Frakční Schrödingerova rovnice - Fractional Schrödinger equation

Část a série na
Kvantová mechanika
${displaystyle ihbar {frac {částečné} {částečné t}} | psi (t) úhel = {hat {H}} | psi (t) úhel}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

The zlomková Schrödingerova rovnice je základní rovnice frakční kvantová mechanika. Objevil jej Nick Laskin (1999) v důsledku prodloužení Feynmanova cesta integrální, od kvantových mechanických drah podobných Brownovi až po Lévyho. Termín zlomková Schrödingerova rovnice vytvořil Nick Laskin.^[1]

Základy

Frakční Schrödingerova rovnice ve formě původně získané Nick Laskin je:^[2]

• r je trojrozměrný vektor polohy,
• ħ je redukovaný Planckova konstanta,
• ψ(r, t) je vlnová funkce, což je amplituda kvantově mechanické pravděpodobnosti, aby částice měla danou polohu r kdykoliv t,
• PROTI(r, t) je potenciální energie,
• Δ = ∂²/∂r² je Operátor Laplace.

Dále,

• D_α je konstanta stupnice s fyzická dimenze [D_α] = [energie]^{1 − α}·[délka]^α[čas]^−α, na α = 2, D₂ =1/2m, kde m je hmotnost částice,
• operátor (-ħ²Δ)^α/2 je trojrozměrný frakční kvantový Rieszův derivát definovaný (viz odkaz [2]);

${displaystyle (-hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} psi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {(2pi hbar) ^ {3}}} int d ^ {3} pe ^ {i {frac {mathbf {pr}} {hbar}}} | mathbf {p} | ^ {alpha} varphi (mathbf {p}, t),}$

Zde vlna funguje v pozice a mezery hybnosti; ${displaystyle psi (mathbf {r}, t)}$ a ${displaystyle varphi (mathbf {p}, t)}$ jsou vzájemně propojeny trojrozměrným Fourierovy transformace:

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = {frac {1} {(2pi hbar) ^ {3}}} int d ^ {3} pe ^ {imathbf {p} cdot mathbf {r} / hbar} varphi (mathbf {p}, t), qquad varphi (mathbf {p}, t) = int d ^ {3} re ^ {- imathbf {p} cdot mathbf {r} / hbar} psi (mathbf {r}, t ).}$

Index α ve zlomkové Schrödingerově rovnici je Lévyho index, 1 <α ≤ 2. Frakční Schrödingerova rovnice tedy zahrnuje mezeru derivát částečného řádu α místo druhého řádu (α = 2) derivace prostoru ve standardu Schrödingerova rovnice. Frakční Schrödingerova rovnice je tedy a frakční diferenciální rovnice v souladu s moderní terminologií.^[3] To je hlavní bod tohoto pojmu zlomková Schrödingerova rovnice nebo obecnější termín frakční kvantová mechanika.^[4] Na α = 2 zlomková Schrödingerova rovnice se stává dobře známou Schrödingerova rovnice.

Frakční Schrödingerova rovnice má následující operátor formulář

kde zlomkový Hamiltonův operátor ${displaystyle {hat {H}} _ {alpha}}$ darováno

${displaystyle {hat {H}} _ {alpha} = D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} + V (mathbf {r}, t).}$

The Operátor Hamilton, ${displaystyle {hat {H}} _ {alpha}}$ odpovídá klasická mechanika Hamiltonova funkce představil Nick Laskin

${displaystyle H_ {alpha} (mathbf {p}, mathbf {r}) = D_ {alpha} | mathbf {p} | ^ {alpha} + V (mathbf {r}, t),}$

kde str a r jsou hybnost a polohové vektory.

Časově nezávislá zlomková Schrödingerova rovnice

Zvláštní případ, kdy Hamiltonian ${displaystyle H_ {alpha}}$ je nezávislá na čase

${displaystyle H_ {alpha} = D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} + V (mathbf {r}),}$

má velký význam pro fyzické aplikace. Je snadné vidět, že v tomto případě existuje speciální řešení zlomkové Schrödingerovy rovnice

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = e ^ {- (i / hbar) Et} phi (mathbf {r}),}$

kde ${displaystyle phi (mathbf {r})}$ splňuje

${displaystyle H_ {alpha} phi (mathbf {r}) = Ephi (mathbf {r}),}$

nebo

${displaystyle D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} phi (mathbf {r}) + V (mathbf {r}) phi (mathbf {r}) = Ephi (mathbf {r} ).}$

To je časově nezávislá zlomková Schrödingerova rovnice (viz odkaz [2]).

Vidíme tedy, že vlnová funkce ${displaystyle psi (mathbf {r}, t)}$ osciluje s určitou frekvencí. v klasická fyzika frekvence odpovídá energii. Proto má kvantově mechanický stav určitou energii E. Pravděpodobnost nalezení částice při ${displaystyle mathbf {r}}$ je absolutní čtverec vlnové funkce ${displaystyle | psi (mathbf {r}, t) | ^ {2}.}$Kvůli časově nezávislé dílčí Schrödingerově rovnici se to rovná ${displaystyle | phi (mathbf {r}) | ^ {2}}$ a nezávisí na čase. To znamená pravděpodobnost nalezení částice na ${displaystyle mathbf {r}}$ je nezávislá na čase. Dá se říci, že systém je ve stacionárním stavu. Jinými slovy, neexistují žádné variace v pravděpodobnostech jako funkce času.

Pravděpodobnost hustoty proudu

Zákon zachování frakční kvantové mechanické pravděpodobnosti poprvé objevili D.A.Tayurskii a Yu.V. Lysogorski ^[5]

${displaystyle {frac {částečné ho (mathbf {r}, t)} {částečné t}} + abla cdot mathbf {j} (mathbf {r}, t) + K (mathbf {r}, t) = 0,}$

kde ${displaystyle ho (mathbf {r}, t) = psi ^ {ast} (mathbf {r}, t) psi (mathbf {r}, t)}$je kvantová mechanická hustota pravděpodobnosti a vektor ${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r}, t)}$lze volat vektorem proudové hustoty zlomkové pravděpodobnosti

${displaystyle mathbf {j} (mathbf {r}, t) = {frac {D_ {alpha} hbar} {i}} vlevo (psi ^ {*} (mathbf {r}, t) (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2-1} mathbf {abla} psi (mathbf {r}, t) -psi (mathbf {r}, t) (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2-1} mathbf {abla} psi ^ {*} (mathbf {r}, t) ight),}$

a

${displaystyle {mathit {K}} (mathbf {r}, t) = {frac {D_ {alpha} hbar} {i}} vlevo (mathbf {abla} psi (mathbf {r}, t) (- hbar ^ { 2} Delta) ^ {alpha / 2-1} mathbf {abla} psi ^ {*} (mathbf {r}, t) - (mathbf {abla} psi ^ {*} (mathbf {r}, t) (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2-1} mathbf {abla} psi (mathbf {r}, t) ight),}$

zde používáme notaci (viz také maticový počet ): ${displaystyle mathbf {abla = částečný / částečný r}}$.

Bylo nalezeno v odkazu [5]. že při novém výrazu existují kvantové fyzikální podmínky ${displaystyle {mathit {K}} (mathbf {r}, t)}$ je zanedbatelné a my přijdeme k rovnice spojitosti pro kvantový pravděpodobnostní proud a kvantovou hustotu (viz odkaz [2]):

${displaystyle {frac {částečné ho (mathbf {r}, t)} {částečné t}} + abla cdot mathbf {j} (mathbf {r}, t) = 0.}$

Představujeme operátor hybnosti ${displaystyle {hat {mathbf {p}}} = {frac {hbar} {i}} {frac {částečný} {částečný mathbf {r}}}}$ můžeme napsat vektor ${displaystyle mathbf {j}}$ve formuláři (viz odkaz [2])

${displaystyle mathbf {j =} D_ {alpha} vlevo (psi ({hat {mathbf {p}}} ^ {2}) ^ {alpha / 2-1} {hat {mathbf {p}}} psi ^ {ast } + psi ^ {ast} ({hat {mathbf {p}}} ^ {ast 2}) ^ {alpha / 2-1} {hat {mathbf {p}}} ^ {ast} psi ight).}$

Toto je částečné zobecnění známé rovnice pro pravděpodobnostní proudovou hustotu standardní kvantové mechaniky (viz odkaz [7]).

Provozovatel rychlosti

Operátor kvantové mechanické rychlosti ${displaystyle {hat {mathbf {v}}}}$ je definována takto:

${displaystyle {hat {mathbf {v}}} = {frac {i} {hbar}} (H_ {alpha} {hat {mathbf {r}}} mathbf {-} {hat {mathbf {r}}} H_ { alfa}),}$

Výsledek přímého výpočtu v (viz odkaz [2])

${displaystyle {hat {mathbf {v}}} = alpha D_ {alpha} | {hat {mathbf {p}}} ^ {2} | ^ {alpha / 2-1} {hat {mathbf {p}}}, .}$

Proto,

${displaystyle mathbf {j =} {frac {1} {alpha}} vlevo (psi {hat {mathbf {v}}} psi ^ {ast} + psi ^ {ast} {hat {mathbf {v}}} psi ight ), qquad 1$

Chcete-li získat pravděpodobnostní proud hustota rovna 1 (proud, když jedna částice prochází jednotkovou oblastí za jednotku času) musí být vlnová funkce volného částice normalizována jako

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = {sqrt {frac {alpha} {2mathrm {v}}}} exp vlevo [{frac {i} {hbar}} (mathbf {p} cdot mathbf {r} - Et) ight], qquad E = D_ {alpha} | mathbf {p} | ^ {alpha}, qquad 1$

kde ${displaystyle mathrm {v}}$ je částice rychlost, ${displaystyle mathrm {v} = alpha D_ {alpha} p ^ {alpha -1}}$.

Pak máme

${displaystyle mathbf {j =} {frac {mathbf {v}} {mathrm {v}}}, qquad mathbf {v} = alpha D_ {alpha} | mathbf {p} ^ {2} | ^ {{frac {alpha } {2}} - 1} mathbf {p,}}$

to znamená vektor ${displaystyle mathbf {j}}$ je skutečně jednotkový vektor.

Fyzické aplikace

Frakční Bohrův atom

Když ${displaystyle V (mathbf {r})}$ je potenciální energie atom podobný vodíku,

${displaystyle V (mathbf {r}) = - {frac {Ze ^ {2}} {| mathbf {r} |}},}$

kde E je elektronový náboj a Z je protonové číslo atomu podobného vodíku (tak Ze je jaderný náboj atomu), dostaneme se k následování zlomku vlastní číslo problém,

${displaystyle D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} phi (mathbf {r}) - {frac {Ze ^ {2}} {| mathbf {r |}}} phi (mathbf {r}) = Ephi (mathbf {r}).}$

Tento problém s vlastní hodnotou nejprve představil a vyřešil Nick Laskin v.^[6]

Pomocí prvního Niels Bohr postulovat výnosy

${displaystyle alpha D_ {alpha} left ({frac {nhbar} {a_ {n}}} ight) ^ {alpha} = {frac {Ze ^ {2}} {a_ {n}}},}$

a dává nám rovnici pro Bohrův poloměr frakčního atomu podobného vodíku

${displaystyle a_ {n} = a_ {0} n ^ {alpha / (alpha -1)}.}$

Tady A₀ je zlomkový Bohrův poloměr (poloměr nejnižšího, n = 1, Bohrova oběžná dráha) definována jako,

${displaystyle a_ {0} = left ({frac {alpha D_ {alpha} hbar ^ {alpha}} {Ze ^ {2}}} ight) ^ {1 / (alpha -1)}.}$

The energetické hladiny frakčního atomu podobného vodíku jsou dány vztahem

${displaystyle E_ {n} = (1-alfa) E_ {0} n ^ {- alfa / (alfa -1)}, qquad 1$

kde E₀ je vazebná energie elektronu na nejnižší Bohrově oběžné dráze, tj. energie potřebná k uvedení do stavu s E = 0 odpovídá n = ∞,

${displaystyle E_ {0} = left ({frac {Ze ^ {2}} {alpha D_ {alpha} ^ {1 / alpha} hbar}} right) ^ {alpha / (alpha -1)}.}$

Energie (α − 1)E₀ děleno .c, (α − 1)E₀/.c, lze považovat za zlomkové zobecněníRydbergova konstanta standardu kvantová mechanika. Pro α = 2 a Z = 1 vzorec${displaystyle (alfa -1) E_ {0} / hbar c}$ je přeměněn na

${displaystyle mathrm {Ry} = já ^ {4} / 2hbar ^ {3} c}$,

což je známý výraz pro Rydbergův vzorec.

Podle druhého Niels Bohr postulát, frekvence záření ${displaystyle omega _ {m, n}}$ spojené s přechodem, řekněme například z oběžné dráhy m na oběžnou dráhu n, je,

${displaystyle omega _ {m, n} = {frac {(1-alfa) E_ {0}} {hbar}} vlevo [{frac {1} {n ^ {frac {alpha} {alpha -1}}}} - {frac {1} {m ^ {frac {alpha} {alpha -1}}}} noc]}$.

Výše uvedené rovnice jsou částečnou generalizací Bohrova modelu. Ve zvláštním gaussovském případě, kdy (α = 2) tyto rovnice nám dávají dobře známé výsledky Bohrův model.^[7]

Nekonečný potenciál dobře

Částice v jednorozměrné jamce se pohybuje v potenciálním poli ${displaystyle V ({x})}$, což je nula pro ${displaystyle -aleq xleq a}$ a který je jinde nekonečný,

${displaystyle V (x) = infty, qquad x <-aqquad qquad (mathrm {i})}$

${displaystyle V (x) = 0, quad -aleq xleq aquad quad quad (mathrm {ii})}$

${displaystyle V (x) = infty, qquad x> aqquad qquad (mathrm {iii})}$

Je to evidentní a priori že energetické spektrum bude diskrétní. Řešení zlomkové Schrödingerovy rovnice pro stacionární stav s dobře definovanou energií E je popsán vlnovou funkcí ${displaystyle psi (x)}$, kterou lze zapsat jako

${displaystyle psi (x, t) = left (-i {frac {Et} {hbar}} ight) phi (x)}$,

kde ${displaystyle phi (x)}$, je nyní časově nezávislý. V oblastech (i) a (iii) lze zlomkovou Schrödingerequation uspokojit, pouze pokud vezmeme ${displaystyle phi (x) = 0}$. Ve střední oblasti (ii) je časově nezávislá zlomková Schrödingerova rovnice (viz odkaz [6]).

${displaystyle D_ {alpha} (hbar abla) ^ {alpha} phi (x) = Ephi (x).}$

Tato rovnice definuje vlnové funkce a energetické spektrum v oblasti (ii), zatímco mimo oblast (ii), x <-a a x> a, jsou vlnové funkce nulové. Vlnová funkce ${displaystyle phi (x)}$ musí být všude kontinuální, proto ukládáme okrajové podmínky ${displaystyle phi (-a) = phi (a) = 0}$ pro řešení časově nezávislá zlomková Schrödingerova rovnice (viz odkaz [6]). Pak lze řešení v oblasti (ii) zapsat jako

${displaystyle phi (x) = Aexp (ikx) + Bexp (-ikx).}$

Abychom uspokojili okrajové podmínky, musíme si vybrat

${displaystyle A = -Bexp (-i2ka),}$

a

${displaystyle sin (2ka) = 0.}$

Z poslední rovnice to vyplývá

${displaystyle 2ka = npi.}$

Pak sudý (${displaystyle phi _ {n} ^ {mathrm {even}} (- x) = phi _ {n} ^ {mathrm {even}} (x)}$ pod odrazem ${displaystyle xightarrow -x}$) řešení časově nezávislé frakční Schrödingerovy rovnice ${displaystyle phi ^ {mathrm {even}} (x)}$ v nekonečném potenciálu je

${displaystyle phi _ {n} ^ {mathrm {even}} (x) = {frac {1} {sqrt {a}}} cos left [{frac {npi x} {2a}} ight], quad n = 1 , 3,5, ....}$

Divný (${displaystyle phi _ {n} ^ {mathrm {odd}} (- x) = - phi _ {n} ^ {mathrm {odd}} (x)}$ pod odrazem ${displaystyle xightarrow -x}$) řešení časově nezávislé frakční Schrödingerovy rovnice ${displaystyle phi ^ {mathrm {even}} (x)}$ v nekonečném potenciálu je

${displaystyle phi _ {n} ^ {mathrm {odd}} (x) = {frac {1} {sqrt {a}}} hřích odešel [{frac {npi x} {2a}} vpravo], čtyřkolka n = 2 , 4,6, ....}$

Řešení ${displaystyle phi ^ {mathrm {even}} (x)}$ a ${displaystyle phi ^ {mathrm {odd}} (x)}$ vlastnit to

${displaystyle int limits _ {- a} ^ {a} dxphi _ {m} ^ {mathrm {even}} (x) phi _ {n} ^ {mathrm {even}} (x) = int limits _ {- a } ^ {a} dxphi _ {m} ^ {mathrm {odd}} (x) phi _ {n} ^ {mathrm {odd}} (x) = delta _ {mn},}$

kde ${displaystyle delta _ {mn}}$ je Symbol Kronecker a

${displaystyle int limits _ {- a} ^ {a} dxphi _ {m} ^ {mathrm {even}} (x) phi _ {n} ^ {mathrm {odd}} (x) = 0.}$

Vlastní čísla částice v nekonečném potenciálovém vrtu jsou (viz odkaz [6]).

${displaystyle E_ {n} = D_ {alpha} vlevo ({frac {pi hbar} {2a}} vpravo) ^ {alpha} n ^ {alpha}, qquad qquad n = 1,2,3 ...., qquad 1$

Je zřejmé, že v případě Gaussian (α = 2) výše uvedené rovnice se transformují na standardní kvantově mechanické rovnice pro a částice v krabici (například viz Rov. (20.7) v ^[8])

Stav nejnižší energie, základní stav, v nekonečném potenciálu studna je reprezentována ${displaystyle phi _ {n} ^ {mathrm {even}} (x)}$ na n=1,

${displaystyle phi _ {mathrm {ground}} (x) equiv phi _ {1} ^ {mathrm {even}} (x) = {frac {1} {sqrt {a}}} protože zbývá ({frac {pi x } {2a}} hned),}$

a jeho energie je

${displaystyle E_ {mathrm {ground}} = D_ {alpha} left ({frac {pi hbar} {2a}} ight) ^ {alpha}.}$

Frakční kvantový oscilátor

Frakční kvantový oscilátor představil Nick Laskin (viz odkaz [2]) je zlomkový kvantově mechanický model s Hamiltonovský operátor ${displaystyle H_ {alpha, eta}}$ definováno jako

${displaystyle H_ {alpha, eta} = D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} + q ^ {2} | mathbf {r} | ^ {eta}, quad 1$,

kde q je interakční konstanta.

Frakční Schrödingerova rovnice pro vlnovou funkci ${displaystyle psi (mathbf {r}, t)}$ frakčního kvantového oscilátoru je,

${displaystyle ihbar {frac {parciální psi (mathbf {r}, t)} {částečné t}} = D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} psi (mathbf {r}, t ) + q ^ {2} | mathbf {r} | ^ {eta} psi (mathbf {r}, t)}$

Cílem je hledat řešení ve formě

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = e ^ {- iEt / hbar} phi (mathbf {r}),}$

přijdeme k časově nezávislé dílčí Schrödingerově rovnici,

${displaystyle D_ {alpha} (- hbar ^ {2} Delta) ^ {alpha / 2} phi (mathbf {r}, t) + q ^ {2} | mathbf {r} | ^ {eta} phi (mathbf { r}, t) = Ephi (mathbf {r}, t).}$

Hamiltonian ${displaystyle H_ {alpha, eta}}$ je částečná generalizace 3D kvantový harmonický oscilátor Hamiltonián standardní kvantové mechaniky.

Energetické hladiny 1D frakčního kvantového oscilátoru v semiklasické aproximaci

The energetické hladiny 1D frakčního kvantového oscilátoru s Hamiltonova funkce ${displaystyle H_ {alpha} = D_ {alpha} | p | ^ {alpha} + q ^ {2} | x | ^ {eta}}$ byly nalezeny v semiklasické aproximaci (viz odkaz [2]).

Nastavili jsme celkovou energii rovnou E, aby

${displaystyle E = D_ {alpha} | p | ^ {alpha} + q ^ {2} | x | ^ {eta},}$

odkud

${displaystyle | p | = left ({frac {1} {D_ {alpha}}} (E-q ^ {2} | x | ^ {eta}) ight) ^ {1 / alpha}}$.

V bodech obratu ${displaystyle p = 0}$. Proto je v rozsahu možný klasický pohyb ${displaystyle | x | leq (E / q ^ {2}) ^ {1 / eta}}$.

Rutinní používání Bohr-Sommerfeldova kvantizace výnosy pravidla

${displaystyle 2pi hbar (n + {frac {1} {2}}) = mast pdx = 4int limity _ {0} ^ {x_ {m}} pdx = 4int limity _ {0} ^ {x_ {m}} D_ { alpha} ^ {- 1 / alpha} (ekv. ^ {2} | x | ^ {eta}) ^ {1 / alpha} dx,}$

kde notace ${displaystyle mast}$ znamená integrál během jednoho úplného období klasického pohybu a ${displaystyle x_ {m} = (E / q ^ {2}) ^ {1 / eta}}$ je otočný pointof klasického pohybu.

Pro vyhodnocení integrálu v pravé ruce zavedeme novou proměnnou ${displaystyle y = x (E / q ^ {2}) ^ {- 1 / eta}}$. Pak máme

${displaystyle int limits _ {0} ^ {x_ {m}} D_ {alpha} ^ {- 1 / alpha} (Eq ^ {2} | x | ^ {eta}) ^ {1 / alpha} dx = {frac {1} {D_ {alpha} ^ {1 / alpha} q ^ {2 / eta}}} E ^ {{frac {1} {alpha}} + {frac {1} {eta}}} int limity _ { 0} ^ {1} dy (1-y ^ {eta}) ^ {1 / alpha}.}$

Integrál skončil dy lze vyjádřit pomocí Beta funkce,

${displaystyle int limits _ {0} ^ {1} dy (1-y ^ {eta}) ^ {1 / alpha} = {frac {1} {eta}} int limits _ {0} ^ {1} dzz ^ {{frac {1} {eta}} - 1} (1-z) ^ {frac {1} {alpha}} = {frac {1} {eta}} mathrm {B} vlevo ({frac {1} { eta}}, {frac {1} {alpha}} + 1 světlo).}$

Proto,

${displaystyle 2pi hbar (n + {frac {1} {2}}) = {frac {4} {D_ {alpha} ^ {1 / alpha} q ^ {2 / eta}}} E ^ {{frac {1} {alpha}} + {frac {1} {eta}}} {frac {1} {eta}} mathrm {B} vlevo ({frac {1} {eta}}, {frac {1} {alpha}} + 1 světlo).}$

Výše uvedená rovnice udává energetické hladiny stacionárních stavů pro 1D frakční kvantový oscilátor (viz odkaz [2]),

${displaystyle E_ {n} = left ({frac {pi hbar eta D_ {alpha} ^ {1 / alpha} q ^ {2 / eta}} {2mathrm {B} ({frac {1} {eta}}, { frac {1} {alpha}} + 1)}} ight) ^ {frac {alpha eta} {alpha + eta}} vlevo (n + {frac {1} {2}} ight) ^ {frac {alpha eta} { alpha + eta}}.}$

Tato rovnice je zobecněním dobře známého energetické hladiny rovnice standardu kvantový harmonický oscilátor (viz odkaz [7]) a je do ní transformován v α = 2 a β = 2. Z této rovnice vyplývá, že v ${displaystyle {frac {1} {alpha}} + {frac {1} {eta}} = 1}$ energetické úrovně jsou ve stejné vzdálenosti. Když ${displaystyle 1$ a ${displaystyle 1$ ekvidistantní energetické úrovně mohou být α = 2 a β = Pouze 2. To znamená, že jediný standardní kvantový harmonický oscilátor má stejně vzdálený energetické spektrum.

Frakční kvantová mechanika v systémech v pevné fázi

Efektivní hmotnost stavů v systémech v pevné fázi může záviset na vlnovém vektoru k, tj. Formálně se uvažuje m = m (k). Polariton Bose-Einsteinovy ​​režimy kondenzátu jsou příklady stavů v systémech v pevné fázi s hmotou citlivou na variace a lokálně v k je experimentálně proveditelná frakční kvantová mechanika [1].

Samorychlé paprsky

Samovolně se zrychlující paprsky, například Vzdušný paprsek, jsou známá řešení konvenční volné Schrödingerovy rovnice (s ${displaystyle alpha = 2}$ a bez potenciálního termínu). Ekvivalentní řešení existují ve volné frakční Schrödingerově rovnici. Časově závislá zlomková Schrödingerova rovnice v prostoru hybnosti (za předpokladu ${displaystyle hbar = 1}$ as jednou prostorovou souřadnicí) je:

${displaystyle i {frac {parciální varphi (p, t)} {parciální t}} = D_ {alpha} | p | ^ {alpha} varphi (p, t)}$.

V pozičním prostoru je vzdušný paprsek obvykle vyjádřen pomocí speciální funkce Airy, ačkoli má v prostoru hybnosti transparentnější výraz:

${displaystyle psi (x, t = 0) = mathrm {Ai} (bx) exp (sekera), qquad varphi (p, t = 0) = {frac {1} {2b {sqrt {2pi}}}} exp vlevo ({frac {(a-ip) ^ {3}} {3b ^ {3}}} ight)}$.

Zde exponenciální funkce zajišťuje kvadratickou integrovatelnost vlnové funkce, tj. Že paprsek má konečnou energii, aby byl fyzickým řešením. Parametr ${displaystyle a}$ řídí exponenciální cut-off na ocasu paprsku, zatímco parametr ${displaystyle b}$ ovládá šířku vrcholů v pozičním prostoru. Řešení vzdušného paprsku pro frakční Schrödingerovu rovnici v prostoru hybnosti se získá jednoduchou integrací výše uvedené rovnice a počátečních podmínek:

${displaystyle varphi (p, t) = {frac {1} {2b {sqrt {2pi}}}} exp vlevo (-iD_ {alpha} | p | ^ {alpha} t + {frac {(a-ip) ^ { 3}} {3b ^ {3}}} hned)}$.

Toto řešení samo akceleruje rychlostí úměrnou ${displaystyle t ^ {frac {2} {3-alpha}}}$.^[9] Při užívání ${displaystyle alpha = 2}$ pro konvenční Schrödingerovu rovnici lze obnovit původní řešení paprsků Airy s parabolickým zrychlením (${displaystyle propto t ^ {2}}$).

Viz také

• Schrödingerova rovnice
• Integrální formulace cesty
• Vztah mezi Schrödingerovou rovnicí a cestovou integrální formulací kvantové mechaniky
• Frakční počet
• Kvantový harmonický oscilátor
• Frakční Schrödingerova rovnice proměnného řádu

Reference

• R. Herrmann (2011). "9". Frakční kalkul, Úvod pro fyziky. World Scientific. ISBN  978-981-4340-24-3.
• J. Klafter; S.C. Lim; R. Metzler (2012). Frakční dynamika: Nedávné pokroky. World Scientific. p. 426. ISBN  978-981-434-059-5.
• V.E. Tarasov (2010). "19". Frakční dynamika. Nelineární fyzikální věda. 0. Springer. ISBN  978-3-642-140-037.
• J. Sabatier, OP Agrawal, J.A.T. Machado (2007). Pokroky ve zlomkovém počtu: Teoretický vývoj a aplikace ve fyzice a inženýrství. Springer. ISBN  978-1-402-060-427.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• D. Baleanu; J.A.T. Machado; A.C.J. Luo (2012). "17". Frakční dynamika a řízení. Springer. ISBN  978-1-461-404-576.
• Pinsker, F .; Bao, W .; Zhang, Y .; Ohadi, H .; Dreismann, A .; Baumberg, J. J. (25. listopadu 2015). „Frakční kvantová mechanika v polaritonových kondenzátech s hmotou závislou na rychlosti“. Fyzický přehled B. 92 (19): 195310. arXiv:1508.03621. doi:10.1103 / fyzrevb.92.195310. ISSN  1098-0121.

Další čtení

• Laskin, N. (2018). Frakční kvantová mechanika. World Scientific. CiteSeerX  10.1.1.247.5449. doi:10.1142/10541. ISBN  978-981-322-379-0.
• Naber, Mark (2004). "Časově zlomková Schrödingerova rovnice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 45 (8): 3339–3352. arXiv:math-ph / 0410028. doi:10.1063/1.1769611. ISSN  0022-2488.
• Guo, Xiaoyi; Xu, Mingyu (2006). "Některé fyzikální aplikace zlomkové Schrödingerovy rovnice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 47 (8): 082104. doi:10.1063/1.2235026. ISSN  0022-2488.
• Wang, Shaowei; Xu, Mingyu (2007). "Zobecněná zlomková Schrödingerova rovnice s časoprostorovými zlomkovými derivacemi". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 48 (4): 043502. doi:10.1063/1.2716203. ISSN  0022-2488.
• Dong, Jianping; Xu, Mingyu (2007). "Některá řešení vesmírné zlomkové Schrödingerovy rovnice pomocí metody reprezentace hybnosti". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 48 (7): 072105. doi:10.1063/1.2749172. ISSN  0022-2488.
• Dong, Jianping; Xu, Mingyu (2008). „Časoprostorová zlomková Schrödingerova rovnice s časově nezávislými potenciály“. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Elsevier BV. 344 (2): 1005–1017. doi:10.1016 / j.jmaa.2008.03.061. ISSN  0022-247X.
• Tarasov, Vasily E. (2008). "Frakční Heisenbergova rovnice". Fyzikální písmena A. 372 (17): 2984–2988. arXiv:0804.0586v1. doi:10.1016 / j.physleta.2008.01.037. ISSN  0375-9601.
• Tarasov, Vasily E. (2008). "Weyl kvantování frakčních derivátů". Journal of Mathematical Physics. 49 (10): 102112. arXiv:0907.2699. doi:10.1063/1.3009533. ISSN  0022-2488.
• Iomin, Alexander (28. srpna 2009). „Kvantová dynamika ve zlomkovém čase“. Fyzický přehled E. 80 (2): 022103. arXiv:0909.1183. doi:10.1103 / physreve.80.022103. ISSN  1539-3755. PMID  19792181.
• Tarasov, Vasily E. (2010). "Frakční dynamika otevřených kvantových systémů". Nelineární fyzikální věda. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 467–490. doi:10.1007/978-3-642-14003-7_20. ISBN  978-3-642-14002-0. ISSN  1867-8440.
• Tarasov, Vasily E. (2010). "Frakční dynamika hamiltonovských kvantových systémů". Nelineární fyzikální věda. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 457–466. doi:10.1007/978-3-642-14003-7_19. ISBN  978-3-642-14002-0. ISSN  1867-8440.
• de Oliveira, Edmundo Capelas; Costa, Felix Silva; Vaz, Jayme (2010). „Frakční Schrödingerova rovnice pro delta potenciály“. Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 51 (12): 123517. doi:10.1063/1.3525976. ISSN  0022-2488.
• de Oliveira, E Capelas; Vaz, Jayme (5. dubna 2011). "Tunelování ve zlomkové kvantové mechanice". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. Publikování IOP. 44 (18): 185303. arXiv:1011.1948. doi:10.1088/1751-8113/44/18/185303. ISSN  1751-8113.
• Bayın, Selçuk Ş. (2012). "O konzistenci řešení prostorové zlomkové Schrödingerovy rovnice". Journal of Mathematical Physics. Publikování AIP. 53 (4): 042105. arXiv:1203.4556. doi:10.1063/1.4705268. ISSN  0022-2488.