Langevinova rovnice - Langevin equation

Ve fyzice, a Langevinova rovnice (pojmenoval podle Paul Langevin ) je stochastická diferenciální rovnice popisující časový vývoj podmnožiny stupňů volnosti. Tyto stupně volnosti jsou obvykle kolektivní (makroskopické) proměnné, které se mění jen pomalu ve srovnání s ostatními (mikroskopickými) proměnnými systému. Rychlé (mikroskopické) proměnné jsou zodpovědné za stochastickou povahu Langevinovy rovnice. Jedna aplikace je Brownův pohyb, výpočet statistik náhodného pohybu malé částice v kapalině v důsledku kolizí s okolními molekulami v tepelném pohybu.

Brownův pohyb jako prototyp

Původní Langevinova rovnice^[1] popisuje Brownův pohyb, zdánlivě náhodný pohyb částice v kapalině v důsledku srážek s molekulami kapaliny,

{ displaystyle m { frac {d mathbf {v}} {dt}} = - lambda mathbf {v} + { boldsymbol { eta}} vlevo (t vpravo).}

Stupně volnosti zájmu jsou rychlost ${ displaystyle mathbf {v}}$ částice, ${ displaystyle m}$ označuje hmotnost částice. Síla působící na částici se zapisuje jako součet viskózní síly úměrné rychlosti částice (Stokesův zákon ) a a hluk termín ${ displaystyle { boldsymbol { eta}} vlevo (t vpravo)}$ (název daný ve fyzikálních kontextech pojmům ve stochastických diferenciálních rovnicích, které jsou stochastické procesy ) představující účinek srážek s molekulami tekutiny. Síla ${ displaystyle { boldsymbol { eta}} vlevo (t vpravo)}$ má Gaussovo rozdělení pravděpodobnosti s korelační funkcí

{ displaystyle left langle eta _ {i} left (t right) eta _ {j} left (t ^ { prime} right) right rangle = 2 lambda k_ {B} T delta _ {i, j} delta left (tt ^ { prime} right),}

kde ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta, ${ displaystyle T}$ je teplota a ${ displaystyle eta _ {i} vlevo (t vpravo)}$ je i-tou složkou vektoru ${ displaystyle { boldsymbol { eta}} vlevo (t vpravo)}$ . The ${ displaystyle delta}$ -funkce forma korelací v čase znamená, že síla v čase ${ displaystyle t}$ Předpokládá se, že kdykoli zcela nesouvisí se silou. Toto je přibližné; skutečná náhodná síla má nenulovou korelační dobu odpovídající kolizní době molekul. Langevinova rovnice se však používá k popisu pohybu „makroskopické“ částice v mnohem delším časovém měřítku a v tomto limitu ${ displaystyle delta}$ -korelace a Langevinova rovnice se stává téměř přesnou.

Dalším typickým rysem Langevinovy rovnice je výskyt tlumicího koeficientu ${ displaystyle lambda}$ ve korelační funkci náhodné síly, skutečnost známá také jako Einsteinův vztah.

Matematické aspekty

Přísně ${ displaystyle delta}$ - související kolísající síla ${ displaystyle { boldsymbol { eta}} vlevo (t vpravo)}$ není funkce v obvyklém matematickém smyslu a dokonce ani derivace ${ displaystyle d mathbf {v} / dt}$ není v tomto limitu definována. Tento problém zmizí, když je Langevinova rovnice napsána v integrální formě ${ displaystyle m mathbf {v} = int ^ {t} left (- lambda mathbf {v} + { boldsymbol { eta}} left (t right) right) dt,}$ a Langevinova rovnice by měla být vždy interpretována jako zkratka pro její časový integrál. Obecný matematický termín pro rovnice tohoto typu je „stochastická diferenciální rovnice ".

Další matematická nejednoznačnost nastává pro (poněkud speciální) Langevinovy rovnice s multiplikativním šumem, tj. Termíny jako ${ displaystyle | { boldsymbol {v}} (t) | { boldsymbol { eta}} (t)}$ na r.h.s .. Takové rovnice lze interpretovat podle Stratonovichova nebo Ito schématu, a pokud odvození Langevinovy rovnice neříká, kterou z nich použít, je stejně sporné. Vidět To je kalkul.^[2]

Obecná Langevinova rovnice

Existuje formální odvození obecné Langevinovy rovnice od klasické mechaniky.^[3]^[4] Tato obecná rovnice hraje ústřední roli v teorii kritická dynamika,^[5] a další oblasti nerovnovážné statistické mechaniky. Rovnice pro Brownův pohyb výše je zvláštní případ.

Podstatnou podmínkou derivace je kritérium rozdělování stupňů volnosti do kategorií pomalých a rychlých. Například místní termodynamické rovnováhy v kapalině je dosaženo během několika kolizních časů. Ale mnohem déle trvá, než se hustoty konzervovaných veličin, jako je hmotnost a energie, uvolní do rovnováhy. Hustoty konzervovaných veličin, a zejména jejich složek s dlouhou vlnovou délkou, jsou tedy pomalými proměnnými kandidáty. Technicky je toto rozdělení realizováno pomocí Operátor projekce Zwanzig,^[6] základní nástroj při odvozování. Odvození není zcela přesné, protože se opírá o (věrohodné) předpoklady podobné předpokladům požadovaným jinde v základní statistické mechanice.

Nechat ${ displaystyle A = {A_ {i} }}$ označit pomalé proměnné. Potom se přečte obecná Langevinova rovnice

{ displaystyle { frac {dA_ {i}} {dt}} = k_ {B} T součet limity _ {j} { doleva [{A_ {i}, A_ {j}} doprava] { frac {{d} { mathcal {H}}} {dA_ {j}}}} - sum limity _ {j} { lambda _ {i, j} vlevo (A vpravo) { frac { d { mathcal {H}}} {dA_ {j}}} +} sum limits _ {j} { frac {d { lambda _ {i, j} left (A right)}} { dA_ {j}}} + eta _ {i} vlevo (t vpravo).}

Kolísající síla ${ displaystyle eta _ {i} vlevo (t vpravo)}$ poslouchá a Gaussovo rozdělení pravděpodobnosti s korelační funkcí

{ displaystyle left langle { eta _ {i} left (t right) eta _ {j} left (t ^ { prime} right)} right rangle = 2 lambda _ { i, j} left (A right) delta left (tt ^ { prime} right).}

To znamená Vztah Onsager vzájemnosti ${ displaystyle lambda _ {i, j} = lambda _ {j, i}}$ pro tlumicí koeficienty ${ displaystyle lambda}$ . Závislost ${ displaystyle d lambda _ {i, j} / dA_ {j}}$ z ${ displaystyle lambda}$ na ${ displaystyle A}$ je ve většině případů zanedbatelný ${ displaystyle { mathcal {H}} = - ln left (p_ {0} right)}$ označuje hamiltonián systému, kde ${ displaystyle p_ {0} left (A right)}$ je rovnovážné rozdělení pravděpodobnosti proměnných ${ displaystyle A}$ . Konečně, ${ displaystyle [A_ {i}, A_ {j}]}$ je projekce Poissonova závorka pomalých proměnných ${ displaystyle A_ {i}}$ a ${ displaystyle A_ {j}}$ do prostoru pomalých proměnných.

V případě Brownova pohybu by se jednalo ${ displaystyle { mathcal {H}} = mathbf {p} ^ {2} / left (2mk_ {B} T right)}$ , ${ displaystyle A = { mathbf {p} }}$ nebo ${ displaystyle A = { mathbf {x}, mathbf {p} }}$ a ${ displaystyle [x_ {i}, p_ {j}] = delta _ {i, j}}$ . Pohybová rovnice ${ displaystyle d mathbf {x} / dt = mathbf {p} / m}$ pro ${ displaystyle mathbf {x}}$ je přesný, neexistuje kolísající síla ${ displaystyle eta _ {x}}$ a žádný koeficient tlumení ${ displaystyle lambda _ {x, p}}$ .

Příklady

Trajektorie volných Brownových částic

Zvažte volnou částici hmoty ${ displaystyle m}$ s pohybovou rovnicí popsanou

{ displaystyle m { frac {d mathbf {v}} {dt}} = - { frac { mathbf {v}} { mu}} + { boldsymbol { eta}} (t),}

kde ${ displaystyle mathbf {v} = d mathbf {r} / dt}$ je rychlost částic, ${ displaystyle mu}$ je pohyblivost částic a ${ displaystyle { boldsymbol { eta}} (t) = m mathbf {a} (t)}$ je rychle se měnící síla, jejíž časový průměr mizí v charakteristickém časovém měřítku ${ displaystyle t_ {c}}$ srážek částic, tj. ${ displaystyle { overline {{ boldsymbol { eta}} (t)}} = 0}$ . Obecné řešení pohybové rovnice je

{ displaystyle mathbf {v} (t) = mathbf {v} (0) e ^ {- t / tau} + int _ {0} ^ {t} mathbf {a} (t ') e ^ {- (t-t ') / tau} dt',}

kde ${ displaystyle tau = m mu}$ je relaxační doba Brownova pohybu. Jak se dalo očekávat z náhodné povahy Brownova pohybu, průměrné rychlosti driftu ${ displaystyle langle mathbf {v} (t) rangle = mathbf {v} (0) e ^ {- t / tau}}$ rychle se rozpadá na nulu v ${ displaystyle t gg tau}$ . Lze také ukázat, že funkce autokorelace rychlosti částic ${ displaystyle mathbf {v}}$ darováno^[7]

Simulované čtvercové posuny volných Brownových částic (poloprůhledné krouticí čáry) jako funkce času pro tři vybrané volby počáteční rychlosti na druhou, které jsou 0, 3 kT / m, respektive 6 kT / m, přičemž 3 kT / m je hodnota ekvipartice v tepelné rovnováze. Barevné plné křivky označují střední čtvercová posunutí pro výběr příslušných parametrů.

{ displaystyle { begin {zarovnáno} R_ {vv} (t_ {1}, t_ {2}) & equiv langle mathbf {v} (t_ {1}) cdot mathbf {v} (t_ { 2}) rangle & = v ^ {2} (0) e ^ {- (t_ {1} + t_ {2}) / tau} + int _ {0} ^ {t_ {1}} int _ {0} ^ {t_ {2}} R_ {aa} (t_ {1} ', t_ {2}') e ^ {- (t_ {1} + t_ {2} -t_ {1} ' -t_ {2} ') / tau} dt_ {1}' dt_ {2} ' & simeq v ^ {2} (0) e ^ {- | t_ {2} -t_ {1} | / tau} + { bigg [} { frac {3k_ {B} T} {m}} - v ^ {2} (0) { bigg]} { Big [} e ^ {- | t_ {2 } -t_ {1} | / tau} -e ^ {- (t_ {1} + t_ {2}) / tau} { Big]}, end {zarovnáno}}}

kde jsme použili vlastnost, že proměnné ${ displaystyle mathbf {a} (t_ {1} ')}$ a ${ displaystyle mathbf {a} (t_ {2} ')}$ budou pro časové separace nekorelované ${ displaystyle t_ {2} '- t_ {1}' gg t_ {c}}$ . Kromě toho hodnota ${ displaystyle lim _ {t to infty} langle v ^ {2} (t) rangle = lim _ {t to infty} R_ {vv} (t, t)}$ je nastaven na rovný ${ displaystyle 3k_ {B} T / m}$ tak, že se řídí teorém ekvipartice. Všimněte si, že pokud je systém zpočátku v tepelné rovnováze již s ${ displaystyle v ^ {2} (0) = 3k_ {B} T / m}$ , pak ${ displaystyle langle v ^ {2} (t) rangle = 3k_ {B} T / m}$ pro všechny ${ displaystyle t}$ , což znamená, že systém zůstává po celou dobu v rovnováze.

Rychlost ${ displaystyle mathbf {v} (t)}$ Brownova částice může být integrována, aby poskytla její trajektorii (za předpokladu, že je zpočátku v počátku)

{ displaystyle mathbf {r} (t) = mathbf {v} (0) tau { big (} 1-e ^ {- t / tau} { big)} + tau int _ { 0} ^ {t} mathbf {a} (t ') { Big [} 1-e ^ {- (t-t') / tau} { Big]} dt '.}

Proto je výsledný průměrný posun ${ displaystyle langle mathbf {r} (t) rangle = mathbf {v} (0) tau { big (} 1-e ^ {- t / tau} { big)}}$ asymptoty na ${ displaystyle mathbf {v} (0) tau}$ jak se systém uvolňuje a náhoda převezme kontrolu. Kromě toho střední čtvercový posun lze určit podobně jako v předchozím výpočtu

{ displaystyle langle r ^ {2} (t) rangle = v ^ {2} (0) tau ^ {2} { big (} 1-e ^ {- t / tau} { big) } ^ {2} - { frac {3k_ {B} T} {m}} tau ^ {2} { big (} 1-e ^ {- t / tau} { big)} { big (} 3-e ^ {- t / tau} { big)} + { frac {6k_ {B} T} {m}} tau t.}

Je to vidět ${ displaystyle langle r ^ {2} (t ll tau) rangle simeq v ^ {2} (0) t ^ {2}}$ , což naznačuje, že pohyb Brownových částic v časovém měřítku je mnohem kratší než doba relaxace ${ displaystyle tau}$ systému je (přibližně) obrácení času neměnný. Na druhou stranu, ${ displaystyle langle r ^ {2} (t gg tau) rangle simeq 6k_ {B} T tau t / m = 6 mu k_ {B} Tt = 6Dt}$ , což naznačuje, že dlouhodobý náhodný pohyb Brownových částic je nevratný disipativní proces. Zde jsme využili Vztah Einstein – Smoluchowski ${ displaystyle D = { mu , k_ {B} T}}$ , kde ${ displaystyle D}$ je difúzní koeficient kapaliny.

Tento graf odpovídá řešením úplné Langevinovy rovnice získané pomocí Metoda Euler – Maruyama. Levý panel zobrazuje časový vývoj fázového portrétu harmonického oscilátoru při různých teplotách. Pravý panel zachycuje odpovídající rovnovážné rozdělení pravděpodobnosti. Při nulové teplotě se rychlost v důsledku tlumení rychle snižuje z počáteční hodnoty (červená tečka) na nulu. U nenulových teplot lze z důvodu teplotních výkyvů rychlost nakopnout na hodnoty vyšší než počáteční hodnota. Po dlouhou dobu zůstává rychlost nenulová a rozložení polohy a rychlosti odpovídá teplotní rovnováze.

Harmonický oscilátor v kapalině

{ displaystyle m { frac {dv} {dt}} = - lambda v + eta (t) -kx}

Částice v kapalině je také popsána Langevinovou rovnicí s potenciálem, tlumicí silou a teplotními výkyvy danými věta o rozptylu fluktuace. Pokud je potenciálem potenciál harmonického oscilátoru, pak jsou křivky konstantní energie elipsy, jak je znázorněno na obrázku 1 níže. V přítomnosti disipační síly však částice ztrácejí energii do životního prostředí. Na druhou stranu tepelná fluktuace náhodně přidává energii částice. Při absenci tepelných výkyvů ztrácí částice nepřetržitě kinetickou energii a fázový portrét časového vývoje rychlosti vs. polohy vypadá jako elipsa, která se spirálovitě pohybuje, dokud nedosáhne nulové rychlosti. Naopak, tepelné fluktuace poskytují kopnutí do částic, které neumožňují částice ztratit veškerou svoji energii. Po dlouhou dobu se tedy počáteční soubor stochastických oscilátorů rozšířil a nakonec dosáhl tepelná rovnováha, pro které je rozdělení rychlosti a polohy dáno Maxwell – Boltzmannova distribuce. Na níže uvedeném grafu (obrázek 2) je dlouhodobé rozdělení rychlosti (oranžové) a rozdělení polohy (modré) v harmonickém potenciálu ( ${ displaystyle U = { frac {1} {2}} kx ^ {2}}$ ) je vyneseno s Boltzmannovými pravděpodobnostmi rychlosti (červená) a polohy (zelená). Vidíme, že chování v pozdní době zobrazuje tepelnou rovnováhu.

Obrázek 2: Pravděpodobnost rovnováhy pro Langevinovu dynamiku v harmonickém potenciálu

Elektrický obvod skládající se z rezistoru a kondenzátoru.

Tepelný šum v elektrickém rezistoru

Mezi paradigmatickou Brownovou částicí diskutovanou výše a Johnsonův hluk, elektrické napětí generované tepelnými fluktuacemi v každém rezistoru.^[8] Diagram vpravo ukazuje elektrický obvod skládající se z a odpor R a a kapacita C. Pomalá proměnná je napětí U mezi konci odporu. Hamiltonián čte ${ displaystyle { mathcal {H}} = E / k_ {B} T = CU ^ {2} / (2k_ {B} T)}$ a stane se Langevinova rovnice

{ displaystyle { frac {dU} {dt}} = - { frac {U} {RC}} + eta left (t right), ; ; left langle eta left (t right) eta left (t ^ { prime} right) right rangle = { frac {2k_ {B} T} {RC ^ {2}}} delta left (tt ^ { prime }že jo).}

Tuto rovnici lze použít ke stanovení korelační funkce

{ displaystyle left langle U left (t right) U left (t ^ { prime} right) right rangle = left (k_ {B} T / C right) exp left (- left vert tt ^ { prime} right vert / RC right) cca 2Rk_ {B} T delta left (tt ^ { prime} right),}

který se stane bílým šumem (Johnsonův šum), když se kapacita C zanedbatelně zmenší.

Kritická dynamika

Dynamika parametr objednávky ${ displaystyle varphi}$ fázového přechodu druhého řádu zpomaluje poblíž kritický bod a lze je popsat Langevinovou rovnicí.^[5] Nejjednodušší případ je třída univerzality „model A“ s nekonzervovaným parametrem skalárního řádu, realizovaný například v axiálních feromagnetech,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné varphi vlevo ( mathbf {x}, t vpravo)} { částečné t}} & = - lambda { frac { delta { mathcal {H}}} { delta varphi}} + eta left ( mathbf {x}, t right), { mathcal {H}} & = int d ^ {d} x left {{ frac {1} {2}} varphi left [r_ {0} - nabla ^ {2} right] varphi + u varphi ^ {4} right }, left langle eta left ( mathbf {x}, t right) eta left ( mathbf {x} ', t' right) right rangle & = 2 lambda delta left ( mathbf {x} - mathbf {x} ' right) delta left (t-t' right). end {zarovnáno}}}

Jiné třídy univerzálnosti (nomenklatura je „model A“, ..., „model J“) obsahují parametr rozptylového pořadí, parametry pořadí s několika složkami, další kritické proměnné a / nebo příspěvky z Poissonových závorek.^[5]

Obnova Boltzmannovy statistiky

Langevinovy rovnice musí reprodukovat Boltzmannova distribuce. 1-rozměrný přehnané Brownův pohyb je poučným příkladem. Překrytý případ je realizován, když je setrvačnost částice ve srovnání s tlumicí silou zanedbatelná. Trajektorie ${ displaystyle x (t)}$ částice v potenciálu ${ displaystyle V (x)}$ je popsána Langevinovou rovnicí

{ displaystyle lambda { frac {dx} {dt}} = - { frac { částečné V (x)} { částečné x}} + eta (t),}

kde je hluk charakterizován ${ Displaystyle left langle eta (t) eta (t ') right rangle = 2k_ {B} T lambda delta (t-t')}$ a ${ displaystyle lambda}$ je tlumicí konstanta. Chtěli bychom vypočítat distribuci ${ displaystyle p (x)}$ polohy částice v průběhu času. Přímým způsobem určení této distribuce je zavedení testovací funkce ${ displaystyle f}$ , a podívat se na průměr této funkce ve všech realizacích (průměr souboru)

{ displaystyle lambda { frac {d left langle f (x (t)) right rangle} {dt}} = left langle f '(x (t)) lambda { frac {dx } {dt}} right rangle = left langle -f '(x (t)) { frac { částečné V} { částečné x}} + f' (x (t)) eta (t ) right rangle.}

Li ${ displaystyle x (t)}$ zůstává konečné, pak je toto množství nulové. Navíc pomocí Stratonovichovy interpretace jsme schopni se zbavit eta ve druhém semestru, takže skončíme s

{ displaystyle left langle -f '(x) { frac { částečné V} { částečné x}} + k_ {B} Tf' (x) pravé rangle = 0,}

kde využíváme funkci hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle p (x)}$ . To se provádí explicitním výpočtem průměru,

{ displaystyle int left (-f '(x) { frac { částečné V} { částečné x}} p (x) + {k_ {B} T} f' '(x) p (x) right) dx = int left (-f '(x) { frac { částečné V} { částečné x}} p (x) - {k_ {B} T} f' (x) p '( x) vpravo) dx = 0,}

kde byl druhý člen integrován po částech (tedy záporné znaménko). Protože to platí pro libovolné funkce ${ displaystyle f}$ , musíme mít:

{ displaystyle { frac { částečné V} { částečné x}} p (x) + {k_ {B} T} p '(x) = 0,}

čímž se získá Boltzmannova distribuce

{ displaystyle p (x) propto exp left ({- { frac {V (x)} {k_ {B} T}}} right).}

Ekvivalentní techniky

Řešení Langevinovy rovnice pro konkrétní realizaci fluktuující síly není samo o sobě zajímavé; zajímavé jsou korelační funkce pomalých proměnných po průměrování nad fluktuující silou. Tyto korelační funkce lze také určit jinými (ekvivalentními) technikami.

Fokker-Planckova rovnice

A Fokker-Planckova rovnice je deterministická rovnice pro časově závislou hustotu pravděpodobnosti ${ displaystyle P left (A, t right)}$ stochastických proměnných ${ displaystyle A}$ . Fokker-Planckova rovnice odpovídající generické Langevinově rovnici výše může být odvozena standardními technikami (viz například ref.^[9]),

{ displaystyle { frac { částečné P levé (A, t pravé)} { částečné t}} = součet _ {i, j} { frac { částečné} { částečné A_ {i}} } left (-k_ {B} T left [A_ {i}, A_ {j} right] { frac { partial { mathcal {H}}} { částečné A_ {j}}} + lambda _ {i, j} { frac { částečné { mathcal {H}}} { částečné A_ {j}}} + lambda _ {i, j} { frac { částečné} { částečné A_ {j}}} vpravo) P vlevo (A, t vpravo).}

Rovnovážné rozdělení ${ displaystyle P (A) = p_ {0} (A) = { text {const}} times exp (- { mathcal {H}})}$ je stacionární řešení.

Cesta integrální

A cesta integrální ekvivalent k Langevinově rovnici lze získat z odpovídajících Fokker-Planckova rovnice nebo transformací Gaussova rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle P ^ {( eta)} ( eta) d eta}$ kolísající síly ${ displaystyle eta}$ k rozdělení pravděpodobnosti pomalých proměnných, schematicky ${ Displaystyle P (A) dA = P ^ {( eta)} ( eta (A)) det (d eta / dA) dA}$ Funkční determinant a související matematické jemnosti vypadnou, pokud je Langevinova rovnice diskretizována přirozeným (kauzálním) způsobem, kde ${ displaystyle A (t + Delta t) -A (t)}$ záleží na ${ displaystyle A (t)}$ ale ne na ${ displaystyle A (t + Delta t)}$ . Ukázalo se, že je vhodné zavést pomocné proměnné odezvy ${ displaystyle { tilde {A}}}$ . Pak se načte integrál cesty ekvivalentní s obecnou Langevinovou rovnicí^[10]

{ displaystyle int P (A, { tilde {A}}) , dA , d { tilde {A}} = N int exp left (L (A, { tilde {A}}) ) right) dA , d { tilde {A}},}

kde ${ displaystyle N}$ je normalizační faktor a

{ displaystyle L (A, { tilde {A}}) = int sum _ {i, j} left {{ tilde {A}} _ {i} lambda _ {i, j} { tilde {A}} _ {j} - { widetilde {A}} _ {i} left { delta _ {i, j} { frac {dA_ {j}} {dt}} - k_ { B} T left [A_ {i}, A_ {j} right] { frac {d { mathcal {H}}} {dA_ {j}}} + lambda _ {i, j} { frac {d { mathcal {H}}} {dA_ {j}}} - { frac {d lambda _ {i, j}} {dA_ {j}}} right } right } dt.}

Formulace integrace cesty nepřidává nic nového, ale umožňuje použití nástrojů od kvantová teorie pole; například skupinové metody perturbace a renormalizace (pokud mají smysl).

Viz také

Langevinova dynamika

Reference

^ Langevin, P. (1908). „Sur la théorie du mouvement brownien [O teorii Brownova pohybu]“. C. R. Acad. Sci. Paříž. 146: 530–533.; hodnotili D. S. Lemons & A. Gythiel: Článek Paula Langevina z roku 1908 „O teorii Brownova pohybu“ [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), doi:10.1119/1.18725
^ Stochastické procesy ve fyzice a chemii. Elsevier. 2007. doi:10.1016 / b978-0-444-52965-7.x5000-4. ISBN 978-0-444-52965-7.
^ Kawasaki, K. (1973). "Jednoduché derivace zobecněných lineárních a nelineárních Langevinových rovnic". J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 6 (9): 1289–1295. Bibcode:1973JPhA .... 6,2889 tis. doi:10.1088/0305-4470/6/9/004.
^ Dengler, R. (2015). "Další odvození zobecněných Langevinových rovnic". arXiv:1506.02650v2 [fyzika.třída-ph ].
^ ^A ^b ^C Hohenberg, P. C .; Halperin, B. I. (1977). "Teorie dynamických kritických jevů". Recenze moderní fyziky. 49 (3): 435–479. Bibcode:1977RvMP ... 49..435H. doi:10.1103 / RevModPhys.49.435.
^ Zwanzig, R. (1961). "Paměťové efekty v nevratné termodynamice". Phys. Rev. 124 (4): 983–992. Bibcode:1961PhRv..124..983Z. doi:10.1103 / PhysRev.124.983.
^ Pathria RK (1972). Statistická mechanika. Oxford: Pergamon Press. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
^ Johnson, J. (1928). „Tepelné míchání elektřiny ve vodičích“. Phys. Rev. 32 (1): 97. Bibcode:1928PhRv ... 32 ... 97J. doi:10.1103 / PhysRev.32,97.
^ Ichimaru, S. (1973), Základní principy fyziky plazmatu (1. vyd.), USA: Benjamin, str. 231, ISBN 0805387536
^ Janssen, H. K. (1976). "Lagrangean pro klasickou dynamiku pole a renormalizační skupinové výpočty dynamických kritických vlastností". Z. Phys. B. 23 (4): 377–380. Bibcode:1976ZPhyB..23..377J. doi:10.1007 / BF01316547. S2CID 121216943.

Další čtení

W. T. Coffey (Trinity College, Dublin, Irsko) a Yu P. Kalmykov (Université de Perpignan, Francie, Langevinova rovnice: S aplikacemi na stochastické problémy ve fyzice, chemii a elektrotechnice (Třetí edice), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - sv. 27.
Reif, F. Základy statistické a tepelné fyziky, McGraw Hill New York, 1965. Viz část 15.5 Langevinova rovnice
R. Friedrich, J. Peinke a Ch. Renner. Jak kvantifikovat deterministické a náhodné vlivy na statistiku devizového trhu, Phys. Rev. Lett. 84, 5224 - 5227 (2000)
L.C.G. Rogers a D. Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, dotisk 2. (1994) vydání, 2000.

[1] Langevin, P. (1908). „Sur la théorie du mouvement brownien [O teorii Brownova pohybu]“. C. R. Acad. Sci. Paříž. 146: 530–533.; hodnotili D. S. Lemons & A. Gythiel: Článek Paula Langevina z roku 1908 „O teorii Brownova pohybu“ [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), doi:10.1119/1.18725

[Stochastic_Processes_in_Physics_and_Chemistry_2007_p.-2] Stochastické procesy ve fyzice a chemii. Elsevier. 2007. doi:10.1016 / b978-0-444-52965-7.x5000-4. ISBN 978-0-444-52965-7.

[Kawasaki1973-3] Kawasaki, K. (1973). "Jednoduché derivace zobecněných lineárních a nelineárních Langevinových rovnic". J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 6 (9): 1289–1295. Bibcode:1973JPhA .... 6,2889 tis. doi:10.1088/0305-4470/6/9/004.

[den2015-4] Dengler, R. (2015). "Další odvození zobecněných Langevinových rovnic". arXiv:1506.02650v2 [fyzika.třída-ph ].

[HH1977-5] A ^b ^C Hohenberg, P. C .; Halperin, B. I. (1977). "Teorie dynamických kritických jevů". Recenze moderní fyziky. 49 (3): 435–479. Bibcode:1977RvMP ... 49..435H. doi:10.1103 / RevModPhys.49.435.

[6] Zwanzig, R. (1961). "Paměťové efekty v nevratné termodynamice". Phys. Rev. 124 (4): 983–992. Bibcode:1961PhRv..124..983Z. doi:10.1103 / PhysRev.124.983.

[7] Pathria RK (1972). Statistická mechanika. Oxford: Pergamon Press. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.

[8] Johnson, J. (1928). „Tepelné míchání elektřiny ve vodičích“. Phys. Rev. 32 (1): 97. Bibcode:1928PhRv ... 32 ... 97J. doi:10.1103 / PhysRev.32,97.

[Ichimaru1973-9] Ichimaru, S. (1973), Základní principy fyziky plazmatu (1. vyd.), USA: Benjamin, str. 231, ISBN 0805387536

[Janssen1976-10] Janssen, H. K. (1976). "Lagrangean pro klasickou dynamiku pole a renormalizační skupinové výpočty dynamických kritických vlastností". Z. Phys. B. 23 (4): 377–380. Bibcode:1976ZPhyB..23..377J. doi:10.1007 / BF01316547. S2CID 121216943.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]