Holonomická funkce - Holonomic function

v matematika a konkrétněji v analýza, a holonomická funkce je hladký funkce několika proměnných to je řešení systému lineární homogenní diferenciální rovnice s polynomickými koeficienty a splňuje podmínku vhodné dimenze, pokud jde o D-moduly teorie. Přesněji řečeno, holonomická funkce je prvkem a holonomický modul plynulých funkcí. Holonomické funkce lze také popsat jako diferencovatelně konečné funkce, také známý jako D-konečné funkce. Když je výkonová řada v proměnných Taylorovou expanzí holonomické funkce, posloupnost jejích koeficientů v jednom nebo více indexech se také nazývá holonomický. Holonomické sekvence se také nazývají P-rekurzivní sekvence: jsou definovány rekurzivně vícerozměrnými opakováními uspokojenými celou sekvencí a jejími vhodnými specializacemi. Situace se zjednodušuje v jednorozměrném případě: jakákoli jednorozměrná sekvence, která splňuje lineární homogenitu relace opakování s polynomiálními koeficienty nebo ekvivalentní lineární homogenní diferenční rovnicí s polynomiálními koeficienty je holonomický.^[1]

Holonomické funkce a sekvence v jedné proměnné

Definice

Nechat ${displaystyle mathbb {K}}$ být pole charakteristiky 0 (například ${displaystyle mathbb {K} = mathbb {Q}}$ nebo ${displaystyle mathbb {K} = mathbb {C}}$ ).

Funkce ${displaystyle f = f (x)}$ je nazýván D-konečný (nebo holonomický) pokud existují polynomy ${displaystyle 0eq a_ {r} (x), a_ {r-1} (x), ldots, a_ {0} (x) v mathbb {K} [x]}$ takhle

{displaystyle a_ {r} (x) f ^ {(r)} (x) + a_ {r-1} (x) f ^ {(r-1)} (x) + cdots + a_ {1} (x ) f '(x) + a_ {0} (x) f (x) = 0}

platí pro všechny X. To lze také zapsat jako ${displaystyle Af = 0}$ kde

{displaystyle A = součet _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} D_ {x} ^ {k}}

a ${displaystyle D_ {x}}$ je operátor diferenciálu že mapy ${displaystyle f (x)}$ na ${displaystyle f '(x)}$ . ${displaystyle A}$ se nazývá zničující operátor z F (ničící operátoři ${displaystyle f}$ pro muže ideál v ringu ${displaystyle mathbb {K} [x] [D_ {x}]}$ , nazvaný zničit z ${displaystyle f}$ ). Množství r se nazývá objednat zničujícího operátora. Rozšířením, holonomická funkce F se říká, že je v pořádku r když existuje zničující operátor takového řádu.

Sekvence ${displaystyle c = c_ {0}, c_ {1}, ldots}$ je nazýván P-rekurzivní (nebo holonomický) pokud existují polynomy ${displaystyle a_ {r} (n), a_ {r-1} (n), ldots, a_ {0} (n) v mathbb {K} [n]}$ takhle

{displaystyle a_ {r} (n) c_ {n + r} + a_ {r-1} (n) c_ {n + r-1} + cdots + a_ {0} (n) c_ {n} = 0}

platí pro všechny n. To lze také zapsat jako ${displaystyle Ac = 0}$ kde

{displaystyle A = součet _ {k = 0} ^ {r} a_ {k} S_ {n}}

a ${displaystyle S_ {n}}$ the operátor směny že mapy ${displaystyle c_ {0}, c_ {1}, ldots}$ na ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ldots}$ . ${displaystyle A}$ se nazývá zničující operátor z C (ničící operátoři ${displaystyle c}$ tvoří ideál v kruhu ${displaystyle mathbb {K} [n] [S_ {n}]}$ , nazvaný zničit z ${displaystyle c}$ ). Množství r se nazývá objednat zničujícího operátora. Rozšířením, holonomická sekvence C se říká, že je v pořádku r když existuje zničující operátor takového řádu.

Holonomické funkce jsou přesně ty generující funkce holonomických sekvencí: pokud ${displaystyle f (x)}$ je holonomický, pak koeficienty ${displaystyle c_ {n}}$ v expanzi výkonových řad

{displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} c_ {n} x ^ {n}}

tvoří holonomickou sekvenci. Naopak pro danou holonomickou sekvenci ${displaystyle c_ {n}}$ , funkce definovaná výše uvedeným součtem je holonomická (to platí ve smyslu formální mocenské řady, i když má součet nulový poloměr konvergence).

Vlastnosti uzavření

Holonomické funkce (nebo sekvence) uspokojí několik uzavírací vlastnosti. Zejména holonomické funkce (nebo sekvence) tvoří a prsten. Nejsou uzavřeny rozdělením, a proto netvoří a pole.

Li ${displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} f_ {n} x ^ {n}}$ a ${displaystyle g (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} g_ {n} x ^ {n}}$ jsou holonomické funkce, pak jsou holonomické také následující funkce:

${displaystyle h (x) = alfa f (x) + eta g (x)}$ , kde ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ jsou konstanty
${displaystyle h (x) = f (x) g (x)}$ (dále jen Cauchyho produkt sekvencí)
${displaystyle h (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} f_ {n} g_ {n} x ^ {n}}$ (Hadamardův produkt sekvencí)
${displaystyle h (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt}$
${displaystyle h (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} (součet _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}) x ^ {n}}$
${displaystyle h (x) = f (a (x))}$ , kde ${displaystyle a (x)}$ je jakýkoli algebraická funkce. Nicméně, ${displaystyle a (f (x))}$ obecně není holonomický.

Zásadní vlastností holonomických funkcí je, že vlastnosti uzavření jsou účinné: vzhledem k ničivým operátorům pro ${displaystyle f}$ a ${displaystyle g}$ , ničivý operátor pro ${displaystyle h}$ jak je definováno pomocí kterékoli z výše uvedených operací lze vypočítat explicitně.

Příklady holonomických funkcí a sekvencí

Mezi příklady holonomických funkcí patří:

Všechno algebraické funkce
nějaký transcendentální funkce jako ${displaystyle sin (x)}$ , ${displaystyle cos (x)}$ , ${displaystyle e ^ {x}}$ , a ${displaystyle log (x)}$ ^[2]
the generalizovaná hypergeometrická funkce ${displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, ldots, a_ {p}, b_ {1}, ldots, b_ {q}, x)}$ , považovaný za funkci ${displaystyle x}$ se všemi parametry ${displaystyle a_ {i}}$ , ${displaystyle b_ {i}}$ držena pevně
the chybová funkce ${displaystyle operatorname {erf} (x)}$
the Besselovy funkce ${displaystyle J_ {n} (x)}$ , ${displaystyle Y_ {n} (x)}$ , ${displaystyle I_ {n} (x)}$ , ${displaystyle K_ {n} (x)}$
the Vzdušné funkce ${displaystyle operatorname {Ai} (x)}$ , ${displaystyle operatorname {Bi} (x)}$
vše klasické ortogonální polynomy, včetně Legendární polynomy ${displaystyle P_ {n} (x)}$ a Čebyševovy polynomy ${displaystyle T_ {n} (x)}$ a ${displaystyle U_ {n} (x)}$ .

Třída holonomických funkcí je striktní nadmnožinou třídy hypergeometrických funkcí. Mezi příklady speciálních funkcí, které jsou holonomické, ale nikoli hypergeometrické, patří Funkce Heun.

Mezi příklady holonomických sekvencí patří:

posloupnost Fibonacciho čísla ${displaystyle F_ {n}}$ a obecněji všechny konstantní rekurzivní sekvence
posloupnost faktoriály ${displaystyle n!}$
posloupnost binomické koeficienty ${displaystyle {n vyberte k}}$ (jako funkce obou n nebo k)
posloupnost harmonická čísla ${displaystyle H_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} {frac {1} {k}}}$ a obecněji ${displaystyle H_ {n, m} = součet _ {k = 1} ^ {n} {frac {1} {k ^ {m}}}}$ pro jakékoli celé číslo m
posloupnost Katalánská čísla
posloupnost Motzkinova čísla.
posloupnost poruchy.

Hypergeometrické funkce, Besselovy funkce a klasické ortogonální polynomy jsou kromě holonomických funkcí jejich proměnných také holonomické posloupnosti s ohledem na jejich parametry. Například Besselovy funkce ${displaystyle J_ {n}}$ a ${displaystyle Y_ {n}}$ uspokojit lineární opakování druhého řádu ${displaystyle x (f_ {n + 1} + f_ {n-1}) = 2nf_ {n}}$ .

Příklady nehlonomních funkcí a sekvencí

Mezi příklady neholonomních funkcí patří:

funkce ${displaystyle {frac {x} {e ^ {x} -1}}}$ ^[3]
funkce opálení (X) + s (X)^[4]
kvocient dvou holonomických funkcí obecně není holonomický.

Mezi příklady neholonomních sekvencí patří:

the Bernoulliho čísla
čísla střídavé obměny^[5]
čísla celočíselné oddíly^[4]
čísla ${displaystyle log (n)}$ ^[4]
čísla ${displaystyle n ^ {alpha}}$ kde ${displaystyle alpha ot v mathbb {Z}}$ ^[4]
the prvočísla^[4]
výčty neredukovatelné a spojené permutace.^[6]

Holonomické funkce v několika proměnných

Algoritmy a software

Holonomické funkce jsou mocným nástrojem počítačová algebra. Holonomickou funkci nebo sekvenci lze představovat konečným množstvím dat, jmenovitě ničivým operátorem a konečnou sadou počátečních hodnot, a vlastnosti uzavření umožňují provádění operací, jako je testování rovnosti, sumace a integrace algoritmickým způsobem. V posledních letech tyto techniky umožnily poskytovat automatizované důkazy o velkém počtu speciálních funkcí a kombinatorických identit.

Kromě toho existují rychlé algoritmy pro hodnocení holonomických funkcí s libovolnou přesností v jakémkoli bodě komplexní roviny a pro numerický výpočet libovolného záznamu v holonomické posloupnosti.

Software pro práci s holonomickými funkcemi zahrnuje:

The Holonomické funkce [1] balíček pro Mathematica, vyvinutý Christophem Koutschanem, který podporuje výpočet uzavíracích vlastností a prokázání identity pro jednorozměrné a vícerozměrné holonomické funkce
The algolib [2] knihovna pro Javor, který zahrnuje následující balíčky:
- gfun, kterou vyvinuli Bruno Salvy, Paul Zimmermann a Eithne Murray, pro jednorozměrné uzavírací vlastnosti a prokázání [3]
- mgfun, vyvinutý Frédéricem Chyzakem, pro vícerozměrné vlastnosti uzavření a prokázání [4]
- numgfun, vyvinutý Marcem Mezzarobbou pro numerické vyhodnocení

Viz také

Dynamický slovník matematických funkcí „Online software založený na holonomických funkcích pro automatické studium mnoha klasických a speciálních funkcí (vyhodnocení v bodě, Taylorova řada a asymptotická expanze na jakoukoli uživatelem danou přesnost, diferenciální rovnice, opakování pro koeficienty Taylorovy řady, derivace, neurčitý integrál, vykreslování, ...)

Poznámky

^ Vidět Zeilberger 1990 a Kauers & Paule 2011.
^ Vidět Mallinger 1996, str. 3.
^ To vyplývá ze skutečnosti, že funkce ${displaystyle {frac {x} {e ^ {x} -1}}}$ má nekonečně mnoho (komplex ) singularita, zatímco funkce, které uspokojují lineární diferenciální rovnici s polynomiálními koeficienty, nutně mají pouze konečně mnoho singulárních bodů.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Vidět Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.
^ To vyplývá ze skutečnosti, že funkce tan (X) + s (X) je nonholonomic funkce. Vidět Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.
^ Vidět Klazar 2003.

Reference

Flajolet, Philippe; Gerhold, Stefan; Salvy, Bruno (2005), „O neholonomním charakteru logaritmů, mocnin a n-té hlavní funkce“, Electronic Journal of Combinatorics, 11 (2).

Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytická kombinatorika. Cambridge University Press. ISBN 978-0521898065.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011). Konkrétní čtyřstěn: symbolické součty, rekurentní rovnice, generování funkcí, asymptotické odhady. Text a monografie v symbolickém výpočtu. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Klazar, Martin (2003). „Neredukovatelné a spojené permutace“ (PDF) (122). Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz) (Předtisk série ITI)

Mallinger, Christian (1996). Algoritmické manipulace a transformace jednorozměrných holonomických funkcí a sekvencí (PDF) (Teze). Citováno 4. června 2013.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Stanley, Richard P. (1999). Enumerativní kombinatorika. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Zeilberger, Doron (1990). „Holonomický systémový přístup k identitám speciálních funkcí“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 32 (3): 321–368. doi:10.1016 / 0377-0427 (90) 90042-X. ISSN 0377-0427. PAN 1090884.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[1] Vidět Zeilberger 1990 a Kauers & Paule 2011.

[2] Vidět Mallinger 1996, str. 3.

[3] To vyplývá ze skutečnosti, že funkce ${displaystyle {frac {x} {e ^ {x} -1}}}$ má nekonečně mnoho (komplex ) singularita, zatímco funkce, které uspokojují lineární diferenciální rovnici s polynomiálními koeficienty, nutně mají pouze konečně mnoho singulárních bodů.

[flajolet-4] A ^b ^C ^d ^E Vidět Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.

[5] To vyplývá ze skutečnosti, že funkce tan (X) + s (X) je nonholonomic funkce. Vidět Flajolet, Gerhold & Salvy 2005.

[6] Vidět Klazar 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]