Nikde hustá sada - Nowhere dense set

v matematika, a podmnožina a topologický prostor je nazýván nikde hustá nebo a vzácný[1] jestli je to uzavření má prázdný interiér. Ve velmi volném smyslu se jedná o množinu, jejíž prvky nejsou pevně seskupeny (jak je definováno v topologie v prostoru) kdekoli. Pořadí operací je důležité. Například sada racionální čísla, jako podmnožina reálná čísla, ℝ, má vlastnost, že jeho interiér má prázdný uzavření, ale není to nikde husté; ve skutečnosti je hustý v ℝ.

Na okolním prostoru záleží: sada A nemusí být nikde hustý, když je považován za podmnožinu topologického prostoru X, ale ne, když je to považováno za podmnožinu jiného topologického prostoru Y. Je pozoruhodné, že množina je vždy sama o sobě hustá topologie podprostoru.

Počítatelné spojení nikde hustých množin se nazývá a hubená sada. Slabé soupravy hrají důležitou roli při formulaci Věta o kategorii Baire.

Charakterizace

Nechat X být topologický prostor a S podmnožina X. Pak jsou ekvivalentní následující:

  1. S není nikde hustá X;
  2. (definice) vnitřek uzavření S (oba přijati X) je prázdný;
  3. uzavření S v X neobsahuje žádnou neprázdnou otevřenou podmnožinu X;
  4. S ∩ U není hustý v jakékoli neprázdné otevřené podmnožině U z X;
  5. doplněk v X uzavření S je hustá v X;[1]
  6. každá neprázdná otevřená podmnožina PROTI z X obsahuje neprázdnou otevřenou podmnožinu U z X takhle U ∩ S = ∅;[1]
  7. uzavření S není nikde hustá X (podle jakékoli jiné definující podmínky než této);[1]
    • Chcete-li to vidět, připomeňte si, že podmnožina X má prázdný interiér, jen když je jeho doplněk hustý X.
  8. (pouze pro případ S Zavřeno) S se rovná jeho hranice.[1]

Vlastnosti a dostatečné podmínky

  • Předpokládat A ⊆ B ⊆ X.
    • Li A není nikde hustá B pak A není nikde hustá X.
    • Li A není nikde hustá X a B je otevřená podmnožina X pak A není nikde hustá B.[1]
  • Každá podmnožina nikde husté množiny není nikde hustá.[1]
  • The unie z konečně mnoho nikde hustých sad není nikde husté.

Tak nikde husté sady netvoří ideální sady, vhodný pojem zanedbatelná množina.

Spojení spočetně mnoho nikde hustých sad však nemusí být nikde hustých. (Tedy nikde husté sady nemusí tvořit a sigma-ideální.) Místo toho se takové unii říká a hubená sada nebo a sada první kategorie.

Příklady

  • Hranice každé otevřené množiny a každé uzavřené množiny není nikde hustá.[1]
  • Prázdná množina není nikde hustá a v diskrétním prostoru je prázdná množina jedinou nikde hustou podmnožinou.[1]
  • V T1 prostor, libovolná sada singletonů, která není izolovaný bod není nikde hustá.
  • ℝ není nikde hustá ℝ2.[1]
  • ℤ není nikde hustá ℝ ale racionální ℚ jsou ne.[1]
  • S = { 1/n : n ∈ ℕ} není nikde hustá ℝ: ačkoli se body libovolně blíží nule, uzavření sady je S ∪ { 0 }, který má prázdný vnitřek (a tedy také nikde hustý v ℝ).[1]
  • ℤ ∪ [(A, b) ∩ ℚ] je ne nikde hustý ℝ: v intervalu je hustá [A, b], a zejména vnitřek jeho uzavření je (A, b).
  • Vektorový podprostor a topologický vektorový prostor je hustá nebo nikde hustá.[1]

Otevřeno a zavřeno

  • Nikde hustá sada nemusí být Zavřeno (například sada { 1/n : n ∈ ℕ } není v realitách nikde hustá), ale je správně obsažena v nikde husté uzavřené sadě, konkrétně její uzavření (což by přidalo 0 do příkladové sady). Sada skutečně není nikde hustá právě tehdy, když její uzavření není nikde hustá.
  • The doplněk uzavřeného nikde hustá množina není hustá otevřená sada, a tedy doplněk nikde husté množiny je množina husté interiér.
  • The hranice každé otevřené sady je uzavřeno a nikde husté.
  • Každá uzavřená nikde hustá množina není hranicí otevřené množiny.

Nikde husté sady s pozitivní mírou

Nikde hustá množina není nutně zanedbatelná v každém smyslu. Například pokud X je jednotkový interval [0,1], nejenže je možné mít hustou sadu Lebesgueovo opatření nula (například množina racionálních), ale je také možné mít nikde hustou množinu s kladnou mírou.

Pro jeden příklad (varianta Cantor set ), odebrat z [0,1] vše dyadické frakce, tj. zlomky formy A/2n v nejnižší termíny pro kladná celá čísla A a na intervaly kolem nich: (A/2n − 1/22n+1, A/2n + 1/22n+1). Protože pro každého n toto odstraní intervaly, které se sčítají maximálně 1/2n+1, nikde hustá množina zbývající po odstranění všech těchto intervalů má míru alespoň 1/2 (ve skutečnosti jen něco málo přes 0,535 ... kvůli překrývání), a tak v jistém smyslu představuje většinu okolního prostoru [0, 1]. Tato sada není nikde hustá, protože je uzavřená a má prázdný vnitřek: libovolný interval (A, b) není obsažen v sadě, protože dyadické frakce v (A, b) byly odstraněny.

Zobecněním této metody lze v jednotkovém intervalu zkonstruovat nikde husté množiny jakékoli míry menší než 1, ačkoli míra nemůže být přesně 1 (jinak by doplňkem jejího uzavření byla neprázdná otevřená množina s mírou nula, což je nemožné).

Viz také

Reference

  1. ^ A b C d E F G h i j k l m Narici & Beckenstein 2011, str. 371-423.

Bibliografie

  • Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
  • Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

externí odkazy