operatorname {E} (AB).}$

V důsledku toho integrál Itô respektuje i tyto vnitřní produkty, tj. Můžeme psát

${displaystyle operatorname {E} left [left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) left (int _ {0} ^ {T} Y_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) ight] = operatorname {E} vlevo [int _ {0} ^ {T} X_ {t} Y_ {t}, mathrm {d} těsný]}$

pro ${displaystyle X, Yin L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)}$ .

Reference

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací. Springer, Berlín. ISBN  3-540-04758-1.