Autoregresní frakčně integrovaný klouzavý průměr - Autoregressive fractionally integrated moving average

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v statistika, autoregresní frakčně integrovaný klouzavý průměr modely jsou časové řady modely, které zobecňují ARIMA (autoregresní integrovaný klouzavý průměr) modely povolením neceločíselných hodnot rozdílu parametr. Tyto modely jsou užitečné při modelování časových řad pomocí dlouhá paměť —To znamená, že odchylky od dlouhodobého průměru znamenají úpadek pomaleji než exponenciální úpadek. Často se používají zkratky „ARFIMA“ nebo „FARIMA“, ačkoli je také běžné jednoduše rozšířit „ARIMA (p,d,q) „zápis pro modely, jednoduše povolením pořadí diferenciace, d, aby se zlomkové hodnoty.

Základy

V ARIMA model, integrovaný část modelu zahrnuje rozlišujícího operátora (1 - B) (kde B je operátor zpětného řazení ) zvýšen na celočíselnou mocninu. Například,

${ displaystyle (1-B) ^ {2} = 1-2B + B ^ {2} ,,}$

kde

${ displaystyle B ^ {2} X_ {t} = X_ {t-2} ,,}$

aby

${ displaystyle (1-B) ^ {2} X_ {t} = X_ {t} -2X_ {t-1} + X_ {t-2}.}$

V zlomek model, síla může být zlomková, ve smyslu termínu identifikovaného pomocí následujícího formálního binomická řada expanze

${ displaystyle { begin {aligned} (1-B) ^ {d} & = sum _ {k = 0} ^ { infty} ; {d vyberte k} ; (- B) ^ {k } & = sum _ {k = 0} ^ { infty} ; { frac { prod _ {a = 0} ^ {k-1} (da) (-B) ^ {k} } {k!}} & = 1-dB + { frac {d (d-1)} {2!}} B ^ {2} - cdots ,. end {zarovnáno}}}$

ARFIMA (0,d,0)

Nejjednodušší autoregresní frakčně integrovaný model, ARFIMA (0,d, 0), je ve standardní notaci,

${ displaystyle (1-B) ^ {d} X_ {t} = varepsilon _ {t},}$

kde to má výklad

${ displaystyle X_ {t} -dX_ {t-1} + { frac {d (d-1)} {2!}} X_ {t-2} - cdots = varepsilon _ {t}.}$

ARFIMA (0,d, 0) je podobný frakční Gaussův šum (fGn): s d = H−​¹⁄₂, jejich kovariance mají stejný úpadek mocenského zákona. Výhoda fGn oproti ARFIMA (0,d, 0) je, že mnoho asymptotických vztahů platí pro konečné vzorky.^[1] Výhoda ARFIMA (0,d, 0) nad fGn je to, že má obzvláště jednoduchý spektrální hustota —

F(λ) = (1 / 2π) (2sin (λ / 2))^−2d

—A jedná se o konkrétní případ ARFIMA (p,d,q), což je všestranná rodina modelů.^[1]

Obecná forma: ARFIMA (p,d,q)

Model ARFIMA sdílí stejnou formu reprezentace jako ARIMA (p,d,q) proces, konkrétně:

${ displaystyle left (1- sum _ {i = 1} ^ {p} phi _ {i} B ^ {i} right) left (1-B right) ^ {d} X_ {t } = left (1+ sum _ {i = 1} ^ {q} theta _ {i} B ^ {i} right) varepsilon _ {t} ,.}$

Na rozdíl od běžného procesu ARIMA je „rozdílový parametr“, d, je povoleno přijímat necelé hodnoty.

Vylepšení oproti běžným modelům ARMA

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: holé odkazy, čte se jako postup, zdroje nemusí být spolehlivé Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (Prosinec 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Vylepšení běžných modelů ARMA je následující:

1. vezměte originální datovou řadu a filtrujte horní propust s dostatečným dílčím rozlišením, aby byl výsledek nehybný, a pamatujte si pořadí d tohoto zlomkového rozdílu, d obvykle mezi 0 a 1 ... případně v extrémnějších případech až 2+ . Frakční rozdíl 2 je 2. derivát nebo 2. rozdíl.

1a. poznámka: použití zlomkového rozdílu mění jednotky problému. Pokud jsme začali s cenami, pak vezmeme zlomkové rozdíly, už nejsme v cenových jednotkách.

1b. určení pořadí diferenciace, aby se časová řada stala nehybnou, může být iterační, průzkumný proces.

2. vypočítat prosté termíny ARMA obvyklými metodami, aby se vešly do této stacionární dočasné datové sady, která je v jednotkách ersatz.

3. předpověď buď na stávající data (statická předpověď), nebo „dopředu“ (dynamická předpověď, vpřed v čase) s těmito termíny ARMA.

4. použijte funkci zpětného filtru (zlomek integrace na stejnou úroveň d jako v kroku 1) do prognózované řady, aby se prognóza vrátila k původním problémovým jednotkám (např. přeměňte jednotky ersatz zpět na Cena).

4a. Frakční diferenciace a frakční integrace jsou stejná operace s opačnými hodnotami d: např. zlomkový rozdíl časové řady na d = 0,5 lze převrátit (integrovat) použitím stejné operace částečného rozdílu (opět), ale s zlomkem d = -0,5. Viz funkce GRETL fracdiff: http://gretl.sourceforge.net/gretl-help/funcref.html#fracdiff

Smyslem předběžného filtrování je snížit nízké frekvence v datové sadě, což může způsobit nestacionarity v datech, které nestacionární modely ARMA nedokážou dobře (nebo vůbec) zpracovat ... ale jen natolik, aby redukce lze obnovit po sestavení modelu.

Frakční diferenciace a inverzní operace frakční integrace (oba směry používané v procesu modelování a prognózování ARFIMA) lze považovat za operace digitálního filtrování a „nefiltrování“. Jako takové je užitečné studovat frekvenční odezvu těchto filtrů, abyste věděli, které frekvence jsou udržovány a které jsou zeslabeny nebo vyřazeny, viz: https://github.com/diffent/fracdiff/blob/master/freqrespfracdiff.pdf

Všimněte si, že jakékoli filtrování, které by nahradilo zlomkové diferenciace a integraci v tomto modelu AR (FI) MA, by mělo být podobně invertibilní jako diferenciace a integrace (sčítání), aby nedošlo ke ztrátě informací. Např. vysokoprůchodový filtr, který zcela odstraní mnoho nízkých frekvencí (na rozdíl od frakčního rozdílového horního filtru, který zcela odstraní pouze frekvenci 0 [konstantní chování ve vstupním signálu] a pouze tlumí ostatní nízké frekvence, viz výše PDF), nemusí fungovat tak dobře, protože po přizpůsobení výrazů ARMA filtrované řadě by reverzní operace pro vrácení předpovědi ARMA na původní jednotky nebyla schopna znovu posílit tyto oslabené nízké frekvence, protože nízké frekvence byly sníženy na nulu.

Takové studie frekvenční odezvy mohou navrhnout další podobné rodiny (reverzibilních) filtrů, které by mohly být užitečnými náhradami za „FI“ část toku modelování ARFIMA, jako je dobře známý, snadno implementovatelný a vysoce zkreslený Butterworthův filtr s minimálním zkreslením nebo podobné: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-55789-2_13

Viz také

• Frakční počet - zlomková diferenciace
• Differintegral - částečná integrace a diferenciace
• Frakční Brownův pohyb - nepřetržitý stochastický proces na podobném základě
• Závislost na velké vzdálenosti

Poznámky

Reference

• Granger, C. W. J.; Joyeux, R. (1980). "Úvod do modelů časových řad s dlouhou pamětí a částečné rozdíly". Journal of Time Series Analysis. 1: 15–30. doi:10.1111 / j.1467-9892.1980.tb00297.x.
• Hosking, J. R. M. (1981). Msgstr "Zlomkový rozdíl". Biometrika. 68 (1): 165–176. doi:10.1093 / biomet / 68.1.165.
• Robinson, P. M. (2003). Časová řada s dlouhou pamětí. Oxford University Press. ISBN  0-19-925729-9.