Funkční odmocnina - Functional square root

v matematika, a funkční odmocnina (někdy nazývané a napůl iterace) je odmocnina a funkce s ohledem na provoz složení funkce. Jinými slovy, funkční druhá odmocnina funkce $G$ je funkce $F$ uspokojující $F (F (X)) = G (X)$ pro všechny $X$ .

Zápis

Zápisy, které to vyjadřují $F$ je funkční druhá odmocnina z $G$ jsou $F = G [1/2]$ a $F = G 1/2$ .^{[Citace je zapotřebí ]}

Dějiny

Funkční druhá odmocnina exponenciální funkce (nyní známý jako poloviční exponenciální funkce ) byl studován uživatelem Hellmuth Kneser v roce 1950.^[1]
Řešení $F (F (X)) = X$ přes ${ displaystyle mathbb {R}}$ (dále jen involuce z reálná čísla ) byly nejprve studovány Charles Babbage v roce 1815 a tato rovnice se nazývá Babbageova funkční rovnice.^[2] Konkrétní řešení je $F (X) = (b - X)/(1 + cx)$ pro $před naším letopočtem \neq -1$ . Babbage poznamenal, že pro každé dané řešení $F$ , své funkční konjugát $Ψ -1 \circ F \circ Ψ$ libovolně invertibilní funkce $Ψ$ je také řešením. Jinými slovy skupina všech invertibilních funkcí na reálném řádku činy na podmnožinu skládající se z řešení Babbageovy funkční rovnice pomocí časování.

Řešení

Systematický postup výroby libovolný funkční $n$ -roots (včetně, mimo $n = 1/2$ ,^{[je zapotřebí objasnění ]} spojitý, záporný a nekonečně malý $n$ ) funkcí G: ℂ → ℂ spoléhá na řešení Schröderova rovnice.^[3]^[4]^[5] Nekonečně mnoho triviálních řešení existuje, když doména kořenové funkce F je povoleno být dostatečně větší než u G.

Příklady

$F (X) = 2 X 2$ je funkční druhá odmocnina z $G (X) = 8 X 4$ .
Funkční druhá odmocnina $n$ th Čebyševův polynom, $G (X) = T n (X)$ , je $F (X) = cos (\sqrt n arccos (X))$ , což obecně není polynomiální.
$F (X) = X /(\sqrt 2 + X (1 - \sqrt 2))$ je funkční druhá odmocnina z $G (X) = X /(2 - X)$ .

Iteruje z sinusová funkce (modrý), v první polovině období. Napůl iterovat (oranžový), tj. sinusova funkční druhá odmocnina; funkční druhá odmocnina toho, čtvrtinový iterát (černý) nad ním a další dílčí iterace až do 1/64 iterace. Funkce pod sine jsou šest integrálních iterací pod ní, počínaje druhou iterací (Červené) a končí 64. iterací. The zelená obálkový trojúhelník představuje omezující nulovou iteraci, pilovitá funkce slouží jako výchozí bod vedoucí k sinusové funkci. Přerušovaná čára je záporná první iterace, tj inverzní ze sinu (arcsin ).

hřích [2] (X) = hřích (hřích (X))

[Červené křivka]

hřích [1] (X) = hřích (X) = rin (rin (X))

[modrý křivka]

hřích [½] (X) = rin (X) = qin (qin (X))

[oranžový křivka]

hřích [¼] (X) = qin (X)

[černá křivka nad oranžovou]

hřích [-1] (X) = arcsin (X)

[přerušovaná křivka]

(Vidět.^[6] Pro zápis viz [1].)

Viz také

Reference

^ Kneser, H. (1950). „Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(X)) = E^X und verwandter Funktionalgleichungen ". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.
^ Jeremy Gray a Karen Parshall (2007) Epizody v dějinách moderní algebry (1800–1950), Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4343-7
^ Schröder, E. (1870). „Ueber iterirte Functionen“. Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. doi:10.1007 / BF01443992.
^ Szekeres, G. (1958). "Pravidelná iterace skutečných a komplexních funkcí". Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007 / BF02559539.
^ Curtright, T.; Zachos, C.; Jin, X. (2011). "Přibližné řešení funkčních rovnic". Journal of Physics A. 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA ... 44N5205C. doi:10.1088/1751-8113/44/40/405205.
^ Curtright, T. L. Evoluční povrchy a Schröderovy funkční metody.

Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[sqrtexp-1] Kneser, H. (1950). „Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(X)) = E^X und verwandter Funktionalgleichungen ". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.

[2] Jeremy Gray a Karen Parshall (2007) Epizody v dějinách moderní algebry (1800–1950), Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4343-7

[schr-3] Schröder, E. (1870). „Ueber iterirte Functionen“. Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. doi:10.1007 / BF01443992.

[4] Szekeres, G. (1958). "Pravidelná iterace skutečných a komplexních funkcí". Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007 / BF02559539.

[5] Curtright, T.; Zachos, C.; Jin, X. (2011). "Přibližné řešení funkčních rovnic". Journal of Physics A. 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA ... 44N5205C. doi:10.1088/1751-8113/44/40/405205.

[6] Curtright, T. L. Evoluční povrchy a Schröderovy funkční metody.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]